Cuadrilátero equidiagonal

En geometría euclidiana , un cuadrilátero equidiagonal es un cuadrilátero convexo cuyas dos diagonales tienen la misma longitud. Los cuadriláteros equidiagonales fueron importantes en las matemáticas de la antigua India , donde se clasificaban primero según fueran equidiagonales y luego en tipos más especializados. ^{[ 1 ]}

Algunos ejemplos de cuadriláteros equidiagonales son los trapecios isósceles , los rectángulos y los cuadrados .

Entre todos los cuadriláteros, la figura que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es un cometa equidiagonal con ángulos π/3, 5π/12, 5π/6 y 5π/12. ^{[ 2 ]}

Un cuadrilátero convexo es equidiagonal si y solo si su paralelogramo de Varignon , el paralelogramo formado por los puntos medios de sus lados, es un rombo . Una condición equivalente es que las bimedianas del cuadrilátero (las diagonales del paralelogramo de Varignon) sean perpendiculares . ^{[ 3 ]}

Un cuadrilátero convexo con longitudes diagonales${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$y longitudes bimedianas${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$es equidiagonal si y solo si ^{[ 4 ] : Prop.1}

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

El área K de un cuadrilátero equidiagonal se puede calcular fácilmente si se conocen las longitudes de las bimedianas m y n . Un cuadrilátero es equidiagonal si y solo si ^{[ 5 ] : p.19, [ 4 ] : Cor.4}

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

Esto es consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo es el doble del área de su paralelogramo de Varignon y que las diagonales de este paralelogramo son las bimedianas del cuadrilátero. Utilizando las fórmulas para las longitudes de las bimedianas , el área también puede expresarse en términos de los lados a, b, c, d del cuadrilátero equidiagonal y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales como ^{[ 5 ] : p.19}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

Se pueden obtener otras fórmulas de área estableciendo p = q en las fórmulas para el área de un cuadrilátero convexo .

Un paralelogramo es equidiagonal si y solo si es un rectángulo, ^{[ 6 ]} y un trapecio es equidiagonal si y solo si es un trapecio isósceles . Los cuadriláteros equidiagonales cíclicos son precisamente los trapecios isósceles.

Existe una dualidad entre cuadriláteros equidiagonales y ortodiagonales : un cuadrilátero es equidiagonal si y solo si su paralelogramo de Varignon es ortodiagonal (un rombo), y es ortodiagonal si y solo si su paralelogramo de Varignon es equidiagonal (un rectángulo). ^{[ 3 ]} De forma equivalente, un cuadrilátero tiene diagonales iguales si y solo si tiene bimedianas perpendiculares, y tiene diagonales perpendiculares si y solo si tiene bimedianas iguales. ^{[ 7 ]} Silvester (2006) establece conexiones adicionales entre cuadriláteros equidiagonales y ortodiagonales, mediante una generalización del teorema de van Aubel . ^{[ 8 ]}

Los cuadriláteros que son a la vez ortodiagonales y equidiagonales se denominan cuadriláteros de cuadrado medio porque son los únicos para los que el paralelogramo de Varignon (con vértices en los puntos medios de los lados del cuadrilátero) es un cuadrado. ^{[ 4 ] : p. 137}

• Una propiedad tipo Van Aubel de un cuadrilátero equidiagonal en Dynamic Geometry Sketches , bocetos de geometría interactivos.