Red tensorial

Las redes tensoriales o estados de red tensorial son una clase de funciones de onda variacionales utilizadas en el estudio de sistemas cuánticos de muchos cuerpos ^{[ 1 ]} y fluidos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Las redes tensoriales extienden los estados de producto matricial unidimensionales a dimensiones superiores, conservando algunas de sus propiedades matemáticas útiles. ^{[ 4 ]}

La función de onda se codifica como una contracción tensorial de una red de tensores individuales . ^{[ 5 ]} La estructura de los tensores individuales puede imponer simetrías globales a la función de onda (como la antisimetría bajo el intercambio de fermiones ) o restringirla a números cuánticos específicos, como la carga total , el momento angular o el espín . También es posible derivar límites estrictos para cantidades como el entrelazamiento y la longitud de correlación utilizando la estructura matemática de la red tensorial. ^{[ 6 ]} Esto ha hecho que las redes tensoriales sean útiles en estudios teóricos de información cuántica en sistemas de muchos cuerpos . También han demostrado ser útiles en estudios variacionales de estados fundamentales , estados excitados y dinámica de sistemas de muchos cuerpos fuertemente correlacionados . ^{[ 7 ]}

En general, un diagrama de red tensorial (diagrama de Penrose) puede verse como un grafo donde los nodos (o vértices) representan tensores individuales, mientras que las aristas representan la suma sobre un índice. Los índices libres se representan como aristas (o ramas ) unidas a un solo vértice. ^{[ 8 ]} A veces, la forma de un nodo también tiene un significado adicional. Por ejemplo, se pueden usar trapecios para matrices unitarias o tensores con un comportamiento similar. De esta manera, los trapecios invertidos se interpretarían como conjugados complejos de estos.

La investigación fundamental sobre redes tensoriales comenzó en 1971 con un artículo de Roger Penrose . ^{[ 9 ]} En "Aplicaciones de tensores de dimensión negativa", Penrose desarrolló la notación de diagramas tensoriales , describiendo cómo el lenguaje diagramático de las redes tensoriales podría usarse en aplicaciones en física. ^{[ 10 ]}

En 1992, Steven R. White desarrolló el grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG) para sistemas de redes cuánticas. ^{[ 11 ] [ 4 ]} El DMRG fue la primera red tensorial exitosa y el primer algoritmo asociado. ^{[ 12 ]}

En 2002, Guifré Vidal y Reinhard Werner intentaron cuantificar el entrelazamiento, sentando las bases para las teorías de recursos cuánticos. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Esta fue también la primera descripción del uso de redes tensoriales como herramientas matemáticas para describir sistemas cuánticos. ^{[ 10 ]}

En 2004, Frank Verstraete e Ignacio Cirac desarrollaron la teoría de estados de producto matricial, estados de pares entrelazados proyectados y métodos de grupo de renormalización variacional para sistemas de espín cuántico. ^{[ 15 ] [ 4 ]}

En 2006, Vidal desarrolló el ansatz de renormalización de entrelazamiento multiescala (MERA). ^{[ 16 ]} En 2007 desarrolló la renormalización de entrelazamiento para sistemas de red cuántica. ^{[ 17 ]}

En 2010, Ulrich Schollwock desarrolló el grupo de renormalización de la matriz de densidad para la simulación de sistemas de red cuántica fuertemente correlacionados unidimensionales. ^{[ 18 ]}

En 2014, Román Orús introdujo redes tensoriales para sistemas cuánticos complejos y aprendizaje automático, así como teorías de redes tensoriales de simetrías, fermiones, entrelazamiento y holografía. ^{[ 1 ] [ 19 ]}

Las redes tensoriales se han adaptado para el aprendizaje supervisado , ^{[ 20 ]} aprovechando una estructura matemática similar en estudios variacionales en mecánica cuántica y aprendizaje automático a gran escala . Este cruce ha impulsado la colaboración entre investigadores en inteligencia artificial y ciencia de la información cuántica . En junio de 2019, Google , el Instituto Perimeter de Física Teórica y X (empresa) lanzaron TensorNetwork, ^{[ 21 ]} una biblioteca de código abierto para cálculos tensoriales eficientes. ^{[ 22 ]}

El principal interés en las redes tensoriales y su estudio desde la perspectiva del aprendizaje automático radica en reducir el número de parámetros entrenables (en una capa) mediante la aproximación de un tensor de alto orden con una red de tensores de menor orden. Utilizando la denominada técnica de tren de tensores (TT), ^{[ 23 ]} se puede reducir un tensor de orden N (que contiene un número exponencial de parámetros entrenables) a una cadena de N tensores de orden 2 o 3, lo que nos proporciona un número polinomial de parámetros.

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• Diagramas tensoriales
• Contracción tensorial
• Unidad de Procesamiento Tensorial (TPU)
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• Notación de Einstein
• Red Spin

• tensornetwork.org: un recurso para algoritmos, teoría y software de redes tensoriales.
• tensors.net - tutoriales de redes tensoriales, ejemplos de implementación y otros recursos
• Contracciones de redes tensoriales: métodos y aplicaciones a sistemas cuánticos de muchos cuerpos.
• tensor4all - sitio web