polinomio multilineal

En álgebra, un polinomio multilineal ^{[ 1 ]} es un polinomio multivariado que es lineal (es decir, afín ) en cada una de sus variables por separado , pero no necesariamente simultáneamente . Es un polinomio en el que ninguna variable aparece elevada a una potencia de${\displaystyle 2}$o superior; es decir, cada monomio es una constante multiplicada por un producto de variables distintas. Por ejemplo${\displaystyle f(x,y,z)=3xy+2.5y-7z}$es un polinomio multilineal de grado${\displaystyle 2}$(debido al monomio)${\displaystyle 3xy}$) mientras${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+4y}$No lo es. El grado de un polinomio multilineal es el número máximo de variables distintas que aparecen en cualquier monomio.

Los polinomios multilineales pueden entenderse como una aplicación multilineal (específicamente, una forma multilineal ) aplicada a los vectores [1 x], [1 y], etc. La forma general puede escribirse como una contracción tensorial :$${\displaystyle f(x)=\sum _{i_{1}=0}^{1}\sum _{i_{2}=0}^{1}\cdots \sum _{i_{n}=0}^{1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$$

Por ejemplo, en dos variables:$${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy={\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\y\end{pmatrix}}}$$

Un polinomio multilineal${\displaystyle f}$es lineal (afín) cuando varía solo una variable,${\displaystyle x_{k}}$:$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{k},...,x_{n})=ax_{k}+b}$$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$no depender de${\displaystyle x_{k}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle b}$generalmente no es cero, por lo tanto${\displaystyle f}$es lineal en el sentido de "con forma de línea", pero no en el sentido de "directamente proporcional" de un mapa multilineal .

Todas las segundas derivadas parciales repetidas son cero:$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{k}^{2}}}=0}$$En otras palabras, su matriz hessiana es una matriz hueca simétrica .

En particular, el laplaciano${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$, entonces${\displaystyle f}$es una función armónica . Esto implica${\displaystyle f}$tiene máximos y mínimos solo en el límite del dominio .

En términos más generales, toda restricción de${\displaystyle f}$a un subconjunto de sus coordenadas también es multilineal, por lo que${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$sigue siendo válido cuando una o más variables están fijas. En otras palabras,${\displaystyle f}$es armónico en cada "corte" del dominio a lo largo de los ejes de coordenadas.

Los polinomios multilineales son los interpolantes de la interpolación multilineal o n-lineal en una cuadrícula rectangular, una generalización de la interpolación lineal , bilineal y trilineal a un número arbitrario de variables. Se trata de una forma específica de interpolación multivariante , que no debe confundirse con la interpolación lineal por tramos . El polinomio resultante no es una función lineal de las coordenadas (su grado puede ser superior a 1), pero sí es una función lineal de los valores de los datos ajustados.

El determinante , el permanente y otros inmanentes de una matriz son polinomios multilineales homogéneos en los elementos de la matriz (y también formas multilineales en las filas o columnas).

Los polinomios multilineales en${\displaystyle n}$Las variables forman una${\displaystyle 2^{n}}$Espacio vectorial de dimensión , que también es la base utilizada en el análisis de Fourier de funciones (pseudo)booleanas . Toda función ( pseudo ) booleana puede expresarse de forma única como un polinomio multilineal (salvo una elección de dominio y codominio ).

Los polinomios multilineales son importantes en el estudio de la prueba de identidad polinómica . ^{[ 2 ]}

• Interpolación bilineal y trilineal , utilizando polinomios multivariados con dos o tres variables.
• Polinomio de Zhegalkin , un polinomio multilineal sobre${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• Forma multilineal y aplicación multilineal , funciones multilineales que son estrictamente lineales (no afines) en cada variable.
• Forma lineal , una función lineal multivariada
• Polinomio armónico