Cálculo ZX

El cálculo ZX es un lenguaje gráfico . Fue concebido para razonar sobre mapas lineales entre cúbits , representados como diagramas de cadenas llamados diagramas ZX . Un diagrama ZX consta de un conjunto de generadores llamados arañas que representan tensores específicos . Estos se conectan entre sí para formar una red tensorial similar a la notación gráfica de Penrose . Debido a las simetrías de las arañas y las propiedades de la categoría subyacente , deformar topológicamente un diagrama ZX (es decir, mover los generadores sin cambiar sus conexiones) no afecta al mapa lineal que representa. Además de las igualdades entre diagramas ZX generadas por deformaciones topológicas, el cálculo también cuenta con un conjunto de reglas de reescritura gráfica para transformar diagramas entre sí. El cálculo ZX es universal en el sentido de que cualquier mapa lineal entre cúbits puede representarse como un diagrama, y ​​existen diferentes conjuntos de reglas de reescritura gráfica para distintas familias de mapas lineales. Los diagramas ZX pueden considerarse una generalización de la notación de circuitos cuánticos y forman un subconjunto estricto de redes tensoriales que representan categorías de fusión generales y funciones de onda de sistemas de espín cuántico. ^{[ 1 ]}

El cálculo ZX fue introducido por primera vez por Bob Coecke y Ross Duncan en 2008 como una extensión de la escuela de razonamiento de la mecánica cuántica categórica . Introdujeron los conceptos fundamentales de arañas, complementariedad fuerte y la mayoría de las reglas de reescritura estándar. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En 2009, Duncan y Perdrix encontraron la regla de descomposición de Euler adicional para la puerta de Hadamard , ^{[ 4 ]} que Backens utilizó en 2013 para establecer el primer resultado de completitud para el cálculo ZX. ^{[ 5 ]} A saber, que existe un conjunto de reglas de reescritura que bastan para probar todas las igualdades entre diagramas ZX estabilizadores , donde las fases son múltiplos de${\displaystyle \pi /2}$, hasta escalares globales. Este resultado fue posteriormente refinado hasta su completitud incluyendo factores escalares. ^{[ 6 ]}

Tras un resultado de incompletitud, ^{[ 7 ]} en 2017, se completó el cálculo ZX para la aproximadamente universal${\displaystyle \pi /4}$Se encontró un fragmento, ^{[ 8 ]} además de dos resultados de completitud diferentes para el cálculo ZX universal (donde se permite que las fases tomen cualquier valor real). ^{[ 9 ] [ 10 ]}

También en 2017 se publicó el libro Picturing Quantum Processes , que desarrolla la teoría cuántica desde cero, utilizando el cálculo ZX. ^{[ 11 ]} Véase también el libro Categories for Quantum Theory de 2019. ^{[ 12 ]}

Los diagramas ZX constan de nodos verdes y rojos llamados arañas , conectados por cables . Estos cables pueden curvarse y cruzarse, un número arbitrario de cables puede conectarse a la misma araña, y varios cables pueden conectar el mismo par de nodos. También existen los nodos de Hadamard, generalmente representados por un recuadro amarillo, que siempre se conectan a exactamente dos cables.

Los diagramas ZX representan mapeos lineales entre cúbits , de forma similar a como los circuitos cuánticos representan mapeos unitarios entre cúbits. Los diagramas ZX se diferencian de los circuitos cuánticos en dos aspectos principales. El primero es que los diagramas ZX no tienen que ajustarse a la estructura topológica rígida de los circuitos y, por lo tanto, pueden deformarse arbitrariamente. El segundo es que los diagramas ZX incluyen un conjunto de reglas de reescritura, denominadas colectivamente cálculo ZX . Mediante estas reglas, se pueden realizar cálculos en el propio lenguaje gráfico.

Solo importa la topología.

Dos diagramas representan el mismo operador lineal si constan de los mismos generadores conectados de la misma manera. En otras palabras, siempre que dos diagramas ZX puedan transformarse uno en otro mediante deformación topológica, entonces representan el mismo mapeo lineal. Por lo tanto, la puerta NOT controlada puede representarse de la siguiente manera:

Reescritura de diagramas

El siguiente ejemplo de un circuito cuántico construye un estado GHZ . Al traducirlo a un diagrama ZX, utilizando las reglas de que "las arañas adyacentes del mismo color se fusionan", "Hadamard cambia el color de las arañas" y "las arañas de paridad 2 son identidades", se puede reducir gráficamente a un estado GHZ:

Cualquier mapeo lineal entre cúbits puede representarse como un diagrama ZX; es decir, los diagramas ZX son universales . Un diagrama ZX dado puede transformarse en otro diagrama ZX utilizando las reglas de reescritura del cálculo ZX si y solo si ambos diagramas representan el mismo mapeo lineal; es decir, el cálculo ZX es correcto y completo .

La categoría de diagramas ZX es una categoría compacta de daga , lo que significa que tiene una estructura monoidal simétrica (un producto tensorial), es compacta cerrada (tiene copas y tapas ) y viene equipada con una daga , de modo que todas estas estructuras interactúan adecuadamente. Los objetos de la categoría son los números naturales, con el producto tensorial dado por la suma (la categoría es un PROP ). Los morfismos de esta categoría son diagramas ZX. Dos diagramas ZX se componen yuxtaponiéndolos horizontalmente y conectando las salidas del diagrama de la izquierda con las entradas del diagrama de la derecha. El producto monoidal de dos diagramas se representa colocando un diagrama encima del otro.

En efecto, todos los diagramas ZX se construyen libremente a partir de un conjunto de generadores mediante composición y producto monoide, módulo las igualdades inducidas por la estructura compacta y las reglas del cálculo ZX que se dan a continuación. Por ejemplo, la identidad del objeto${\displaystyle n}$se representa como${\displaystyle n}$cables paralelos de izquierda a derecha, con el caso especial${\displaystyle n=0}$siendo el diagrama vacío.

La siguiente tabla muestra los generadores junto con sus interpretaciones estándar como mapas lineales, expresados ​​en notación de Dirac . Los estados de la base computacional se denotan por${\displaystyle \mid 0\rangle ,\vert 1\rangle }$y los estados base transformados de Hadamard son${\displaystyle \mid \pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\vert 0\rangle \pm \vert 1\rangle )}$. El${\displaystyle n}$-producto tensorial de pliegue del vector${\displaystyle \mid \psi \rangle }$se denota por${\displaystyle \mid \psi \rangle ^{\otimes n}}$.

Existen diversas versiones del cálculo ZX, que utilizan distintos sistemas de reglas de reescritura como axiomas. Todas comparten la metarregla de que "solo importa la topología", lo que significa que dos diagramas son iguales si constan de los mismos generadores conectados de la misma manera, independientemente de cómo estén dispuestos estos generadores en el diagrama. A continuación se presentan algunas de las reglas de reescritura principales, aquí dadas "salvo un factor escalar": es decir, dos diagramas se consideran iguales si sus interpretaciones como aplicaciones lineales difieren en un factor complejo distinto de cero.

El cálculo ZX se ha utilizado en diversas tareas de información y computación cuántica .

• Se ha utilizado para describir la computación cuántica basada en mediciones y los estados de grafos . ^{[ 4 ] [ 17 ] [ 18 ]}
• El cálculo ZX es un lenguaje para cirugía reticular en códigos de superficie . ^{[ 19 ] [ 20 ]}
• Se ha utilizado para encontrar y verificar la corrección de los códigos de corrección de errores cuánticos . ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}
• Se ha utilizado para optimizar circuitos cuánticos. ^{[ 24 ]}

Las reglas de reescritura del cálculo ZX se pueden implementar formalmente como una instancia de reescritura de doble empuje . Esto se ha utilizado en el software Quantomatic para permitir la reescritura automatizada de diagramas ZX (o diagramas de cadena más generales ). ^{[ 25 ]} Para formalizar el uso de los "puntos" para denotar cualquier número de cables, como se usa en la regla de fusión de araña, este software utiliza la notación bang-box ^{[ 26 ]} para implementar reglas de reescritura donde las arañas pueden tener cualquier número de entradas o salidas.

Un proyecto más reciente para manejar diagramas ZX es PyZX, que se centra principalmente en la optimización de circuitos. ^{[ 16 ]}

El paquete de LaTeX zx-calculus puede utilizarse para componer diagramas ZX. Muchos autores también utilizan el software TikZiT como interfaz gráfica de usuario para facilitar la composición de diagramas.

El cálculo ZX es solo uno de varios lenguajes gráficos para describir mapas lineales entre cúbits. El cálculo ZW se desarrolló junto con el cálculo ZX y puede describir de forma natural el estado W y la computación cuántica fermiónica. ^{[ 27 ] [ 28 ]} Fue el primer lenguaje gráfico que tenía un conjunto completo de reglas para un conjunto aproximadamente universal de mapas lineales entre cúbits, ^{[ 9 ]} y los primeros resultados de completitud del cálculo ZX utilizan una reducción al cálculo ZW.

Un lenguaje más reciente es el cálculo ZH . Este añade la caja H como generador, que generaliza la puerta Hadamard del cálculo ZX. Puede describir de forma natural circuitos cuánticos que involucran puertas Toffoli. ^{[ 29 ]}

Hasta escalares, el cálculo ZX sin fase, generado por${\displaystyle 0}$-arañas etiquetadas es equivalente a la categoría cerrada compacta de daga de relaciones lineales sobre el campo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$. En otras palabras, dado un diagrama con${\displaystyle n}$entradas y${\displaystyle m}$salidas en el cálculo ZX sin fase, sus estabilizadores X forman un subespacio lineal de${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}\oplus \mathbb {F} _{2}^{m}}$y la composición de diagramas ZX libres de fase corresponde a la composición relacional de estos subespacios. En particular, el comonoide Z (dado por la araña Z con una entrada y dos salidas, y la araña Z con una entrada y ninguna salida) y el monoide X (dado por la araña X con una salida y dos entradas, y la araña X con una salida y ninguna entrada) generan la categoría monoidal simétrica de matrices sobre${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$con respecto a la suma directa como producto monoide.

• Mecánica cuántica categórica
• Teoría de categorías aplicada
• Diagrama de cuerdas

• zxcalculus.com
• Quantomatic archivado el 16/11/2018 en Wayback Machine .