Axonometría

La axonometría es un procedimiento gráfico perteneciente a la geometría descriptiva que genera una imagen plana de un objeto tridimensional. El término "axonometría" significa "medir a lo largo de ejes " e indica que las dimensiones y la escala de los ejes de coordenadas desempeñan un papel crucial. El resultado de un procedimiento axonométrico es una proyección paralela del objeto a escala uniforme. En general, la proyección paralela resultante es oblicua (los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen); pero en casos especiales el resultado es ortográfico (los rayos son perpendiculares al plano de la imagen), lo que en este contexto se denomina axonometría ortogonal .

En dibujo técnico y arquitectura , la perspectiva axonométrica es una forma de representación bidimensional de objetos tridimensionales cuyo objetivo es preservar la impresión de volumen o relieve . También conocida como perspectiva rápida o artificial, se diferencia de la perspectiva cónica y no representa lo que el ojo ve realmente: en particular, las líneas paralelas permanecen paralelas y los objetos distantes no se reducen de tamaño. Puede considerarse una perspectiva cónica cuyo centro se ha desplazado hasta el infinito, es decir, muy lejos del objeto observado.

El término axonometría se utiliza tanto para el procedimiento gráfico que se describe a continuación como para la imagen producida por dicho procedimiento.

La axonometría no debe confundirse con la proyección axonométrica , que en la literatura inglesa suele referirse a la axonometría ortogonal .

El teorema de Pohlke es la base del siguiente procedimiento para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. Seleccione proyecciones de los ejes de coordenadas de manera que los tres ejes no se reduzcan a un solo punto o línea. Generalmente, el eje z es vertical.
2. Seleccione para estas proyecciones los escorzos ,${\displaystyle v_{x}}$,${\displaystyle v_{y}}$y${\displaystyle v_{z}}$, dónde${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$^{[ 3 ]}
3. La proyección${\displaystyle {\overline {P}}}$de un punto${\displaystyle P=(x,y,z)}$se determina en tres subpasos (el resultado es independiente del orden de estos subpasos):
   • comenzando en el punto${\displaystyle {\overline {O}}}$, moverse por la cantidad${\displaystyle v_{x}\cdot x}$en dirección de${\displaystyle {\overline {x}}}$, entonces
   • moverse por la cantidad${\displaystyle v_{y}\cdot y}$en dirección de${\displaystyle {\overline {y}}}$, entonces
   • moverse por la cantidad${\displaystyle v_{z}\cdot z}$en dirección de${\displaystyle {\overline {z}}}$y finalmente
4. Marca la posición final como punto${\displaystyle {\overline {P}}}$.

Para obtener resultados sin distorsión, seleccione cuidadosamente las proyecciones de los ejes y los escorzos (véase más abajo). Para producir una proyección ortográfica , solo se seleccionan libremente las proyecciones de los ejes de coordenadas; los escorzos son fijos (véase de:orthogonale Axonometrie ). ^{[ 4 ]}

Notación:

• ${\displaystyle \alpha$ :} ángulo entre${\displaystyle {\overline {z}}}$eje y${\displaystyle {\overline {x}}}$-eje
• ${\displaystyle \beta$ :} ángulo entre${\displaystyle {\overline {z}}}$eje y ${\displaystyle {\overline {y}}}$-eje
• ${\displaystyle \gamma$ :} ángulo entre${\displaystyle {\overline {x}}}$eje y${\displaystyle {\overline {y}}}$-eje.

Los ángulos se pueden elegir de manera que${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha +\beta <360^{\circ }\ .}$ Los escorzos :${\displaystyle 0<\;v_{x},\;v_{y},\;v_{z}\ .}$

Solo con una selección adecuada de ángulos y perspectivas se obtienen imágenes sin distorsión. El siguiente diagrama muestra las imágenes del cubo unitario para diferentes ángulos y perspectivas, y ofrece algunas sugerencias sobre cómo realizar estas elecciones personalizadas.

Para mantener el dibujo simple, se deben elegir escorzos simples, por ejemplo${\displaystyle 1.0}$o${\displaystyle 0.5}$.

Si dos escorzos son iguales, la proyección se llama dimétrica . Si los tres escorzos son iguales, la proyección se llama isométrica . Si todos los escorzos son diferentes, la proyección se llama trimétrica .

Los parámetros en el diagrama de la derecha (por ejemplo, de la casa dibujada en papel cuadriculado) son:${\displaystyle \alpha =135^{\circ },\beta =90^{\circ },\ v_{y}=v_{z}=1,\;v_{x}=1/{\sqrt {2}}\ .}$Por lo tanto, se trata de una axonometría dimétrica . El plano de la imagen es paralelo al plano yz, y cualquier figura plana paralela al plano yz aparece con su forma real.

Una proyección paralela de un círculo es, en general, una elipse. Un caso especial importante ocurre si el plano del círculo es paralelo al plano de la imagen ; la imagen del círculo es entonces un círculo congruente. En el diagrama, el círculo contenido en la cara frontal no está distorsionado. Si la imagen de un círculo es una elipse, se pueden mapear cuatro puntos en diámetros ortogonales y el cuadrado de tangentes circundante y en el paralelogramo de la imagen rellenar una elipse a mano. Un método mejor, pero más laborioso, consiste en dibujar las imágenes de dos diámetros perpendiculares del círculo, que son diámetros conjugados de la elipse de la imagen, determinar los ejes de la elipse con la construcción de Rytz y dibujar la elipse .

• 
  Perspectiva desenfadada: círculos
• 
  Proyección militar: esfera

En una axonometría general de una esfera, el contorno de la imagen es una elipse. El contorno de una esfera es un círculo únicamente en una axonometría ortogonal . Sin embargo, dado que la proyección de ingeniería y la isometría estándar son proyecciones ortográficas escaladas, el contorno de una esfera también es un círculo en estos casos. Como muestra el diagrama, una elipse como contorno de una esfera puede resultar confusa; por lo tanto, si una esfera forma parte de un objeto que se va a mapear, se debe elegir una axonometría ortogonal, una proyección de ingeniería o una isometría estándar.

El cartesiano${\displaystyle x{\text{-}}y{\text{-}}z}$sistema de coordenadas con origen${\displaystyle O}$todavía se utiliza en el espacio. Supongamos que el plano de dibujo está equipado con un sistema cartesiano.${\displaystyle x'{\text{-}}y'}$sistema de coordenadas con origen${\displaystyle {\overline {O}}.}$Una axonometría donde${\displaystyle {\overline {O}}}$es el punto de imagen de${\displaystyle O}$puede representarse mediante el mapa${\displaystyle f\colon \ \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle p={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto f(p)={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}}$$ que mapea el vector de coordenadas${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{3}}$de un punto general${\displaystyle P}$en el espacio al vector de coordenadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$del punto de la imagen${\displaystyle {\overline {P}}.}$El mapa${\displaystyle f}$es lineal y por lo tanto puede representarse por su${\displaystyle 2\!\times \!3}$matriz de transformación${\displaystyle A\colon }$$${\displaystyle f(p)=A\!\ p}$$ ( matriz por vector ). Las tres columnas de${\displaystyle A}$son los vectores de imagen${\displaystyle f(e_{x}),f(e_{y}),f(e_{z})\in \mathbb {R} ^{2}}$de los vectores base estándar$${\displaystyle e_{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad e_{y}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad e_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$ y así describir el${\displaystyle {\overline {x}},}$${\displaystyle {\overline {y}}}$y${\displaystyle {\overline {z}}}$ejes de la imagen. No se encuentran en una línea recta común que pase por el origen, es decir, el real${\displaystyle 2\!\times \!3}$matriz${\displaystyle A}$tiene rango${\displaystyle 2.}$Por el contrario, cada una de estas matrices genera una axonometría.

Ejemplos

1. Los factores${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$y ángulos${\displaystyle \alpha ,\beta }$Lo introducido anteriormente conduce inmediatamente a la matriz de transformación. $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-v_{x}\sin \alpha &v_{y}\sin \beta &0\\v_{x}\cos \alpha &v_{y}\cos \beta &v_{z}\end{pmatrix}}.}$$ Se supone que el${\displaystyle y'{\text{-}}}$eje y el${\displaystyle {\overline {z}}}$El eje de la imagen apunta hacia arriba y el${\displaystyle x'{\text{-}}}$El eje apunta hacia la derecha.

2. En particular,${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}=1}$y${\displaystyle \alpha =\beta =120^{\circ }}$dar la isometría estándar con la matriz $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.}$$ Por ejemplo, el vértice${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$del cubo unitario se asigna a${\displaystyle f(p)=A\!\ p=(0,0)^{\mathsf {T}},}$como lo es el vértice opuesto${\displaystyle (0,0,0)^{\mathsf {T}},}$dónde${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$denota transposición . Como se mencionó anteriormente, la isometría estándar es una proyección ortográfica escalada por el factor${\displaystyle \textstyle {\sqrt {3/2}}\,.}$

3. Multiplicar la última matriz por su recíproco.${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2/3}}}$de esta forma se obtiene la matriz de transformación $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$$ de una proyección ortográfica (sin escalar). Por cierto, en su transposición${\displaystyle A^{\mathsf {T}},}$ambas columnas $${\displaystyle e_{x}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\[0.3ex]0\end{pmatrix}},\quad e_{y}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$$ son ortonormales , es decir,${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{y}'=0}$y${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{x}'=e_{y}'\cdot e_{y}'=1.}$Esto caracteriza a las proyecciones ortográficas, como se muestra a continuación a modo de ejemplo.

4. Se construye otra proyección ortográfica, ahora a la inversa, partiendo de los vectores ortonormales. $${\displaystyle e_{x}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}6\\-3\\-2\end{pmatrix}},\quad e_{y}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}}.}$$ Estos dos junto con${\displaystyle e_{z}'=e_{x}'\times e_{y}'}$y${\displaystyle O}$definir otro sistema de coordenadas cartesianas en el espacio. Un punto general${\displaystyle P}$En el espacio ahora hay otro vector de coordenadas${\displaystyle p'=(x',y',z')^{\mathsf {T}}}$además${\displaystyle p=(x,y,z)^{\mathsf {T}}.}$Para estos, siempre${\displaystyle E\!\ p'=p}$con el${\displaystyle 3\!\times \!3}$matriz de cambio de base${\displaystyle E={\big (}e_{x}'\,{\big |}\,e_{y}'\,{\big |}\,e_{z}'{\big )}.}$Como${\displaystyle E}$es ortogonal ,${\displaystyle E^{-1}=E^{\mathsf {T}}}$y, en consecuencia,${\displaystyle p'=E^{\mathsf {T}}p.}$La proyección ortográfica, que se proyecta perpendicularmente sobre el${\displaystyle x'{\text{-}}y'{\text{-}}}$plano como plano de dibujo, corresponde a omitir el fondo${\displaystyle z'{\text{-}}}$coordenadas de${\displaystyle p'.}$ Su matriz de transformación se obtiene en consecuencia a partir de${\displaystyle E^{\mathsf {T}}}$omitiendo la última fila: $${\displaystyle A={\frac {1}{7}}\,{\begin{pmatrix}6&-3&-2\\3&2&6\end{pmatrix}}.}$$ Esto se puede utilizar para calcular puntos en el dibujo adyacente del cubo unitario. Por ejemplo, el vértice${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$está asignado a${\displaystyle f(p)=A\!\ p={\big (}{\tfrac {1}{7}},{\tfrac {11}{7}}{\big )}{}^{\mathsf {T}}.}$

• Graf, Ulrich; Barner, Martín (1961). Geometría de Darstellende . Heidelberg: Quelle & Meyer. ISBN 3-494-00488-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Joder, Kirch Nickel (1998). Geometría de Darstellende . Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
• Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . Stuttgart: Kohlhammer Verlag . ISBN 3-17-018489-X.
• Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Gráficos de ingeniería: Fundamentos teóricos de la geometría de ingeniería para el diseño . Springer. ISBN 978-3-319-29717-0.
• Stärk, Roland (1978). Geometría de Darstellende . Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.

Notas

• axonometría ortogonal