Teorema de incrustación de Whitney

La incrustación débil de Whitney se demuestra mediante un argumento de proyección.

Cuando la variedad es compacta , se puede usar primero un recubrimiento mediante un número finito de cartas locales y luego reducir la dimensión con proyecciones adecuadas. ^{[ 1 ] : Cap. 1 §3 [ 2 ] : Cap. 6 [ 3 ] : Cap. 5 §3}

El esquema general de la demostración consiste en comenzar con una inmersión .${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{2m}}$con autointersecciones transversales . Se sabe que existen gracias al trabajo anterior de Whitney sobre el teorema de inmersión débil .La transversalidad de los puntos dobles se deduce de un argumento de posición general. La idea es eliminar de alguna manera todas las autointersecciones. Si M tiene frontera, se pueden eliminar las autointersecciones simplemente isotopizando M en sí mismo (la isotopía está en el dominio de f ), a una subvariedad de M que no contiene los puntos dobles. Así, llegamos rápidamente al caso en que M no tiene frontera. A veces es imposible eliminar los puntos dobles mediante una isotopía; considérese, por ejemplo, la inmersión en forma de ocho del círculo en el plano. En este caso, es necesario introducir un punto doble local.

Una vez que se tienen dos puntos dobles opuestos, se construye un bucle cerrado que los conecta, dando como resultado un camino cerrado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}.}$Desde ​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$⁠ es simplemente conectado , se puede suponer que este camino delimita un disco, y siempre que 2 m > 4 se puede suponer además (por el teorema de incrustación débil de Whitney ) que el disco está incrustado en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$De tal manera que interseca la imagen de M solo en su límite. Whitney luego usa el disco para crear una familia de inmersiones de un parámetro , empujando efectivamente a M a través del disco y eliminando los dos puntos dobles en el proceso. En el caso de la inmersión en forma de ocho con su punto doble introducido, el movimiento de empuje es bastante simple (ver imagen).

Este proceso de eliminar los puntos dobles de signo opuesto desplazando la variedad a lo largo de un disco se denomina el truco de Whitney .

Para introducir un doble punto local, Whitney creó inmersiones .${\displaystyle \alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}}$que son aproximadamente lineales fuera de la bola unitaria, pero contienen un único punto doble. Para m = 1, dicha inmersión viene dada por

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha$ :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}}

Nótese que si α se considera como un mapa a ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$así :

${\displaystyle \alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)}$

Entonces el punto doble se puede resolver en una incrustación:

${\displaystyle \beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).}$

Nótese que β( t , 0) = α( t ) y para a ≠ 0 entonces como función de t , β( t , a ) es una incrustación.

Para dimensiones superiores m , hay α _m que pueden resolverse de manera similar en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m+1}.}$Para una incrustación en${\displaystyle \mathbb {R} ^{5},}$Por ejemplo, definir

${\displaystyle \alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).}$

Este proceso finalmente nos lleva a la definición:

${\displaystyle \alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),}$

dónde

${\displaystyle u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).}$

Las propiedades clave de α _m son que es una incrustación excepto por el punto doble α _m (1, 0, ... , 0) = α _m (−1, 0, ... , 0) . Además, para |( t ₁ , ... , t _m ​​)| grande, es aproximadamente la incrustación lineal (0, t ₁ , 0, t ₂ , ... , 0, t _m ​​) .

El truco de Whitney fue utilizado por Stephen Smale para demostrar el teorema de h -cobordismo ; de ahí se deriva la conjetura de Poincaré en dimensiones m ≥ 5 , y la clasificación de estructuras suaves en discos (también en dimensiones 5 y superiores). Esto sienta las bases de la teoría de la cirugía , que clasifica las variedades en dimensión 5 y superiores.

Dadas dos subvariedades orientadas de dimensiones complementarias en una variedad simplemente conexa de dimensión ≥ 5, se puede aplicar una isotopía a una de las subvariedades de modo que todos los puntos de intersección tengan el mismo signo.

Se pueden reforzar los resultados imponiendo restricciones adicionales a la variedad. Por ejemplo, la n -esfera siempre se incrusta en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$⁠  – que es la mejor posible ( las n -variedades cerradas no pueden incrustarse en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ ). Cualquier superficie compacta orientable y cualquier superficie compacta con límites no vacíos se incrusta en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$⁠ aunque cualquiersuperficie cerrada no orientable necesita ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$⁠

Si N es una variedad n -dimensional compacta y orientable, entonces N se incrusta en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-1}}$( para n que no es una potencia de 2, la condición de orientabilidad es superflua). Para n una potencia de 2, este es un resultado de André Haefliger y Morris Hirsch (para n > 4 ), y Fuquan Fang (para n = 4 ); estos autores utilizaron importantes resultados preliminares demostrados por Jacques Boéchat y Haefliger, Simon Donaldson , Hirsch y William S. Massey . ^{[ 4 ]} Haefliger demostró que si N es una variedad compacta n -dimensional k -conexa , entonces N se incrusta en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-k}}$siempre que 2 k + 3 ≤ n . ^{[ 4 ]}