n conjetura

En teoría de números , la conjetura n es una conjetura enunciada por Browkin y Brzeziński (1994) como una generalización de la conjetura abc a más de tres enteros .

Dado${\displaystyle n\geq 3}$, dejar${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {Z} }$Cumplir tres condiciones:

(i)${\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})=1}$

(ii)${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=0}$

(iii) ninguna subsuma adecuada de${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$igual${\displaystyle 0}$

Primera formulación

La conjetura n afirma que para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay una constante${\displaystyle C}$Dependiendo de${\displaystyle n}$y${\displaystyle \varepsilon }$, de tal manera que:

${\displaystyle \operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|)<C_{n,\varepsilon }\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot \ldots \cdot |a_{n}|)^{2n-5+\varepsilon }}$

dónde${\displaystyle \operatorname {rad} (m)}$denota el radical de un número entero${\displaystyle m}$, definido como el producto de los distintos factores primos de${\displaystyle m}$.

Segunda formulación

Defina la calidad de${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$como

${\displaystyle q(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\frac {\log(\operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|))}{\log(\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|))}}}$

La conjetura n afirma que${\displaystyle \limsup q(a_{1},a_{2},...,a_{n})=2n-5}$.

Vojta (1998) propuso una variante más fuerte de la conjetura n , donde la coprimaz por conjuntos de${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$se reemplaza por la coprimalidad por pares de${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$.

Hay dos formulaciones diferentes de esta conjetura fuerte n .

Dado${\displaystyle n\geq 3}$, dejar${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {Z} }$Cumplir tres condiciones:

(i)${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$son coprimos por pares

(ii)${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=0}$

(iii) ninguna subsuma adecuada de${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$igual${\displaystyle 0}$

Primera formulación

La conjetura fuerte n establece que para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay una constante${\displaystyle C}$Dependiendo de${\displaystyle n}$y${\displaystyle \varepsilon }$, de tal manera que:

${\displaystyle \operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|)<C_{n,\varepsilon }\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot \ldots \cdot |a_{n}|)^{1+\varepsilon }}$

Segunda formulación

Defina la calidad de${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$como

${\displaystyle q(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\frac {\log(\operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|))}{\log(\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|))}}}$

La conjetura n fuerte afirma que${\displaystyle \limsup q(a_{1},a_{2},...,a_{n})=1}$.

Hölzl, Kleine y Stephan (2025) harvtxt error: no target: CITEREFHölzl,_Kleine_and_Stephan2025 ( ayuda ) han demostrado que para${\displaystyle n\geq 5}$El límite superior anterior es para impares${\displaystyle n}$al menos${\displaystyle 5/3}$y para incluso${\displaystyle n}$es al menos${\displaystyle 5/4}$. Para los casos${\displaystyle n=3}$(conjetura abc) y${\displaystyle n=4}$, no encontraron ningún límite inferior no trivial. También está abierto si existe un límite superior constante común por encima de los límites superiores para todos${\displaystyle n\geq 3}$Para conocer el estado exacto del caso${\displaystyle n=3}$Consulte el artículo sobre la conjetura abc .

• Browkin, Jerzy ; Brzeziński, Juliusz (1994). "Algunas observaciones sobre la conjetura abc ". Math. Comp . 62 (206): 931– 939. Bibcode : 1994MaCom..62..931B . doi : 10.2307/2153551 . JSTOR 2153551 . 
• Hölzl, Rupert; Kleine, Sören; Stephan, Frank (2025). "Límites inferiores mejorados para conjeturas n fuertes" . Journal of the Australian Mathematical Society . 119 : 61–81 . arXiv : 2409.13439 . doi : 10.1017/S1446788725000084 .

• Vojta, Paul (1998). "Una conjetura abc más general" . International Mathematics Research Notices . 1998 (21): 1103–1116 . arXiv : math/9806171 . doi : 10.1155/S1073792898000658 . MR 1663215 .