Solución de viscosidad

En matemáticas , el concepto de solución de viscosidad fue introducido a principios de la década de 1980 por Pierre-Louis Lions y Michael G. Crandall como una generalización del concepto clásico de lo que se entiende por una "solución" a una ecuación diferencial parcial (EDP). Se ha descubierto que la solución de viscosidad es el concepto de solución natural para usar en muchas aplicaciones de EDP, incluyendo por ejemplo ecuaciones de primer orden que surgen en programación dinámica (la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman ), juegos diferenciales (la ecuación de Hamilton-Jacobi-Isaacs ) o problemas de evolución de frentes, ^{[ 1 ] [ 2 ]} así como ecuaciones de segundo orden como las que surgen en control óptimo estocástico o juegos diferenciales estocásticos.

El concepto clásico era que una ecuación diferencial parcial (EDP)

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$

sobre un dominio${\displaystyle x\in \Omega }$tiene solución si podemos encontrar una función u ( x ) continua y diferenciable en todo el dominio tal que${\displaystyle x}$,${\displaystyle u}$,${\displaystyle Du}$,${\displaystyle D^{2}u}$Satisfacer la ecuación anterior en cada punto.

Si una ecuación escalar es elíptica degenerada (definida más adelante), se puede definir un tipo de solución débil llamada solución de viscosidad . Bajo el concepto de solución de viscosidad, u no necesita ser diferenciable en todas partes. Puede haber puntos donde${\displaystyle Du}$o${\displaystyle D^{2}u}$No existe y, sin embargo, u satisface la ecuación en un sentido generalizado apropiado. La definición solo permite cierto tipo de singularidades, de modo que la existencia, la unicidad y la estabilidad bajo límites uniformes se cumplen para una amplia clase de ecuaciones.

Existen varias formas equivalentes de formular la definición de soluciones viscosas. Véase, por ejemplo, la sección II.4 del libro de Fleming y Soner ^{[ 3 ]} o la definición que utiliza semichorros en la Guía del Usuario. ^{[ 4 ]}

elíptica degenerada

Una ecuación${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$en un dominio${\displaystyle \Omega }$Se define como elíptica degenerada si para cualesquiera dos matrices simétricas${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$de tal manera que${\displaystyle YX}$es definida positiva y cualquier valor de${\displaystyle x\in \Omega }$,${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$, tenemos la desigualdad${\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)}$. Por ejemplo,${\displaystyle -\Delta u=0}$(dónde${\displaystyle \Delta }$denota el laplaciano ) es elíptico degenerado ya que en este caso,${\displaystyle F(x,u,p,X)=-{\text{traza}}(X)}$y el rastro de${\displaystyle X}$es la suma de sus autovalores. Cualquier ecuación real de primer orden es elíptica degenerada.

Subsolución de viscosidad

Una función semicontinua superior${\displaystyle u}$en${\displaystyle \Omega }$se define como una subsolución de la ecuación elíptica degenerada anterior en el sentido de la viscosidad si para cualquier punto${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$y cualquier${\displaystyle C^{2}}$función${\displaystyle \phi }$de tal manera que${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$y${\displaystyle \phi \geq u}$en un barrio de${\displaystyle x_{0}}$, tenemos${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$.

Supersolución de viscosidad

Una función semicontinua inferior${\displaystyle u}$en${\displaystyle \Omega }$se define como una supersolución de la ecuación elíptica degenerada anterior en el sentido de la viscosidad si para cualquier punto${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$y cualquier${\displaystyle C^{2}}$función${\displaystyle \phi }$de tal manera que${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$y${\displaystyle \phi \leq u}$en un barrio de${\displaystyle x_{0}}$, tenemos${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$.

Solución de viscosidad

Una función continua u es una solución de viscosidad de la ecuación diferencial parcial.${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$en${\displaystyle \Omega }$Si se trata tanto de una supersolución como de una subsolución. Cabe señalar que la condición de contorno en el sentido de la viscosidad no se ha tratado aquí.

Consideremos el problema de valores en la frontera.${\displaystyle |u'(x)|=1}$, o${\displaystyle F(u')=|u'|-1=0}$, en${\displaystyle (-1,1)}$con condiciones de contorno${\displaystyle u(-1)=u(1)=0}$. Luego, la función${\displaystyle u(x)=1-|x|}$es una solución viscosa.

En efecto, observe que las condiciones de contorno se satisfacen clásicamente, y${\displaystyle |u'(x)|=1}$está bien definido en el interior excepto en${\displaystyle x=0}$Por lo tanto, queda por demostrar que las condiciones para la subsolución de viscosidad y la supersolución de viscosidad se cumplen en${\displaystyle x=0}$. Supongamos que${\displaystyle \phi (x)}$¿Es alguna función diferenciable en${\displaystyle x=0}$con${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$y${\displaystyle \phi (x)\geq u(x)}$cerca${\displaystyle x=0}$De estas suposiciones se deduce que${\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|}$. Para positivo${\displaystyle x}$, esta desigualdad implica${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1}$, usando eso${\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1}$para${\displaystyle x>0}$. Por otro lado, para${\displaystyle x<0}$, tenemos eso${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$. Porque${\displaystyle \phi }$es diferenciable, los límites izquierdo y derecho coinciden y son iguales.${\displaystyle \phi '(0)}$y por lo tanto concluimos que${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$, es decir,${\displaystyle F(\phi '(0))\leq 0}$. De este modo,${\displaystyle u}$es una subsolución viscosa. Además, el hecho de que${\displaystyle u}$es una supersolución se sostiene trivialmente, ya que no hay función${\displaystyle \phi (x)}$diferenciable en${\displaystyle x=0}$con${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$y${\displaystyle \phi (x)\leq u(x)}$cerca${\displaystyle x=0}$Esto implica que${\displaystyle u}$es una solución viscosa.

De hecho, se puede demostrar que${\displaystyle u}$es la solución de viscosidad única para este problema. La unicidad implica un argumento más refinado.

Discusión

El problema de valores en la frontera anterior es una ecuación eikonal en una sola dimensión espacial con${\displaystyle f=1}$donde se sabe que la solución es la función de distancia con signo al límite del dominio. Nótese también en el ejemplo anterior la importancia del signo de${\displaystyle F}$. En particular, la solución de viscosidad a la PDE${\displaystyle -F=0}$con las mismas condiciones de contorno es${\displaystyle u(x)=|x|-1}$Esto se puede explicar observando que la solución${\displaystyle u(x)=1-|x|}$es la solución límite del problema de viscosidad evanescente${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''}$como${\displaystyle \varepsilon }$va a cero, mientras${\displaystyle u(x)=|x|-1}$es la solución límite del problema de viscosidad evanescente${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\varepsilon u''}$. ^{[ 5 ]} Se puede confirmar fácilmente que${\displaystyle u_{\varepsilon }(x)=\varepsilon [\ln(\cosh(1/\varepsilon ))-\ln(\cosh(x/\varepsilon ))]}$resuelve la ecuación diferencial parcial${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''}$para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$Además, la familia de soluciones${\displaystyle u_{\varepsilon }}$converge hacia la solución${\displaystyle u=1-|x|}$como${\displaystyle \varepsilon }$desaparece (véase la figura).

Las tres propiedades básicas de las soluciones viscosas son la existencia , la unicidad y la estabilidad .

• La unicidad de las soluciones requiere algunas suposiciones estructurales adicionales sobre la ecuación. Sin embargo, se puede demostrar para una clase muy amplia de ecuaciones elípticas degeneradas. ^{[ 4 ]} Es una consecuencia directa del principio de comparación . Algunos ejemplos sencillos donde se cumple el principio de comparación son:

1. ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0}$con H uniformemente continua en ambas variables.
2. (Caso elíptico uniforme)${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0}$de modo que${\displaystyle F}$es Lipschitz con respecto a todas las variables y para cada${\displaystyle r\leq s}$y${\displaystyle X\geq Y}$,${\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||}$para algunos${\displaystyle \lambda >0}$.

• La existencia de soluciones se cumple en todos los casos donde se cumple el principio de comparación y las condiciones de contorno pueden imponerse de alguna manera (mediante funciones barrera en el caso de una condición de contorno de Dirichlet ). Para ecuaciones de primer orden, se puede obtener utilizando el método de viscosidad nula ^{[ 6 ] [ 2 ]} o, para la mayoría de las ecuaciones, utilizando el método de Perron. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 2 ]} Existe una noción generalizada de condición de contorno, en el sentido de viscosidad . La solución a un problema de contorno con condiciones de contorno generalizadas es resoluble siempre que se cumpla el principio de comparación. ^{[ 4 ]}
• La estabilidad de las soluciones en${\displaystyle L^{\infty }}$Se cumple lo siguiente: un límite localmente uniforme de una secuencia de soluciones (o subsoluciones, o supersoluciones) es una solución (o subsolución, o supersolución). De forma más general, las nociones de sub- y supersolución de viscosidad también se conservan en los límites semirrelajados. ^{[ 4 ]}

El término soluciones de viscosidad aparece por primera vez en el trabajo de Michael G. Crandall y Pierre-Louis Lions en 1983, en relación con la ecuación de Hamilton-Jacobi . ^{[ 6 ]} El nombre se justifica por el hecho de que la existencia de soluciones se obtuvo mediante el método de viscosidad nula . La definición de solución ya había sido dada anteriormente por Lawrence C. Evans en 1980. ^{[ 9 ]} Posteriormente, la definición y las propiedades de las soluciones de viscosidad para la ecuación de Hamilton-Jacobi fueron refinadas en un trabajo conjunto de Crandall, Evans y Lions en 1984. ^{[ 10 ]}

Durante algunos años, el trabajo sobre soluciones de viscosidad se centró en ecuaciones de primer orden, ya que se desconocía si las ecuaciones elípticas de segundo orden tendrían una solución de viscosidad única, salvo en casos muy particulares. El resultado decisivo llegó con el método introducido por Robert Jensen en 1988 para demostrar el principio de comparación utilizando una aproximación regularizada de la solución que tiene una segunda derivada casi en todas partes (en versiones modernas de la demostración, esto se logra con convoluciones de supremo y el teorema de Alexandrov ). ^{[ 11 ]}

En los años siguientes, el concepto de solución de viscosidad se ha vuelto cada vez más frecuente en el análisis de EDP elípticas degeneradas. Basándose en sus propiedades de estabilidad, Barles y Souganidis obtuvieron una demostración muy simple y general de la convergencia de esquemas de diferencias finitas. ^{[ 12 ]} Se obtuvieron propiedades de regularidad adicionales de las soluciones de viscosidad, especialmente en el caso elíptico uniforme con el trabajo de Luis Caffarelli . ^{[ 13 ]} Las soluciones de viscosidad se han convertido en un concepto central en el estudio de las EDP elípticas. En particular, las soluciones de viscosidad son esenciales en el estudio del laplaciano infinito. ^{[ 14 ]}

En el enfoque moderno, la existencia de soluciones se obtiene con mayor frecuencia a través del método de Perron . ^{[ 4 ]} El método de viscosidad evanescente no es práctico para ecuaciones de segundo orden en general, ya que la adición de viscosidad artificial no garantiza la existencia de una solución clásica. Además, la definición de soluciones de viscosidad generalmente no involucra viscosidad física. Sin embargo, aunque la teoría de soluciones de viscosidad a veces se considera no relacionada con fluidos viscosos , los fluidos irrotacionales pueden de hecho describirse mediante una ecuación de Hamilton-Jacobi. ^{[ 15 ]} En este caso, la viscosidad corresponde a la viscosidad volumétrica de un fluido irrotacional e incompresible. Otros nombres que se sugirieron fueron soluciones de Crandall-Lions , en honor a sus pioneros,${\displaystyle L^{\infty }}$-soluciones débiles , en referencia a sus propiedades de estabilidad, o soluciones de comparación , en referencia a su propiedad más característica.