Dimensión débil

En álgebra abstracta , la dimensión débil de un módulo derecho no nulo M sobre un anillo R es el mayor número n tal que el grupo Tor${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$es distinto de cero para algún R -módulo izquierdo N (o infinito si no existe tal n mayor ), y la dimensión débil de un R -módulo izquierdo se define de manera similar. La dimensión débil fue introducida por Henri Cartan y Samuel Eilenberg ( 1956 , p. 122) . La dimensión débil a veces se denomina dimensión plana, ya que es la longitud más corta de la resolución del módulo por módulos planos . La dimensión débil de un módulo es, como máximo, igual a su dimensión proyectiva . 

La dimensión global débil de un anillo es el mayor número n tal que${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$es distinto de cero para algún R -módulo derecho M y R -módulo izquierdo N. Si no existe tal número máximo n , la dimensión global débil se define como infinita. Es como máximo igual a la dimensión global izquierda o derecha del anillo R.

• El módulo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales sobre el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$Los números enteros tienen dimensión débil 0, pero dimensión proyectiva 1.
• El módulo${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$sobre el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$tiene dimensión débil 1, pero dimensión inyectiva 0.
• El módulo${\displaystyle \mathbb {Z} }$sobre el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$tiene dimensión débil 0, pero dimensión inyectiva 1.
• Un dominio de Prüfer tiene una dimensión global débil como máximo de 1.
• Un anillo regular de Von Neumann tiene dimensión global débil de 0.
• Un producto de infinitos campos tiene una dimensión global débil de 0, pero su dimensión global es distinta de cero.
• Si un anillo es noetheriano derecho , entonces la dimensión global derecha es igual a la dimensión global débil, y como máximo es igual a la dimensión global izquierda. En particular, si un anillo es noetheriano derecho e izquierdo, entonces las dimensiones globales izquierda y derecha, así como la dimensión global débil, son todas iguales.
• El anillo de matriz triangular${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$Tiene dimensión global derecha 1, dimensión global débil 1, pero dimensión global izquierda 2. Es noetheriano derecho, pero no noetheriano izquierdo.

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica , Princeton Mathematical Series, vol.  19, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, MR 0077480 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Dimensiones de la teoría de anillos , Matemáticas y sus aplicaciones, vol.  36, D. Reidel Publishing Co., doi : 10.1007/978-94-009-3835-9 , ISBN 9789027724618, MR 0894033