Teorema de Varignon

Un paralelogramo de Varignon plano también tiene las siguientes propiedades:

• Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal del cuadrilátero original.
• Un lado del paralelogramo de Varignon mide la mitad de la longitud de la diagonal del cuadrilátero original al que es paralelo.
• El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto se cumple en cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados, siempre que el área de estos últimos se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos que lo componen. ^{[ 2 ]}
• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
• Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.
• Las dos bimedianas de un cuadrilátero y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de dicho cuadrilátero son concurrentes y están bisecados por su punto de intersección. ^{[ 3 ] : p.125}

En un cuadrilátero convexo con lados a , b , c y d , la longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados a y c es

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

donde p y q son la longitud de las diagonales. ^{[ 4 ]} La longitud de la bimediana que conecta los puntos medios de los lados b y d es

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Por lo tanto ^{[ 3 ] : p.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Esto es también un corolario de la ley del paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de las bimedianas también pueden expresarse en términos de dos lados opuestos y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se utiliza el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. De donde ^{[ 5 ]}

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

y

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos que conecta la bimediana.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión dual entre las bimedianas y las diagonales: ^{[ 6 ]}

• Las dos bimedianas tienen la misma longitud si y solo si las dos diagonales son perpendiculares .
• Las dos bimedianas son perpendiculares si y solo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

El paralelogramo de Varignon es un rombo si y solo si las dos diagonales del cuadrilátero tienen la misma longitud, es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero equidiagonal . ^{[ 7 ]}

El paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y solo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares , es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero ortodiagonal . ^{[ 6 ] : p. 14 [ 7 ] : p. 169}

Para un cuadrilátero que se cruza a sí mismo , el paralelogramo de Varignon puede degenerar en cuatro puntos colineales, formando un segmento de línea que se recorre dos veces. Esto sucede siempre que el polígono se forma reemplazando dos lados paralelos de un trapecio por las dos diagonales del trapecio, como en el antiparalelogramo . ^{[ 8 ]}