conjetura abc

La conjetura abc (también conocida como la conjetura de Oesterlé-Masser ) es una conjetura en teoría de números que surgió de una discusión entre Joseph Oesterlé y David Masser en 1985. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se formula en términos de tres enteros positivos.${\displaystyle a,b}$y${\displaystyle c}$(de ahí el nombre) que son relativamente primos y satisfacen${\displaystyle a+b=c}$. La conjetura esencialmente afirma que el producto de los distintos factores primos de${\displaystyle abc}$no puede ser mucho más pequeño que${\displaystyle c}$Varias conjeturas y teoremas famosos de la teoría de números se derivarían inmediatamente de la conjetura abc o sus versiones. El matemático Dorian Goldfeld describió la conjetura abc como "El problema sin resolver más importante del análisis diofántico ". ^{[ 3 ]}

La conjetura abc surgió como resultado de los intentos de Oesterlé y Masser por comprender la conjetura de Szpiro sobre curvas elípticas , ^{[ 4 ]} que involucra estructuras geométricas más complejas en su formulación que la conjetura abc . Se demostró que la conjetura abc es equivalente a la conjetura de Szpiro modificada. ^{[ 1 ]}

Se han realizado varios intentos para demostrar la conjetura abc , pero ninguno ha obtenido una amplia aceptación. Shinichi Mochizuki afirmó tener una demostración en 2012, pero la comunidad matemática convencional aún considera que la conjetura no está demostrada. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Antes de enunciar la conjetura, es necesario introducir la noción de radical de un entero : para un entero positivo${\displaystyle n}$, el radical de${\displaystyle n}$, denotado${\displaystyle {\text{rad}}(n)}$, es el producto de los distintos factores primos de${\displaystyle n}$. Por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{rad}}(16)&={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2,\\{\text{rad}}(17)&=17,\\{\text{rad}}(18)&={\text{rad}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6,\\{\text{rad}}(1000000)&={\text{rad}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10.\end{aligned}}}$$

Si a , b y c son enteros positivos coprimos ^{[ notas 1 ]} tales que a + b = c , resulta que "generalmente"${\displaystyle c<{\text{rad}}(abc)}$La conjetura abc trata sobre las excepciones. Específicamente, afirma que:

Para cada número real positivo ε , existen solo un número finito de ternas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c , tales que ^{[ 9 ]}

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Una formulación equivalente es:

Para cada número real positivo ε , existe una constante K _ε tal que para todas las ternas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

De forma equivalente (usando la notación con o minúscula ):

Una cuarta formulación equivalente de la conjetura involucra la cualidad q ( a , b , c ) de la tripleta ( a , b , c ), que se define como

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.}$

Por ejemplo:

Una terna típica ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tendrá c < rad( abc ), es decir, q ( a , b , c ) < 1. Las ternas con q > 1, como en el segundo ejemplo, son bastante especiales; consisten en números divisibles por altas potencias de números primos pequeños . La cuarta formulación es:

Si bien se sabe que hay infinitos tríos ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tales que q ( a , b , c ) > 1, la conjetura predice que solo un número finito de ellos tiene q > 1.01 o q > 1.001 o incluso q > 1.0001, etc. En particular, si la conjetura es cierta, entonces debe existir un trío ( a , b , c ) que alcance la máxima calidad posible q ( a , b , c ).

La condición de que ε > 0 es necesaria ya que existen infinitos tríos a , b , c con c > rad( abc ). Por ejemplo, sea

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

El número entero b es divisible por 9:

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

Utilizando este hecho, se realiza el siguiente cálculo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&={\tfrac {2}{3}}b\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

Al reemplazar el exponente 6 n con otros exponentes que obligan a b a tener factores cuadrados mayores, la razón entre el radical y c puede hacerse arbitrariamente pequeña. Específicamente, sea p > 2 un número primo y consideremos

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Ahora bien, se puede afirmar plausiblemente que b es divisible por p ² :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

El último paso utiliza el hecho de que p² divide a 2p ^{( p - 1 )}  -1. Esto se deduce del pequeño teorema de Fermat , que muestra que, para p  > 2, 2p ^{- 1}  =  pk  + 1 para algún entero k . Elevando ambos lados a la potencia de p, ^se obtiene que 2p ^{( p - 1)}  =  p² (...) + 1.

Y ahora, con un cálculo similar al anterior, obtenemos los siguientes resultados:

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

A continuación se presenta una lista de las tripletas de mayor calidad (triptas con un radical particularmente pequeño en relación con c ); la de mayor calidad, 1,6299, fue hallada por Eric Reyssat ( Lando & Zvonkin 2004 , p. 137) para 

La conjetura abc tiene numerosas consecuencias. Estas incluyen tanto resultados conocidos (algunos de los cuales se han demostrado por separado solo después de que se enunciara la conjetura) como conjeturas para las que proporciona una demostración condicional . Las consecuencias incluyen:

• Teorema de Roth sobre la aproximación diofántica de números algebraicos . ^{[ 10 ] [ 9 ]}
• La conjetura de Mordell (ya probada en general por Gerd Faltings ). ^{[ 11 ]}
• Como equivalente, la conjetura de Vojta en dimensión 1. ^{[ 12 ]}
• La conjetura de Erdős-Woods permite un número finito de contraejemplos. ^{[ 13 ]}
• La existencia de infinitos primos no Wieferich en cada base b > 1. ^{[ 14 ]}
• La forma débil de la conjetura de Marshall Hall sobre la separación entre cuadrados y cubos de enteros. ^{[ 15 ]}
• El último teorema de Fermat tiene una demostración famosa por su dificultad, realizada por Andrew Wiles . Sin embargo, se deduce fácilmente, al menos para${\displaystyle n\geq 6}$, a partir de una forma efectiva de una versión débil de la conjetura abc . La conjetura abc dice que el límite superior del conjunto de todas las cualidades (definido anteriormente) es 1, lo que implica la afirmación mucho más débil de que existe una cota superior finita para las cualidades. La conjetura de que 2 es tal cota superior es suficiente para una demostración muy breve del Último Teorema de Fermat para${\displaystyle n\geq 6}$. ^{[ 16 ]}
• La conjetura de Fermat-Catalán , una generalización del último teorema de Fermat sobre potencias que son sumas de potencias. ^{[ 17 ]}
• La función L ( s , χ _d ) formada con el símbolo de Legendre no tiene cero de Siegel , dada una versión uniforme de la conjetura abc en cuerpos numéricos , no solo la conjetura abc formulada anteriormente para enteros racionales. ^{[ 18 ]}
• Un polinomio P ( x ) tiene solo un número finito de potencias perfectas para todos los enteros x si P tiene al menos tres ceros simples . ^{[ 19 ]}
• Una generalización del teorema de Tijdeman sobre el número de soluciones de y ^m = x ⁿ + k (el teorema de Tijdeman responde al caso k = 1), y la conjetura de Pillai (1931) sobre el número de soluciones de Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• Como equivalente, la conjetura de Granville-Langevin, que si f es una forma binaria libre de cuadrados de grado n > 2, entonces para todo β real > 2 existe una constante C ( f , β ) tal que para todos los enteros coprimos x , y , el radical de f ( x , y ) excede C · max{| x |, | y |} ^{n − β} . ^{[ 20 ]}
• Todos los polinomios (x^n-1)/(x-1) tienen infinitos valores libres de cuadrados. ^{[ 21 ]} .
• Como equivalente, la conjetura de Szpiro modificada , que daría una cota de rad( abc ) ^{1.2+ ε} . ^{[ 1 ]}
• Dąbrowski (1996) ha demostrado que la conjetura abc implica que la ecuación diofántica n ! + A = k ² tiene solo un número finito de soluciones para cualquier entero A dado .
• Hay ~ c _f N enteros positivos n ≤ N para los cuales f ( n )/B' es libre de cuadrados, con c _f > 0 una constante positiva definida como: ^{[ 22 ]}
  ${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$
• La conjetura de Beal , una generalización del último teorema de Fermat, propone que si A , B , C , x , y y z son enteros positivos tales que A ^x + B ^y = C ^z y x , y , z > 2, entonces A , B y C tienen un factor primo común. La conjetura abc implicaría que solo existen un número finito de contraejemplos.
• La conjetura de Lang , una cota inferior para la altura de un punto racional sin torsión de una curva elíptica.
• Una solución negativa al problema de Erdős-Ulam en conjuntos densos de puntos euclidianos con distancias racionales. ^{[ 23 ]}
• Una versión efectiva del teorema de Siegel sobre puntos enteros en curvas algebraicas . ^{[ 24 ]}

La conjetura abc implica que c puede acotarse superiormente mediante una función casi lineal del radical de abc . Se conocen cotas que son exponenciales . En concreto, se han demostrado las siguientes cotas:

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$( Stewart y Tijdeman 1986 ),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$( Stewart y Yu 1991 ), y

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}}$( Stewart y Yu 2001 ).

En estos límites, K ₁ y K ₃ son constantes que no dependen de a , b , ni c , y K ₂ es una constante que depende de ε (de una manera efectivamente computable ) pero no de a , b , ni c . Los límites se aplican a cualquier triplete para el cual c > 2.

También existen resultados teóricos que proporcionan una cota inferior para la mejor forma posible de la conjetura abc . En particular, Stewart y Tijdeman (1986) demostraron que existen infinitas ternas ( a , b , c ) de enteros coprimos con a + b = c y

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}}$

para todo k < 4. La constante k fue mejorada a k = 6,068 por van Frankenhuysen (2000) .

En 2006, el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Leiden en los Países Bajos, junto con el instituto científico holandés Kennislink, lanzó el proyecto ABC@Home , un sistema de computación en malla , cuyo objetivo es descubrir ternas adicionales a , b , c tales que rad( abc ) < c . Si bien ningún conjunto finito de ejemplos o contraejemplos puede resolver la conjetura abc , se espera que los patrones en las ternas descubiertas por este proyecto aporten información valiosa sobre la conjetura y sobre la teoría de números en general.

Hasta mayo de 2014, ABC@Home había encontrado 23,8 millones de triples. ^{[ 26 ]}

Nota: la calidad q ( a , b , c ) de la tripleta ( a , b , c ) se define arriba .

La conjetura abc es un análogo entero del teorema de Mason-Stothers para polinomios.

Un fortalecimiento, propuesto por Baker (1998) , establece que en la conjetura abc se puede reemplazar rad( abc ) por

donde ω es el número total de primos distintos que dividen a , b y c . ^{[ 28 ]}

Andrew Granville notó que el mínimo de la función${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$encima${\displaystyle \varepsilon >0}$ocurre cuando${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Esto inspiró a Baker (2004) a proponer una forma más precisa de la conjetura abc , a saber:

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega$ !}}}

con κ una constante absoluta. Después de algunos experimentos computacionales, descubrió que un valor de${\displaystyle 6/5}$era admisible para κ . Esta versión se denomina la "conjetura explícita abc ".

Baker (1998) también describe conjeturas relacionadas de Andrew Granville que darían cotas superiores para c de la forma

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

donde Ω( n ) es el número total de factores primos de n , y

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

donde Θ( n ) es el número de enteros hasta n divisibles solo por primos que dividen a n .

Robert, Stewart y Tenenbaum (2014) propusieron una desigualdad más precisa basada en Robert y Tenenbaum (2013) . Sea k = rad( abc ). Conjeturaron que existe una constante C ₁ tal que

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

se cumple mientras que existe una constante C ₂ tal que

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

se cumple infinitas veces.

Browkin y Brzeziński (1994) formularon la conjetura n , una versión de la conjetura abc que involucra n > 2 enteros.

Lucien Szpiro propuso una solución en 2007, pero poco después se comprobó que era incorrecta. ^{[ 29 ]}

Desde agosto de 2012, Shinichi Mochizuki ha afirmado haber demostrado la conjetura de Szpiro y, por lo tanto, la conjetura abc . ^{[ 5 ]} Publicó una serie de cuatro preimpresiones que desarrollan una nueva teoría que denominó teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT), la cual se aplica para demostrar la conjetura abc . ^{[ 30 ]} Estos artículos no han sido ampliamente aceptados por la comunidad matemática como prueba de abc . ^{[ 31 ]} Esto se debe no solo a su extensión y a la dificultad de su comprensión, ^{[ 32 ]} sino también a que al menos un punto específico del argumento ha sido identificado como una laguna por otros expertos. ^{[ 33 ]} Aunque algunos matemáticos han avalado la corrección de la demostración ^{[ 34 ]} y han intentado comunicar su comprensión mediante talleres sobre IUTT, no han logrado convencer a la comunidad de la teoría de números en general. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron Kioto para conversar con Mochizuki. ^{[ 37 ] [ 38 ]} Si bien no resolvieron las diferencias, las aclararon. Scholze y Stix escribieron un informe afirmando y explicando un error en la lógica de la demostración y alegando que la brecha resultante era "tan grave que... pequeñas modificaciones no salvarán la estrategia de demostración"; ^{[ 33 ]} Mochizuki afirmó que malinterpretaron aspectos vitales de la teoría e hicieron simplificaciones inválidas. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

El 3 de abril de 2020, dos matemáticos del instituto de investigación de Kioto donde trabaja Mochizuki anunciaron que su supuesta demostración se publicaría en Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) , la revista del instituto. Mochizuki es el editor jefe de la revista, pero se abstuvo de participar en la revisión del artículo. ^{[ 6 ]} El anuncio fue recibido con escepticismo por Kiran Kedlaya y Edward Frenkel , y Nature lo describió como "poco probable que convenza a muchos investigadores para que se unan al bando de Mochizuki". ^{[ 6 ]} En marzo de 2021, la demostración de Mochizuki se publicó en RIMS. ^{[ 42 ]}

• Lista de problemas sin resolver en matemáticas

• ABC@home Proyecto de computación distribuida llamado ABC@Home .
• Tan fácil como el abecedario : Explicación detallada y fácil de seguir por Brian Hayes.
• Weisstein, Eric W. "Conjetura abc" . MathWorld .
• Página de inicio de la conjetura ABC de Abderrahmane Nitaj
• Página web de Bart de Smit sobre los tríos ABC
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• Los fundamentos de la teoría de números por Noam D. Elkies
• Preguntas sobre el número archivado el 16/09/2012 en la Wayback Machine por Barry Mazur
• Filosofía detrás del trabajo de Mochizuki sobre la conjetura ABC en MathOverflow
• Página wiki del proyecto ABC Conjecture Polymath que enlaza con diversas fuentes de comentarios sobre los trabajos de Mochizuki.
• Vídeo de Numberphile sobre la conjetura de ABC
• Noticias sobre IUT por Mochizuki