Notación gráfica de Penrose

En el lenguaje del álgebra multilineal , cada figura representa una función multilineal . Las líneas unidas a las figuras representan las entradas o salidas de una función, y unir figuras de alguna manera es esencialmente la composición de funciones .

En el lenguaje del álgebra tensorial , un tensor particular se asocia con una forma particular mediante múltiples líneas que se proyectan hacia arriba y hacia abajo, correspondientes a los índices superiores e inferiores abstractos de los tensores, respectivamente. Las líneas que conectan dos formas corresponden a la contracción de los índices . Una ventaja de esta notación es que no es necesario inventar nuevas letras para los nuevos índices. Esta notación también es explícitamente independiente de la base . ^{[ 3 ]}

Cada figura representa una matriz, y la multiplicación de tensores se realiza horizontalmente, mientras que la multiplicación de matrices se realiza verticalmente.

El tensor métrico se representa mediante un bucle en forma de U o un bucle en forma de U invertida, dependiendo del tipo de tensor que se utilice.

El tensor antisimétrico de Levi-Civita se representa mediante una gruesa barra horizontal con segmentos que apuntan hacia abajo o hacia arriba, según el tipo de tensor que se utilice.

Las constantes de estructura (${\displaystyle {\gamma _{ab}}^{c}}$) de un álgebra de Lie se representan mediante un pequeño triángulo con una línea que apunta hacia arriba y dos líneas que apuntan hacia abajo.

La contracción de los índices se representa uniendo las líneas de índices.

La simetrización de los índices se representa mediante una gruesa barra en zigzag u ondulada que cruza horizontalmente las líneas de los índices.

La antisimetrización de los índices se representa mediante una línea recta gruesa que cruza horizontalmente las líneas de los índices.

La derivada covariante (${\displaystyle \nabla }$) se representa mediante un círculo alrededor del/los tensor/es que se van a diferenciar y una línea que parte del círculo y apunta hacia abajo para representar el índice inferior de la derivada.

Las identidades de Ricci y Bianchi dadas en términos del tensor de curvatura de Riemann ilustran el poder de la notación.