Forma única

En geometría diferencial , una 1-forma (o campo covectorial ) en una variedad diferenciable es una forma diferencial de grado uno, es decir, una sección suave del fibrado cotangente . ^{[ 1 ]} De forma equivalente, una 1-forma en una variedad${\displaystyle M}$es una aplicación suave del espacio total del fibrado tangente de${\displaystyle M}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$cuya restricción a cada fibra es un funcional lineal en el espacio tangente. ^{[ 2 ]} Sea${\displaystyle U}$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle M}$y${\displaystyle p\in U}$. Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega :U&\rightarrow \bigcup _{p\in U}T_{p}^{*}(M)\\p&\mapsto \omega _{p}\in T_{p}^{*}(M)\end{aligned}}}$$ define una forma única${\displaystyle \omega }$.${\displaystyle \omega _{p}}$es un covector.

A menudo, las 1-formas se describen localmente , particularmente en coordenadas locales . En un sistema de coordenadas local, una 1-forma es una combinación lineal de los diferenciales de las coordenadas: $${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$ donde el${\displaystyle f_{i}}$son funciones suaves. Desde esta perspectiva, una 1-forma tiene una ley de transformación covariante al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Por lo tanto, una 1-forma es un campo tensorial covariante de orden 1 .

La forma diferencial no trivial más básica es la forma de "cambio de ángulo".${\displaystyle d\theta .}$Esto se define como la derivada de la "función" del ángulo.${\displaystyle \theta (x,y)}$(que solo está definida salvo una constante aditiva), la cual puede definirse explícitamente en términos de la función atan2 . Al tomar la derivada se obtiene la siguiente fórmula para la derivada total : $${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$ Si bien la "función" del ángulo no puede definirse de forma continua, la función atan2 es discontinua a lo largo del eje negativo.${\displaystyle y}$-eje – que refleja el hecho de que el ángulo no puede definirse de forma continua, esta derivada está definida de forma continua excepto en el origen, lo que refleja el hecho de que los cambios infinitesimales (e incluso locales) en el ángulo pueden definirse en cualquier lugar excepto en el origen. Integrar esta derivada a lo largo de una trayectoria da el cambio total en el ángulo a lo largo de la trayectoria, e integrar sobre un bucle cerrado da el número de vueltas por${\displaystyle 2\pi .}$

En el lenguaje de la geometría diferencial , esta derivada es una 1-forma en el plano perforado . Es cerrada (su derivada exterior es cero) pero no exacta , lo que significa que no es la derivada de una 0-forma (es decir, una función): el ángulo${\displaystyle \theta }$No se trata de una función suave definida globalmente en todo el plano perforado. De hecho, esta forma genera la primera cohomología de De Rham del plano perforado. Este es el ejemplo más básico de dicha forma, y ​​resulta fundamental en geometría diferencial.

Dejar${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$estar abierto (por ejemplo, un intervalo${\displaystyle (a,b)}$), y consideremos una función diferenciable${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$con derivado${\displaystyle f'.}$El diferencial${\displaystyle df}$asigna a cada punto${\displaystyle x_{0}\in U}$un mapeo lineal desde el espacio tangente${\displaystyle T_{x_{0}}U}$a los números reales. En este caso, cada espacio tangente se identifica naturalmente con la recta numérica real y el mapeo lineal.${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$en cuestión viene dado por escalado por${\displaystyle f'(x_{0}).}$Este es el ejemplo más simple de una forma diferencial (de uno).

• Forma diferencial : expresión que puede integrarse sobre una región. 
• Producto interno – Espacio vectorial con producto escalar generalizado Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 
• Red recíproca : transformada de Fourier de una red en el espacio real, importante en la física del estado sólido. 
• Tensor : objeto algebraico con aplicaciones geométricas.