Sintonización de cinco límites

La afinación de límite cinco , afinación de límite 5 o afinación de límite primo 5 (que no debe confundirse con la afinación de límite impar 5 ), es cualquier sistema para afinar un instrumento musical que obtiene la frecuencia de cada nota multiplicando la frecuencia de una nota de referencia dada (la nota base) por productos de potencias enteras de 2, 3 o 5 ( números primos limitados a 5 o menos), como 2 ⁻³ ·3 ¹ ·5 ¹ = 15/8 .

Las potencias de 2 representan movimientos interválicos por octavas. Las potencias de 3 representan movimientos por intervalos de quintas justas (más una octava, que se puede eliminar multiplicando por 1/2, es decir, 2 ⁻¹ ). Las potencias de 5 representan intervalos de terceras mayores (más dos octavas, eliminables multiplicando por 1/4, es decir, 2 ⁻² ). Por lo tanto, las afinaciones de 5 límites se construyen completamente a partir de la superposición de tres intervalos básicos puramente afinados (octavas, terceras y quintas). Dado que la percepción de la consonancia parece estar relacionada con los números bajos en la serie armónica, y la afinación de 5 límites se basa en los tres primos más bajos, debería ser capaz de producir armonías muy consonantes. Por lo tanto, la afinación de 5 límites se considera un método para obtener la entonación justa .

El número de intervalos potenciales, clases de altura, alturas, centros tonales, acordes y modulaciones disponibles para las afinaciones de límite 5 es ilimitado, ya que ninguna potencia (entero distinto de cero) de ningún número primo es igual a ninguna potencia de ningún otro número primo; por lo tanto, los intervalos disponibles pueden imaginarse extendiéndose indefinidamente en una red tridimensional (una dimensión, o una dirección, para cada número primo). Si se ignoran las octavas, puede verse como una red bidimensional de clases de altura (nombres de notas) que se extiende indefinidamente en dos direcciones.

Sin embargo, la mayoría de los sistemas de afinación diseñados para instrumentos acústicos restringen el número total de tonos por razones prácticas. También es habitual (aunque no siempre) que cada octava tenga el mismo número de tonos, representando transposiciones de octava de un conjunto fijo de clases de tonos. En ese caso, el sistema de afinación también puede considerarse como una escala repetitiva de octava con un número determinado de tonos por octava.

La frecuencia de cualquier tono en un sistema de afinación particular de 5 límites se puede obtener multiplicando la frecuencia de un tono de referencia fijo elegido para el sistema de afinación (como A440 , A442, A432, C256, etc.) por alguna combinación de potencias de 3 y 5 para determinar la clase de tono y alguna potencia de 2 para determinar la octava.

Por ejemplo, si tenemos un sistema de afinación de límite 5 donde la nota base es C256 (lo que significa que tiene 256 ciclos por segundo y decidimos llamarla C), entonces f _C = 256  Hz, o "la frecuencia de C es igual a 256  Hz". Hay varias maneras de definir E por encima de este C. Usando terceras, se puede subir un factor de 5 y bajar dos factores de 2, alcanzando una relación de frecuencia de 5/4, o usando quintas se puede subir cuatro factores de 3 y bajar seis factores de 2, alcanzando 81/64. Las frecuencias se convierten en:

${\displaystyle f_{E}=5^{1}\cdot 3^{0}\cdot 2^{-2}\cdot f_{C}={5 \over 4}\cdot 256\ \mathrm {Hz} =320\ \mathrm {Hz} }$

o

${\displaystyle f_{E}=5^{0}\cdot 3^{4}\cdot 2^{-6}\cdot f_{C}={81 \over 64}\cdot 256\ \mathrm {Hz} =324\ \mathrm {Hz} }$

Si nos limitamos a siete clases de altura (siete notas por octava), es posible afinar la conocida escala diatónica utilizando la afinación de límite de 5 de varias maneras, todas las cuales hacen que la mayoría de las tríadas estén idealmente afinadas y sean lo más consonantes y estables posible, pero dejan algunas tríadas en configuraciones interválicas menos estables.

Las notas principales de una escala determinada se afinan de manera que sus frecuencias formen proporciones de números enteros relativamente pequeños. Por ejemplo, en la tonalidad de Do mayor , la proporción de las frecuencias de las notas Do a Sol (una quinta justa ) es 3/2, mientras que la de Do a Fa es 2/3 (una quinta justa descendente) o 4/3 (una cuarta justa ) ascendente, y la tercera mayor de Do a Mi es 5/4.

Una escala diatónica justa puede derivarse de la siguiente manera. Imaginando la tonalidad de Do mayor, supongamos que insistimos en que la raíz subdominante Fa y la raíz dominante Sol estén a una quinta (3:2) de la raíz tónica Do a cada lado, y que los acordes FAC, CEG y GBD sean tríadas mayores justas (con relaciones de frecuencia 4:5:6):

Esta se conoce como la escala diatónica intensa de Ptolomeo . Aquí, la fila titulada "Natural" expresa todas estas proporciones utilizando una lista común de números naturales (multiplicando la fila anterior por el mínimo común múltiplo de sus denominadores). En otras palabras, la forma más baja de esta escala de una octava dentro de la serie armónica se da como un subconjunto de 7 de los 24 armónicos que se encuentran en la octava comprendida entre los armónicos 24 y 48.

Las tres terceras mayores son correctas (5:4), y tres de las terceras menores son como se esperaba (6:5), pero de D a F es un semitono o tercera menor pitagórica (igual a tres quintas justas descendentes, ajustadas a una octava), una coma sintónica más estrecha que una tercera menor afinada correctamente (6:5).

Como consecuencia, obtenemos una escala en la que EGB y ACE son simplemente tríadas menores (10:12:15), pero la tríada DFA no tiene la forma o el sonido menor que podríamos esperar, siendo (27:32:40). Además, la tríada BDF no es la tríada disminuida (25:30:36) que obtendríamos al apilar dos terceras menores 6:5, siendo (45:54:64) en su lugar: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Se puede observar que aparecen intervalos de escala básicos por pasos:

• s = 16:15 ( semitono )
• t = 10:9 ( tono menor )
• T = 9:8 ( tono mayor )

que pueden combinarse para formar intervalos más grandes (entre otros):

• Ts = 6:5 (tercera menor)
• Tt = 5:4 (tercera mayor)
• Tts = 4:3 (cuarta perfecta)
• TTts = 3:2 (quinta perfecta)
• TTTttss 2:1 (octava)

Otra forma de hacerlo es la siguiente. Pensando en la tonalidad menor relativa de La menor y usando D, A y E como nuestra columna vertebral de quintas, podemos insistir en que los acordes DFA, ACE y EGB sean simplemente tríadas menores (10:12:15):

Si lo comparamos con la escala anterior, vemos que para cinco pares de notas sucesivas las proporciones de los pasos permanecen iguales, pero en una nota, D, los pasos CD y DE han intercambiado sus proporciones.

Las tres terceras mayores siguen siendo 5:4, y tres de las terceras menores siguen siendo 6:5, siendo la cuarta 32:27, excepto que ahora es BD en lugar de DF la que es 32:27. FAC y CEG siguen formando solo tríadas mayores (4:5:6), pero GBD ahora es (108:135:160), y BDF ahora es (135:160:192).

Existen otras posibilidades, como subir la nota La en lugar de bajar la nota Re, pero cada ajuste provoca algún otro problema.

Es evidente que no es posible obtener las siete tríadas diatónicas en la configuración (4:5:6) para mayor, (10:12:15) para menor y (25:30:36) para disminuida al mismo tiempo si nos limitamos a siete notas.

Eso demuestra la necesidad de aumentar el número de tonos para ejecutar las armonías deseadas afinadas.

Para construir una escala de doce tonos con afinación de límite de 5, comenzamos construyendo una tabla que contiene quince tonos con la entonación correcta:

Los factores que aparecen en la primera fila y la primera columna son potencias de 3 y 5 respectivamente (por ejemplo, 1/9 = 3 − ² ). Los colores indican pares de notas enarmónicas con altura casi idéntica. Todas las razones se expresan en relación con el Do en el centro de este diagrama (la nota base de esta escala). Se calculan en dos pasos:

1. Para cada celda de la tabla, se obtiene una razón base multiplicando los factores correspondientes. Por ejemplo, la razón base para la celda inferior izquierda es 1/9 · 1/5 = 1/45.
2. La proporción base se multiplica luego por una potencia de 2, ya sea negativa o positiva, lo suficientemente grande como para que se encuentre dentro del rango de la octava que comienza en C (de 1/1 a 2/1). Por ejemplo, la proporción base de la celda inferior izquierda (1/45) se multiplica por 2⁶ ^, y la proporción resultante es 64/45, que es un número entre 1/1 y 2/1.

Nótese que las potencias de 2 utilizadas en el segundo paso pueden interpretarse como octavas ascendentes o descendentes . Por ejemplo, multiplicar la frecuencia de una nota por ^2⁶ significa aumentarla en 6 octavas. Además, cada fila de la tabla puede considerarse una secuencia de quintas (ascendentes a la derecha) y cada columna una secuencia de terceras mayores (ascendentes). Por ejemplo, en la primera fila de la tabla, hay una quinta ascendente de Re y La, y otra (seguida de una octava descendente) de La a Mi. Esto sugiere un método alternativo pero equivalente para calcular las mismas proporciones. Por ejemplo, se puede obtener La (proporción 5/3), partiendo de Do, moviendo una celda a la izquierda y una hacia arriba en la tabla, lo que significa descender una quinta (2/3) y ascender una tercera mayor (5/4):

${\displaystyle {1 \over 1}\cdot {2 \over 3}\cdot {5 \over 4}={10 \over 12}={5 \over 6}.}$

Dado que esto está por debajo de C, necesitas subir una octava para terminar dentro del rango de proporciones deseado (de 1/1 a 2/1):

${\displaystyle {5 \over 6}\cdot {2 \over 1}={10 \over 6}={5 \over 3}.}$

Una escala de 12 tonos se obtiene eliminando una nota por cada par de notas enarmónicas. Esto se puede hacer de al menos tres maneras, que tienen en común la eliminación de Sol ♭ , según una convención válida incluso para las escalas pitagóricas y mesotónicas de coma de 1/4 basadas en Do. Nótese que es una quinta disminuida , cercana a media octava, por encima de la tónica Do, que es un intervalo disarmónico; además, su razón tiene los valores más grandes en su numerador y denominador de todos los tonos de la escala, lo que la hace menos armoniosa: razones suficientes para evitarla. La primera estrategia, que aquí denominamos operativamente escala simétrica 1 , consiste en seleccionar para su eliminación los tonos en las esquinas superior izquierda e inferior derecha de la tabla. La segunda, denominada escala simétrica 2 , consiste en descartar las notas en la primera y última celda de la segunda fila (etiquetada como " 1 "). La tercera, denominada escala asimétrica , consiste en descartar la primera columna (etiquetada como " 1/9 "). Las escalas de 12 tonos resultantes se muestran a continuación:

En la primera y la segunda escala, Si ♭ y Re son exactamente la inversión una de la otra. Esto no ocurre en la tercera. Por esta razón, estas dos escalas se consideran simétricas (aunque la eliminación de Sol ♭ hace que todas las escalas de 12 tonos, incluidas las producidas con cualquier otro sistema de afinación, sean ligeramente asimétricas).

El sistema asimétrico tiene la ventaja de tener las proporciones "más justas" (aquellas que contienen números más pequeños), nueve quintas puras (factor 3/2), ocho terceras mayores puras (factor 5/4) por diseño, pero también seis terceras menores puras (factor 6/5). Sin embargo, también contiene dos quintas impuras (por ejemplo, de D a A es 40/27 en lugar de 3/2) y tres terceras menores impuras (por ejemplo, de D a F es 32/27 en lugar de 6/5), lo que prácticamente limita la modulación a un rango estrecho de tonalidades. Los acordes de la tónica C, la dominante G y la subdominante F son puros, así como D ♭ , A ♭ , E ♭ y los acordes menores Fm, Cm, Gm, Am, Bm y Em, pero no el Dm.

Una desventaja del sistema asimétrico es que produce 14 intervalos de Wolf , en lugar de 12 como en los sistemas simétricos.

El Si ♭ de la primera escala simétrica se diferencia del Si ♭ de las demás escalas por la coma sintónica , que supera los 21 cents. En las escalas temperadas, esta diferencia se elimina al mantener la misma relación de frecuencias en todos los intervalos.

La construcción de la escala asimétrica se muestra gráficamente en la imagen. Cada bloque tiene una altura en cents que corresponde a las relaciones de frecuencia constructivas 2/1, 3/2 y 5/4. Se pueden reconocer patrones recurrentes. Por ejemplo, en muchas ocasiones la siguiente nota se crea reemplazando un bloque de 5/4 y un bloque de 3/2 por un bloque de 2/1, lo que representa una relación de 16/15.

Para una imagen similar, construida utilizando factores de frecuencia 2, 3 y 5, en lugar de 2/1, 3/2 y 5/4, consulte aquí .

Las proporciones justas utilizadas para construir estas escalas pueden servir de referencia para evaluar la consonancia de los intervalos en otras escalas (véase, por ejemplo, esta tabla comparativa ). Sin embargo, la afinación de 5 límites no es el único método para obtener la entonación justa . Es posible construir intervalos justos con proporciones aún más justas o, alternativamente, con valores más cercanos a los equivalentes del temperamento igual. Por ejemplo, a veces se utiliza una afinación de 7 límites para obtener un intervalo ligeramente más justo y, por consiguiente, más consonante para la séptima menor (7/4) y su inversión, la segunda mayor (8/7). A continuación se presenta una lista de estas proporciones de referencia, que pueden denominarse intervalos o proporciones puras o estrictamente justas :

Las celdas resaltadas en amarillo indican intervalos más justos que los de las celdas sin color de la misma fila. Las resaltadas en cian indican proporciones aún más justas.

Nótese que las proporciones 45/32 y 64/45 para los tritones (cuarta aumentada y quinta disminuida) no se consideran estrictamente justas en todos los contextos, pero son las más justas posibles en las escalas de afinación de 5 límites mencionadas anteriormente. Una escala de 5 límites asimétrica extendida (véase más abajo) proporciona proporciones ligeramente más justas para ambos tritones (25/18 y 36/25), cuya pureza también es controvertida. La afinación de 7 límites permite las proporciones más justas posibles, a saber, 7/5 (aproximadamente 582,512 cents, también conocido como tritono septimal ) y 10/7 (aproximadamente 617,488 cents). Estas proporciones son más consonantes que 17/12 (alrededor de 603.000 cents) y 24/17 (alrededor de 597.000 cents), que se pueden obtener en la afinación de límite de 17, aunque estas últimas también son bastante comunes, ya que están más cerca del valor de temperamento igual de 600.000 cents.

El intervalo de 7/4 mencionado anteriormente (aproximadamente 968,826 cents), también conocido como séptima menor septimal o séptima armónica, ha sido un tema polémico a lo largo de la historia de la teoría musical; es 31 cents más bajo que una séptima menor temperada.

Las tablas anteriores solo muestran las relaciones de frecuencia de cada nota con respecto a la nota base. Sin embargo, los intervalos pueden partir de cualquier nota, por lo que se pueden definir doce intervalos para cada tipo : doce unísonos, doce semitonos , doce intervalos de dos semitonos, etc.

En la afinación de 5 límites, cada tipo de intervalo, excepto los unísonos y las octavas, tiene tres o cuatro tamaños diferentes. Este es el precio que se paga por buscar la entonación justa. La tabla de la derecha muestra sus relaciones de frecuencia para la escala asimétrica, con las desviaciones coloreadas y las desviaciones correspondientes a los intervalos de Wolf en púrpura. Las desviaciones surgen porque las notas determinan cuatro semitonos diferentes :

${\displaystyle S_{1}={{5 \over 4}\div {6 \over 5}}={25 \over 24}\approx 70.672\ {\hbox{cents}}}$ ("Just" unísono aumentado entre Mi ♭ y Mi)

${\displaystyle S_{2}={{9 \over 8}\div {16 \over 15}}={135 \over 128}\approx 92.179\ {\hbox{cents}}}$ (Unísono aumentado entre D ♭ y D)

${\displaystyle S_{3}={16 \over 15}\approx 111.731\ {\hbox{cents}}}$ ("Justo" segunda menor entre C y D ♭ )

${\displaystyle S_{4}={{9 \over 5}\div {5 \over 3}}={27 \over 25}\approx 133.238\ {\hbox{cents}}}$ (Segunda menor entre A y B ♭ )

Por el contrario, en una escala cromática temperada de igual intensidad , todos los semitonos miden

${\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ centavos}}}$

y los intervalos de cualquier tipo tienen el mismo tamaño, pero ninguno está afinado correctamente excepto los unísonos y las octavas.

La tabla anterior utiliza únicamente potencias bajas de 3 y 5 para construir las proporciones base. Sin embargo, se puede extender fácilmente utilizando potencias positivas y negativas mayores de los mismos números, como 5² ⁼ 25, 5⁻² ⁼ 1/25, 3³ ⁼ 27 o 3⁻³ ⁼ 1/27. Combinando estas proporciones base, se puede obtener una escala con 25, 35 o incluso más tonos.

Por ejemplo, se pueden obtener 35 tonos añadiendo filas en cada dirección de esta manera:

La columna izquierda ( 1/9 ) a veces se elimina (como en la escala asimétrica mostrada arriba), creando así una tabla asimétrica con un número menor de tonos. Nótese que se produce una proporción más justa para la quinta disminuida (CG ♭ = 36/25), con respecto a la afinación restringida de límite 5 descrita anteriormente (donde C a G ♭ = 64/45). ^{[ 4 ]}

En la llamada afinación "pitagórica", una afinación apropiada de los babilonios y erróneamente atribuida a Pitágoras, ^{[ 5 ]} los únicos intervalos altamente consonantes eran la quinta justa y su inversión, la cuarta justa . La tercera mayor pitagórica (81:64) y la tercera menor (32:27) eran disonantes , y esto impedía a los músicos usar tríadas y acordes , obligándolos durante siglos a escribir música con una textura relativamente simple . A finales de la Edad Media , los músicos se dieron cuenta de que al temperar ligeramente el tono de algunas notas, las terceras pitagóricas podían hacerse consonantes . Por ejemplo, si se disminuye en una coma sintónica (81:80), la frecuencia de E, CE (una tercera mayor) y EG (una tercera menor) se vuelven justas. Es decir, CE se reduce a una proporción de entonación justa de

${\displaystyle {81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}={5 \over 4}}$

y al mismo tiempo EG se amplía a la justa proporción de

${\displaystyle {32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}={6 \over 5}}$

El inconveniente es que las quintas AE y EB, al bajar la altura de E, se vuelven casi tan disonantes como la quinta pitagórica del lobo . Pero la quinta CG permanece consonante, ya que solo E ha sido bajada (CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2), y puede usarse junto con CE para producir una tríada de Do mayor (CEG).

Al generalizar este sencillo razonamiento, Gioseffo Zarlino , a finales del siglo XVI, creó la primera escala diatónica (de 7 tonos ) con entonación justa, que contenía quintas perfectas puras (3:2), terceras mayores puras y terceras menores puras:

F → A → C → E → G → B → D

Esta es una secuencia de terceras mayores (M3, relación 5:4) y terceras menores (m3, relación 6:5), comenzando desde F:

F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3

Dado que M3 + m3 = P5 (quinta justa), es decir, 5/4 * 6/5 = 3/2, esto es exactamente equivalente a la escala diatónica obtenida en la entonación justa de 5 límites y, por lo tanto, puede considerarse un subconjunto de la tabla de construcción utilizada para la escala de 12 tonos ( cromática ):

donde ambas filas son secuencias de quintas simples, y FA, ​​CE, GB son terceras mayores simples:

• Matemáticas de las escalas musicales
• Música microtonal
• Microafinador
• intervalo pitagórico
• Semitono
• Lista de intervalos en entonación justa de 5 límites
• Lista de intervalos mesotónicos
• Lista de intervalos musicales
• Lista de intervalos de tono
• Escala de tonos enteros
• Número regular
• Hexany
• Sintonizador electrónico
• Consonancia y disonancia

• Arte de los Estados Unidos: obras microtonales/de entonación justa que utilizan la entonación justa por compositores estadounidenses
• La Fundación Chrysalis – Entonación justa: dos definiciones
• Guitarra de entonación justa de 21 tonos de Dante Rosati
• Entonación justa de Mark Nowitzky
• Explicación de la entonación justa por Kyle Gann
• Una selección de obras de entonación justa editadas por la web Just Intonation Network publicadas en el archivo del proyecto Tellus Audio Cassette Magazine en UbuWeb.
• Fundación de Música y Artes Medievales
• Music Novatory – Entonación justa Archivado el 15/06/2011 en Wayback Machine
• ¿Por qué suena tan bien la entonación justa?
• Los archivos de Wilson
• Barbieri, Patrizio. Instrumentos y música enarmónicos, 1470-1900 . (2008) Latina, El Levante
• Software de teclado de entonación justa de 22 notas con 12 sonidos de instrumentos indios Libreria Editrice