Proyección 3D

La proyección ortográfica se deriva de los principios de la geometría descriptiva y es una representación bidimensional de un objeto tridimensional. Es una proyección paralela (las líneas de proyección son paralelas tanto en la realidad como en el plano de proyección). Es el tipo de proyección preferido para los planos de trabajo .

Si la normal del plano de visión (la dirección de la cámara) es paralela a uno de los ejes principales (que es el eje x , y o z ), la transformación matemática es la siguiente; Para proyectar el punto 3D${\displaystyle a_{x}}$,${\displaystyle a_{y}}$,${\displaystyle a_{z}}$sobre el punto 2D${\displaystyle b_{x}}$,${\displaystyle b_{y}}$Utilizando una proyección ortográfica paralela al eje y (donde el valor positivo de y representa la dirección hacia adelante - vista de perfil), se pueden utilizar las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}}$

${\ Displaystyle b_ {y} = s_ {z} a_ {z} + c_ {z}}$

donde el vector s es un factor de escala arbitrario y c es un desplazamiento arbitrario. Estas constantes son opcionales y pueden usarse para alinear correctamente la ventana gráfica. Usando la multiplicación de matrices , las ecuaciones se convierten en:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

Si bien las imágenes proyectadas ortográficamente representan la naturaleza tridimensional del objeto proyectado, no lo representan tal como se registraría fotográficamente o como lo percibiría un observador que lo viera directamente. En particular, las longitudes paralelas en todos los puntos de una imagen proyectada ortográficamente tienen la misma escala, independientemente de si están lejos o cerca del observador virtual. Como resultado, las longitudes no se acortan como ocurriría en una proyección en perspectiva.

Proyección multivista

Con las proyecciones multivista , se generan hasta seis imágenes (denominadas vistas primarias ) de un objeto, con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se posicionan entre sí según dos esquemas: proyección en primer o tercer ángulo . En ambos casos, las vistas se proyectan sobre planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto. Si bien se pueden dibujar seis lados diferentes, generalmente tres vistas de un dibujo proporcionan información suficiente para crear un objeto 3D. Estas vistas se conocen como vista frontal , vista superior y vista lateral . También se utilizan los términos alzado , planta y sección .

Mesa de trabajo dibujada en proyección de armario con un ángulo de 45° y una proporción de 2/3.

Arco de piedra dibujado en perspectiva militar.

En las proyecciones oblicuas, los rayos de proyección paralelos no son perpendiculares al plano de visualización, como en la proyección ortográfica, sino que inciden en el plano de proyección con un ángulo distinto de noventa grados. Tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua, las líneas paralelas en el espacio aparecen paralelas en la imagen proyectada. Debido a su simplicidad, la proyección oblicua se utiliza exclusivamente con fines pictóricos, en lugar de para dibujos técnicos formales. En un dibujo pictórico oblicuo , los ángulos mostrados entre los ejes, así como los factores de perspectiva (escala), son arbitrarios. La distorsión resultante se suele atenuar alineando un plano del objeto proyectado de forma paralela al plano de proyección, creando así una imagen real y a tamaño completo del plano elegido. Algunos tipos especiales de proyecciones oblicuas son:

Las proyecciones axonométricas muestran una imagen de un objeto vista desde una dirección oblicua para revelar las tres direcciones (ejes) del espacio en una sola imagen. ^{[ 2 ]} Las proyecciones axonométricas pueden ser ortográficas u oblicuas . Los dibujos instrumentales axonométricos se utilizan a menudo para aproximar proyecciones gráficas en perspectiva, pero existe una distorsión inherente a dicha aproximación. Dado que las proyecciones pictóricas contienen intrínsecamente esta distorsión, en los dibujos instrumentales de imágenes pictóricas se pueden tomar grandes libertades para ahorrar esfuerzo y lograr el mejor efecto.

La proyección axonométrica se subdivide a su vez en tres categorías: proyección isométrica , proyección dimétrica y proyección trimétrica , dependiendo del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Una característica típica de las representaciones pictográficas ortográficas es que un eje del espacio se suele mostrar como vertical.

Un ejemplo de las limitaciones de la proyección isométrica. La diferencia de altura entre las bolas roja y azul no se puede determinar localmente.

La escalera de Penrose representa una escalera que parece ascender (en sentido contrario a las agujas del reloj) o descender (en el sentido de las agujas del reloj), pero que forma un bucle continuo.

Los objetos dibujados con proyección paralela no parecen más grandes ni más pequeños a medida que se acercan o se alejan del observador. Si bien resulta ventajoso para los dibujos arquitectónicos , donde las medidas deben tomarse directamente de la imagen, el resultado es una distorsión perceptible, ya que, a diferencia de la proyección en perspectiva , no es así como funcionan nuestros ojos ni la fotografía. Además, puede dar lugar fácilmente a situaciones en las que resulta difícil calcular la profundidad y la altura, como se muestra en la ilustración de la derecha.

En este dibujo isométrico, la esfera azul está dos unidades más alta que la roja. Sin embargo, esta diferencia de altura no se aprecia si se cubre la mitad derecha de la imagen, ya que los recuadros (que sirven como pistas para indicar la altura) quedan entonces ocultos.

Esta ambigüedad visual se ha explotado en el arte óptico , así como en los dibujos de "objetos imposibles". La Cascada (1961) de M. C. Escher , si bien no utiliza estrictamente la proyección paralela, es un ejemplo bien conocido, en el que un canal de agua parece viajar sin ayuda por un camino descendente, para luego caer paradójicamente una vez más al regresar a su origen. El agua, por lo tanto, parece desobedecer la ley de conservación de la energía . Un ejemplo extremo se muestra en la película Origen , donde mediante un truco de perspectiva forzada una escalera inmóvil cambia su conectividad. El videojuego Fez utiliza trucos de perspectiva para determinar dónde puede y no puede moverse un jugador a modo de rompecabezas.

La proyección en perspectiva requiere una definición más compleja en comparación con las proyecciones ortográficas. Una ayuda conceptual para comprender la mecánica de esta proyección consiste en imaginar la proyección 2D como si el/los objeto(s) se observaran a través del visor de una cámara. La posición, la orientación y el campo de visión de la cámara controlan el comportamiento de la transformación de la proyección. Las siguientes variables se definen para describir esta transformación:

• ${\displaystyle \mathbf {a} _ {x,y,z}}$– la posición 3D de un punto A que se va a proyectar
• ${\displaystyle \mathbf {c} _ {x,y,z}}$– la posición 3D de un punto C que representa la cámara
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } _ {x,y,z}}$– La orientación de la cámara (representada por los ángulos de Tait-Bryan )
• ${\displaystyle \mathbf {e} _ {x,y,z}}$– la posición de la superficie de visualización en relación con lo mencionado anteriormente${\displaystyle \mathbf {c} }$^{[ 8 ]}

La mayoría de las convenciones utilizan valores z positivos (el plano está delante del orificio).${\displaystyle \mathbf {c} }$), sin embargo, los valores negativos de z son físicamente más correctos, pero la imagen se invertirá tanto horizontal como verticalmente. Lo que da como resultado:

• ${\displaystyle \mathbf {b} _ {x,y}}$– la proyección 2D de${\displaystyle \mathbf {a} .}$

Cuando${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$y${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$el vector 3D${\displaystyle \langle 1,2,0\rangle }$se proyecta al vector 2D${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$.

De lo contrario, para calcular${\displaystyle \mathbf {b} _ {x,y}}$Primero definimos un vector${\displaystyle \mathbf {d} _ {x,y,z}}$como la posición del punto A con respecto a un sistema de coordenadas definido por la cámara, con origen en C y rotado por${\displaystyle \mathbf {\theta } }$con respecto al sistema de coordenadas inicial. Esto se logra restando${\displaystyle \mathbf {c} }$de${\displaystyle \mathbf {a} }$y luego aplicando una rotación por${\displaystyle -\mathbf {\theta } }$al resultado. Esta transformación a menudo se denominala transformación de la cámara , y se puede expresar de la siguiente manera, expresando la rotación en términos de rotaciones alrededor de losx,y,yz(estos cálculos suponen que los ejes están ordenados como unzurdo): ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _{x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin(\mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _{z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$

Esta representación corresponde a una rotación de tres ángulos de Euler (más propiamente, ángulos de Tait-Bryan ), utilizando la convención xyz , que puede interpretarse como "rotar alrededor de los ejes extrínsecos (ejes de la escena ) en el orden z , y , x (leyendo de derecha a izquierda)" o "rotar alrededor de los ejes intrínsecos (ejes de la cámara ) en el orden x, y, z (leyendo de izquierda a derecha)". Si la cámara no está rotada (${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle }$), entonces las matrices desaparecen (como identidades), y esto se reduce simplemente a un desplazamiento:${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {c} .}$

Alternativamente, sin usar matrices (reemplacemos${\displaystyle a_{x}-c_{x}}$con${\displaystyle \mathbf {x} }$y así sucesivamente, y abreviar${\displaystyle \cos \left(\theta _{\alpha }\right)}$a${\displaystyle cos_{\alpha }}$y${\displaystyle \sin \left(\theta _{\alpha }\right)}$a${\displaystyle sin_{\alpha }}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} _{x}&=cos_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} )-sin_{y}\mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}&=sin_{x}(cos_{y}\mathbf {z} +sin_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} ))+cos_{x}(cos_{z}\mathbf {y} -sin_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}&=cos_{x}(cos_{y}\mathbf {z} +sin_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} ))-sin_{x}(cos_{z}\mathbf {y} -sin_{z}\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

Este punto transformado se puede proyectar sobre el plano 2D utilizando la fórmula (aquí, x / y se utiliza como plano de proyección; la literatura también puede utilizar x / z ): ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{x}+\mathbf {e} _{x},\\[5pt]\mathbf {b} _{y}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}+\mathbf {e} _{y}.\end{aligned}}}$

O bien, en forma matricial utilizando coordenadas homogéneas , el sistema

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&1&{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&0&{\frac {1}{\mathbf {e} _{z}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}}$

en conjunto con un argumento que utiliza triángulos semejantes, conduce a la división por la coordenada homogénea, dando como resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\end{aligned}}}$

La distancia del espectador a la superficie de visualización,${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$, se relaciona directamente con el campo de visión, donde${\displaystyle \alpha =2\cdot \arctan(1/\mathbf {e} _{z})}$es el ángulo de visión. (Nota: Esto supone que asignas los puntos (-1,-1) y (1,1) a las esquinas de tu superficie de visualización).

Las ecuaciones anteriores también se pueden reescribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z},\\\mathbf {b} _{y}&=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _{y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}.\end{aligned}}}$

En el cual${\displaystyle \mathbf {s} _{x,y}}$es el tamaño de la pantalla,${\displaystyle \mathbf {r} _{x,y}}$es el tamaño de la superficie de grabación ( CCD o película fotográfica ),${\displaystyle \mathbf {r} _{z}}$es la distancia desde la superficie de grabación hasta la pupila de entrada ( centro de la cámara ), y${\displaystyle \mathbf {d} _{z}}$es la distancia, desde el punto 3D que se está proyectando, hasta la pupila de entrada.

Es posible que sean necesarias operaciones posteriores de recorte y escalado para adaptar el plano 2D a cualquier medio de visualización en particular.

Una proyección de perspectiva "débil" utiliza los mismos principios que una proyección ortográfica, pero requiere que se especifique el factor de escala, asegurando así que los objetos más cercanos aparezcan más grandes en la proyección, y viceversa. Puede considerarse un híbrido entre una proyección ortográfica y una de perspectiva, y describirse como una proyección de perspectiva con profundidades de punto individuales.${\displaystyle Z_{i}}$reemplazado por una profundidad constante promedio${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$, ^{[ 12 ]} o simplemente como una proyección ortográfica más un escalado. ^{[ 13 ]}

El modelo de perspectiva débil se aproxima así a la proyección en perspectiva utilizando un modelo más simple, similar a la perspectiva ortográfica pura (sin escala). Es una aproximación razonable cuando la profundidad del objeto a lo largo de la línea de visión es pequeña en comparación con la distancia a la cámara, y el campo de visión es pequeño. Con estas condiciones, se puede suponer que todos los puntos de un objeto 3D están a la misma distancia.${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$desde la cámara sin errores significativos en la proyección (en comparación con el modelo de perspectiva completa).

Ecuación

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{x}={\frac {X}{Z_{\text{ave}}}}\\[5pt]&P_{y}={\frac {Y}{Z_{\text{ave}}}}\end{aligned}}}$

suponiendo una distancia focal${\textstyle f=1}$.