Proyección estereográfica

La esfera unitaria${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$en el espacio tridimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es el conjunto de puntos${\displaystyle (x,y,z)}$de tal manera que${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$. Dejar${\displaystyle N=(0,0,1)}$ser el "polo norte", y dejar${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ser el resto de la esfera. El plano${\displaystyle z=0}$atraviesa el centro de la esfera; el "ecuador" es la intersección de la esfera con este plano.

Por cualquier punto${\displaystyle P}$en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, hay una línea única a través de${\displaystyle N}$y${\displaystyle P}$y esta línea interseca el plano${\displaystyle z=0}$en un punto exacto${\displaystyle P'}$, conocida como la proyección estereográfica de${\displaystyle P}$al avión.

En coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y,z)}$en la esfera y${\displaystyle (X,Y)}$En el plano, la proyección y su inversa vienen dadas por las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),\\(x,y,z)&=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

En coordenadas esféricas${\displaystyle (\varphi,\theta)}$en la esfera (con${\displaystyle \varphi }$el ángulo cenital ,${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }$, y${\displaystyle \theta }$el acimut ,${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$) y coordenadas polares${\displaystyle (R,\Theta )}$En el plano, la proyección y su inversa son

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right).\end{aligned}}}$

Aquí,${\displaystyle \varphi }$se entiende que tiene valor${\displaystyle \pi }$cuando${\displaystyle R=0}$Además, existen muchas maneras de reescribir estas fórmulas utilizando identidades trigonométricas . En coordenadas cilíndricas${\displaystyle (r,\theta ,z)}$en la esfera y en coordenadas polares${\displaystyle (R,\Theta )}$En el plano, la proyección y su inversa son

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).\end{aligned}}}$

Algunos autores ^{[ 12 ]} definen la proyección estereográfica desde el polo norte (0,  0,  1) sobre el plano z = −1 , que es tangente a la esfera unitaria en el polo sur (0,  0,  −1). Esto puede describirse como una composición de una proyección sobre el plano ecuatorial descrito anteriormente y una homotecia desde este al plano polar. La homotecia escala la imagen por un factor de 2 (una relación entre un diámetro y un radio de la esfera), por lo que los valores X e Y producidos por esta proyección son exactamente el doble de los producidos por la proyección ecuatorial descrita en la sección anterior. Por ejemplo, esta proyección envía el ecuador al círculo de radio 2 centrado en el origen. Mientras que la proyección ecuatorial no produce ninguna distorsión de área infinitesimal a lo largo del ecuador, esta proyección polo-tangente no produce ninguna distorsión de área infinitesimal en el polo sur.

Otros autores ^{[ 13 ]} utilizan una esfera de radio ⁠ 1 / 2 ⁠ y el plano z = − ⁠ 1 / 2 ⁠ . En este caso, las fórmulas se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y,z)\rightarrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right),\\(\xi ,\eta )\rightarrow (x,y,z)&=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

En general, se puede definir una proyección estereográfica desde cualquier punto Q en la esfera sobre cualquier plano E tal que

• E es perpendicular al diámetro que pasa por Q y
• E nocontiene Q.

Siempre que E cumpla estas condiciones, entonces para cualquier punto P distinto de Q la línea que pasa por P y Q interseca a E en un único punto P ′ , que se define como la proyección estereográfica de P sobre E . ^{[ 14 ]}

De forma más general, la proyección estereográfica puede aplicarse a la esfera unitaria n-dimensional S ⁿ en el espacio euclidiano E ^{n +1 de dimensión (} n + 1 ) . Si Q es un punto de S ⁿ y E un hiperplano en E ^{n +1} , entonces la proyección estereográfica de un punto P ∈ S ⁿ − { Q } es el punto P ′ de intersección de la línea QP con E . En coordenadas cartesianas ( x _i , i de 0 a n ) en S ⁿ y ( X _i , i de 1 a n ) en E , la proyección desde Q = (1, 0, 0, ..., 0) ∈ S ⁿ viene dada por $${\displaystyle X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$ Definición $${\displaystyle s^{2}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}^{2}={\frac {1+x_{0}}{1-x_{0}}},}$$ La inversa viene dada por $${\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{y}}\quad x_{i}={\frac {2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$

De forma aún más general, supongamos que S es una hipersuperficie cuádrica (no singular) en el espacio proyectivo P ^{n +1} . En otras palabras, S es el lugar geométrico de los ceros de una forma cuadrática no singular f ( x ₀ , ..., x _{n +1} ) en las coordenadas homogéneas x _i . Fijemos un punto cualquiera Q en S y un hiperplano E en P ^{n +1} que no contenga a Q . Entonces, la proyección estereográfica de un punto P en S − { Q } es el único punto de intersección de QP con E . Como antes, la proyección estereográfica es conforme e invertible en un conjunto abierto de Zariski no vacío. La proyección estereográfica presenta la hipersuperficie cuádrica como una hipersuperficie racional . ^{[ 15 ]} Esta construcción juega un papel en la geometría algebraica y la geometría conforme .

El tensor métrico asociado de la proyección estereográfica específica descrita al comienzo de esta sección (que envía el "polo sur" (0, 0, −1) de la esfera unitaria a (0, 0) y el ecuador al círculo unitario) viene dado por

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1+\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1+\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

donde x _i son las coordenadas cartesianas del plano euclidiano sobre el que se proyecta la esfera. En comparación, la ecuación para la métrica correspondiente del modelo de disco de Poincaré del espacio hiperbólico parece equivalente, salvo por una diferencia de signo en el denominador.

Aunque cualquier proyección estereográfica omite un punto en la esfera (el punto de proyección), la esfera completa puede representarse mediante dos proyecciones desde puntos de proyección distintos. En otras palabras, la esfera puede cubrirse con dos parametrizaciones estereográficas (las inversas de las proyecciones) desde el plano. Estas parametrizaciones pueden elegirse para inducir la misma orientación en la esfera. En conjunto, describen la esfera como una superficie orientada (o variedad bidimensional ).

Esta construcción tiene una importancia especial en el análisis complejo. El punto ( X , Y ) en el plano real se puede identificar con el número complejo ζ = X + iY . La proyección estereográfica desde el polo norte sobre el plano ecuatorial es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {Estoy} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right).\end{aligned}}}$

De manera similar, siendo ξ = X − i Y otra coordenada compleja, las funciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Estoy} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)\end{aligned}}}$

Se define una proyección estereográfica desde el polo sur sobre el plano ecuatorial. Las transiciones entre las coordenadas ζ y ξ son entonces ζ = 1 / ξ y ξ = 1 / ζ , con ζ aproximándose a 0 cuando ξ tiende a infinito, y viceversa . Esto facilita una noción elegante y útil de infinito para los números complejos y , de hecho , toda una teoría de funciones meromorfas que se proyectan en la esfera de Riemann . La métrica estándar en la esfera unitaria coincide con la métrica de Fubini-Study en la esfera de Riemann.

El conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en el espacio tridimensional forma un espacio llamado plano proyectivo real . Este plano es difícil de visualizar, ya que no puede estar incrustado en el espacio tridimensional.

Sin embargo, se puede visualizar como un disco, como sigue. Cualquier línea que pase por el origen interseca el hemisferio sur z  ≤  0 en un punto, que luego se puede proyectar estereográficamente a un punto en un disco en el plano XY. Las líneas horizontales que pasan por el origen intersecan el hemisferio sur en dos puntos antipodales a lo largo del ecuador, que se proyectan al borde del disco. Cualquiera de los dos puntos proyectados puede considerarse parte del disco; se entiende que los puntos antipodales en el ecuador representan una sola línea en el espacio tridimensional y un solo punto en el borde del disco proyectado (véase topología de cociente ). Así, cualquier conjunto de líneas que pasen por el origen puede representarse como un conjunto de puntos en el disco proyectado. Pero los puntos del borde se comportan de manera diferente a los puntos del borde de un disco bidimensional ordinario, ya que cualquiera de ellos está simultáneamente cerca de puntos interiores en lados opuestos del disco (así como dos líneas casi horizontales que pasan por el origen pueden proyectarse a puntos en lados opuestos del disco).

Además, cada plano que pasa por el origen interseca la esfera unitaria en un círculo máximo, llamado traza del plano. Este círculo se corresponde con un círculo mediante proyección estereográfica. Así, la proyección nos permite visualizar los planos como arcos circulares en el disco. Antes de la llegada de las computadoras, las proyecciones estereográficas con círculos máximos a menudo implicaban dibujar arcos de gran radio que requerían el uso de un compás de flecha . Actualmente, las computadoras facilitan enormemente esta tarea.

Cada plano está asociado a una línea única, denominada polo del plano , que pasa por el origen y es perpendicular a él. Esta línea puede representarse como un punto en el disco, al igual que cualquier línea que pase por el origen. Por lo tanto, la proyección estereográfica también nos permite visualizar los planos como puntos en el disco. En gráficos que involucran muchos planos, representar sus polos produce una imagen menos compleja que representar sus trazas.

Esta construcción se utiliza para visualizar datos direccionales en cristalografía y geología, como se describe a continuación.

La proyección estereográfica también se aplica a la visualización de politopos . En un diagrama de Schlegel , un politopo n- dimensional en R ^{n +1} se proyecta sobre una esfera n- dimensional, que luego se proyecta estereográficamente sobre R ⁿ . La reducción de R ^{n +1} a R ⁿ puede facilitar la visualización y comprensión del politopo.

En geometría aritmética elemental , la proyección estereográfica desde el círculo unitario proporciona un medio para describir todas las ternas pitagóricas primitivas . Específicamente, la proyección estereográfica desde el polo norte (0,1) sobre el eje x da una correspondencia biunívoca entre los puntos de los números racionales ( x , y ) en el círculo unitario (con y ≠ 1 ) y los puntos racionales del eje x . Si ( m / n , 0) es un punto racional en el eje x , entonces su proyección estereográfica inversa es el punto

${\displaystyle \left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right)}$

lo que da como resultado la fórmula de Euclides para una terna pitagórica.

El par de funciones trigonométricas (sin x , cos x ) puede considerarse como una parametrización del círculo unitario. La proyección estereográfica proporciona una parametrización alternativa del círculo unitario:

${\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}}.}$

Bajo esta reparametrización, el elemento de longitud dx del círculo unitario pasa a

${\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.}$

Esta sustitución a veces puede simplificar integrales que involucran funciones trigonométricas.

El problema fundamental de la cartografía es que ningún mapa que traslade la esfera al plano puede representar con precisión tanto ángulos como áreas. En general, se prefieren las proyecciones cartográficas que conservan el área para aplicaciones estadísticas , mientras que las proyecciones que conservan el ángulo (conformes) se prefieren para la navegación .

La proyección estereográfica pertenece a la segunda categoría. Cuando la proyección está centrada en el polo norte o sur de la Tierra, posee propiedades adicionales deseables: envía meridianos a rayos que emanan del origen y paralelos a círculos centrados en el origen.

• 
  Proyección estereográfica del mundo al norte de los 30°S. Cuadrícula de 15°.
• 
  La proyección estereográfica con la indicatriz de deformación de Tissot .

La proyección estereográfica es la única que transforma todos los círculos de una esfera en círculos sobre un plano . Esta propiedad es valiosa en la cartografía planetaria, donde los cráteres son características típicas. El conjunto de círculos que pasan por el punto de proyección tiene un radio ilimitado y, por lo tanto, se reduce a líneas.

En cristalografía , la orientación de los ejes y caras cristalinas en el espacio tridimensional es un aspecto geométrico fundamental, por ejemplo, en la interpretación de patrones de difracción de rayos X y electrones . Estas orientaciones pueden visualizarse como se muestra en la sección « Visualización de líneas y planos» . Es decir, los ejes y polos cristalinos se intersecan con el hemisferio norte y se representan mediante proyección estereográfica. Un diagrama de polos se denomina figura de polos .

En la difracción de electrones , los pares de líneas de Kikuchi aparecen como bandas que decoran la intersección entre las trazas del plano reticular y la esfera de Ewald, lo que proporciona acceso experimental a la proyección estereográfica de un cristal. Los mapas de Kikuchi modelo en el espacio recíproco ^{[ 19 ]} y los mapas de visibilidad de franjas para usar con contornos de curvatura en el espacio directo ^{[ 20 ]} actúan así como mapas de ruta para explorar el espacio de orientación con cristales en el microscopio electrónico de transmisión .

Los investigadores en geología estructural se interesan por la orientación de planos y líneas por varias razones. La foliación de una roca es una característica planar que a menudo contiene una característica lineal llamada lineación . De manera similar, un plano de falla es una característica planar que puede contener características lineales como estrías de fricción .

Estas orientaciones de líneas y planos a diversas escalas pueden representarse gráficamente utilizando los métodos descritos en la sección « Visualización de líneas y planos» anterior. Al igual que en cristalografía, los planos se representan típicamente mediante sus polos. A diferencia de la cristalografía, se utiliza el hemisferio sur en lugar del hemisferio norte (debido a que las características geológicas en cuestión se encuentran bajo la superficie terrestre). En este contexto, la proyección estereográfica se suele denominar proyección del hemisferio inferior de ángulo igual . También se utiliza la proyección del hemisferio inferior de área igual definida por la proyección azimutal de Lambert de área igual , especialmente cuando la gráfica se someterá a un análisis estadístico posterior, como el contorneado de densidad . ^{[ 21 ]}

La proyección estereográfica es uno de los métodos más utilizados para evaluar la estabilidad de taludes rocosos. Permite la representación y el análisis de datos de orientación tridimensionales en dos dimensiones. El análisis cinemático dentro de la proyección estereográfica se utiliza para evaluar el potencial de varios modos de fallas de taludes rocosos, como fallas planas, en cuña y por vuelco, que ocurren debido a la presencia de discontinuidades con orientación desfavorable. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Esta técnica es particularmente útil para visualizar la orientación de taludes rocosos en relación con conjuntos de discontinuidades, facilitando la evaluación del tipo de falla más probable. ^{[ 22 ]} Por ejemplo, la falla plana es más probable cuando el rumbo de un conjunto de discontinuidades es paralelo al talud, y las discontinuidades se inclinan hacia el talud con un ángulo lo suficientemente pronunciado como para permitir el deslizamiento, pero no más pronunciado que el del propio talud.

Además, algunos autores han desarrollado métodos gráficos basados ​​en la proyección estereográfica para calcular fácilmente parámetros de corrección geométrica, como los relacionados con el paralelismo entre la pendiente y las discontinuidades, la inclinación de la discontinuidad y el ángulo relativo entre la discontinuidad y la pendiente, para clasificaciones de macizos rocosos en pendientes, incluyendo la clasificación de macizos rocosos (SMR) ^{[ 24 ]} y la clasificación de macizos rocosos . ^{[ 25 ]}

Algunos objetivos ojo de pez utilizan una proyección estereográfica para capturar una vista gran angular. ^{[ 26 ]} En comparación con los objetivos ojo de pez más tradicionales que utilizan una proyección de igual área, las áreas cercanas al borde conservan su forma y las líneas rectas se curvan menos. Sin embargo, los objetivos ojo de pez estereográficos suelen ser más caros de fabricar. ^{[ 27 ]} El software de remapeo de imágenes, como Panotools , permite el remapeo automático de fotos de un objetivo ojo de pez de igual área a una proyección estereográfica.

La proyección estereográfica se ha utilizado para trazar panoramas esféricos , comenzando con la de Horace Bénédict de Saussure en 1779. Esto produce efectos conocidos como planeta pequeño (cuando el centro de proyección es el nadir ) y tubo (cuando el centro de proyección es el cenit ). ^{[ 28 ]}

La popularidad del uso de proyecciones estereográficas para mapear panoramas sobre otras proyecciones azimutales se atribuye a la preservación de la forma que resulta de la conformabilidad de la proyección. ^{[ 28 ]}

• Demostración sobre la proyección estereográfica que transforma círculos en la esfera en círculos en el plano.
• Proyección estereográfica en cámara rápida en Vimeo

• Stereonet , una herramienta de software para geología estructural creada por Rick Allmendinger .
• PTCLab , el laboratorio de cristalografía de transformación de fase
• Sphaerica , herramienta de software para la construcción de reglas y compases en la esfera, que incluye una opción de visualización de proyección estereográfica.
• Estereografica Web , una aplicación web para proyección estereográfica en geología estructural y cinemática de fallas, creada por Ernesto Cristallini.