Propiedad universal

En matemáticas , más específicamente en teoría de categorías , una propiedad universal es una propiedad que caracteriza hasta un isomorfismo el resultado de algunas construcciones. Así, las propiedades universales pueden utilizarse para definir algunos objetos independientemente del método elegido para construirlos. Por ejemplo, las definiciones de los números enteros a partir de los números naturales , de los números racionales a partir de los números enteros, de los números reales a partir de los números racionales y de los anillos de polinomios a partir del campo de sus coeficientes pueden realizarse todas en términos de propiedades universales. En particular, el concepto de propiedad universal permite una prueba sencilla de que todas las construcciones de números reales son equivalentes: basta con probar que satisfacen la misma propiedad universal.

Técnicamente, una propiedad universal se define en términos de categorías y funtores mediante un morfismo universal (véase § Definición formal, más adelante). Los morfismos universales también pueden considerarse de manera más abstracta como objetos iniciales o terminales de una categoría de coma (véase § Conexión con categorías de coma, más adelante).

Las propiedades universales se dan casi en todas partes en matemáticas, y el uso del concepto permite el uso de propiedades generales de propiedades universales para demostrar fácilmente algunas propiedades que de otra manera necesitarían verificaciones aburridas. Por ejemplo, dado un anillo conmutativo R , el campo de fracciones del anillo cociente de R por un ideal primo p puede identificarse con el campo de residuos de la localización de R en p ; es decir (todas estas construcciones pueden definirse por propiedades universales). ${\displaystyle R_{p}/pR_{p}\cong \operatorname {Frac} (R/p)}$

Otros objetos que pueden definirse por propiedades universales incluyen: todos los objetos libres , productos directos y sumas directas , grupos libres , redes libres , grupo de Grothendieck , compleción de un espacio métrico , compleción de un anillo , compleción de Dedekind-MacNeille , topologías de producto , compactificación de Stone-Čech , productos tensoriales , límite inverso y límite directo , núcleos y conúcleos , grupos cocientes , espacios vectoriales cocientes y otros espacios cocientes .

Antes de dar una definición formal de las propiedades universales, ofrecemos alguna motivación para estudiar tales construcciones.

• Los detalles concretos de una construcción dada pueden ser confusos, pero si la construcción satisface una propiedad universal, uno puede olvidarse de todos esos detalles: todo lo que hay que saber sobre la construcción ya está contenido en la propiedad universal. Las demostraciones a menudo se vuelven breves y elegantes si se utiliza la propiedad universal en lugar de los detalles concretos. Por ejemplo, el álgebra tensorial de un espacio vectorial es ligeramente complicada de construir, pero mucho más fácil de manejar gracias a su propiedad universal.
• Las propiedades universales definen objetos de forma única hasta un isomorfismo único . ^[1] Por lo tanto, una estrategia para demostrar que dos objetos son isomorfos es demostrar que satisfacen la misma propiedad universal.
• Las construcciones universales son de naturaleza funcional: si se puede llevar a cabo la construcción para cada objeto en una categoría C , entonces se obtiene un funtor en C. Además, este funtor es un adjunto derecho o izquierdo del funtor U utilizado en la definición de la propiedad universal. ^[2]
• Las propiedades universales se dan en todas partes en matemáticas. Al comprender sus propiedades abstractas, se obtiene información sobre todas estas construcciones y se puede evitar repetir el mismo análisis para cada caso individual.

Para entender la definición de una construcción universal, es importante observar ejemplos. Las construcciones universales no se definieron de la nada, sino que se definieron después de que los matemáticos comenzaron a notar un patrón en muchas construcciones matemáticas (ver ejemplos a continuación). Por lo tanto, la definición puede no tener sentido al principio, pero se aclarará cuando se la relacione con ejemplos concretos.

Sea un funtor entre categorías y . En lo que sigue, sea un objeto de , y sean objetos de , y sea un morfismo en . ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle h:A\to A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Luego, el funtor asigna , y en a , y en . ${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A'}$${\estilo de visualización h}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\estilo de visualización F(A)}$${\displaystyle F(A')}$$Estilo de visualización F(h)$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Un morfismo universal de a${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización F}$ es un par único en el que tiene la siguiente propiedad, comúnmente denominada propiedad universal : ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Para cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en tal que el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle f:X\to F(A')}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle h:A\to A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Podemos dualizar este concepto categórico. Un morfismo universal de a${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización X}$ es un par único que satisface la siguiente propiedad universal: ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$

Para cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle f:F(A')\to X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle h:A'\to A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Obsérvese que en cada definición las flechas están invertidas. Ambas definiciones son necesarias para describir las construcciones universales que aparecen en matemáticas, pero también surgen debido a la dualidad inherente presente en la teoría de categorías. En cualquier caso, decimos que el par que se comporta como se indica arriba satisface una propiedad universal. ${\estilo de visualización (A,u)}$

Los morfismos universales pueden describirse de forma más concisa como objetos iniciales y terminales en una categoría de coma (es decir, una donde los morfismos son vistos como objetos por derecho propio).

Sea un funtor y un objeto de . Entonces recuerde que la categoría de coma es la categoría donde ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (X\flecha abajo F)}$

• Los objetos son pares de la forma , donde es un objeto en${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Un morfismo de a está dado por un morfismo en tal que el diagrama conmuta:${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$${\displaystyle (B',f':X\to F(B'))}$${\displaystyle h:B\to B'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Supongamos ahora que el objeto en es inicial. Entonces, para cada objeto , existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta. ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$${\displaystyle (X\flecha abajo F)}$${\displaystyle (A',f:X\to F(A'))}$${\displaystyle h:A\to A'}$

Tenga en cuenta que la igualdad aquí simplemente significa que los diagramas son los mismos. Observe también que el diagrama del lado derecho de la igualdad es exactamente el mismo que el que se ofrece al definir un morfismo universal de a${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización F}$ . Por lo tanto, vemos que un morfismo universal de a es equivalente a un objeto inicial en la categoría de coma . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle (X\flecha abajo F)}$

Por el contrario, recuerda que la categoría de coma es la categoría donde ${\displaystyle (F\flecha hacia abajo X)}$

• Los objetos son pares de la forma donde es un objeto en${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Un morfismo de a está dado por un morfismo en tal que el diagrama conmuta:${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$${\displaystyle (B',f':F(B')\to X)}$${\displaystyle h:B\to B'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Supongamos que hay un objeto terminal en . Entonces, para cada objeto , existe un morfismo único tal que los siguientes diagramas conmutan. ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$${\displaystyle (F\flecha hacia abajo X)}$${\displaystyle (A',f:F(A')\to X)}$${\displaystyle h:A'\to A}$

El diagrama del lado derecho de la igualdad es el mismo diagrama que se muestra al definir un morfismo universal de a${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización X}$ . Por lo tanto, un morfismo universal de a corresponde a un objeto terminal en la categoría de coma . ${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle (F\flecha hacia abajo X)}$

A continuación se presentan algunos ejemplos para resaltar la idea general. El lector puede construir muchos otros ejemplos consultando los artículos mencionados en la introducción.

Sea la categoría de espacios vectoriales -Vect sobre un cuerpo y sea la categoría de álgebras -Alg sobre (supuestamente unitaria y asociativa ). Sea ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\estilo de visualización K}$ ${\estilo de visualización K}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$

${\estilo de visualización U}$ : -Alg → -Vect${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$

sea ​​el funtor olvidadizo que asigna a cada álgebra su espacio vectorial subyacente.

Dado cualquier espacio vectorial sobre podemos construir el álgebra tensorial . El álgebra tensorial se caracteriza por el hecho de que: ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización K}$ ${\estilo de visualización T(V)}$

“Cualquier aplicación lineal de a un álgebra puede extenderse de forma única a un homomorfismo de álgebra de a .”${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización T(V)}$${\estilo de visualización A}$

Esta afirmación es una propiedad inicial del álgebra tensorial ya que expresa el hecho de que el par , donde es la función de inclusión, es un morfismo universal desde el espacio vectorial hasta el funtor . ${\displaystyle (T(V),i)}$${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización U}$

Dado que esta construcción funciona para cualquier espacio vectorial , concluimos que es un funtor de -Vect a -Alg . Esto significa que es adjunto por la izquierda del funtor olvidadizo (consulte la sección a continuación sobre la relación con los funtores adjuntos). ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización U}$

Un producto categórico se puede caracterizar mediante una construcción universal. Para que sea más concreto, se puede considerar el producto cartesiano en Set , el producto directo en Grp o la topología del producto en Top , donde existen productos.

Sean y objetos de una categoría con productos finitos. El producto de y es un objeto × junto con dos morfismos ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

$estilo de visualización {\pi _{1}}$ :${\displaystyle X\veces Y\a X}$

$estilo de visualización {\pi _{2}}$ :${\displaystyle X\veces Y\a Y}$

de tal manera que para cualquier otro objeto de y morfismos y existe un morfismo único tal que y . ${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f:Z\to X}$${\displaystyle g:Z\to Y}$${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$

Para entender esta caracterización como una propiedad universal, tomemos la categoría como la categoría del producto y definamos el functor diagonal${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

por y . Entonces es un morfismo universal de a el objeto de : si es cualquier morfismo de a , entonces debe ser igual a un morfismo de a seguido de . Como diagrama conmutativo: ${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle (Z,Z)}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$

Para el ejemplo del producto cartesiano en el conjunto , el morfismo comprende las dos proyecciones y . Dado cualquier conjunto y funciona, la función única tal que el diagrama requerido conmuta está dada por . ^[3]${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$

Los productos categóricos son un tipo particular de límite en la teoría de categorías. Se puede generalizar el ejemplo anterior a límites y colímites arbitrarios.

Sean y categorías con un índice pequeño category y sea el funtor correspondiente category . El funtor diagonal${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

es el funtor que asigna cada objeto en al funtor constante (es decir, para cada en y para cada en ) y cada morfismo en a la transformación natural en definida como, para cada objeto de , el componente en . En otras palabras, la transformación natural es la definida por tener un componente constante para cada objeto de . ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$$${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

Dado un funtor (considerado como un objeto en ), el límite de , si existe, no es nada más que un morfismo universal de a . Dualmente, el colimite de es un morfismo universal de a . ${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Delta }$

Definir una cantidad no garantiza su existencia. Dado un funtor y un objeto de , puede existir o no un morfismo universal de a . Sin embargo, si existe un morfismo universal, entonces es esencialmente único. Específicamente, es único hasta un isomorfismo único : si es otro par, entonces existe un isomorfismo único tal que . Esto se ve fácilmente sustituyendo en la definición de un morfismo universal. ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle k:A\to A'}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$${\displaystyle (A,u')}$

El par es esencialmente único de esta manera. El objeto en sí mismo es único solo hasta el isomorfismo. En efecto, si es un morfismo universal y es cualquier isomorfismo, entonces el par , donde también es un morfismo universal. ${\displaystyle (A,u)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,u)}$${\displaystyle k:A\to A'}$${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$

La definición de un morfismo universal se puede reformular de diversas maneras. Sea un funtor y sea un objeto de . Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ${\displaystyle (A,u)}$es un morfismo universal de a${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$es un objeto inicial de la categoría de coma ${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$es una representación de , donde sus componentes están definidos por${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

para cada objeto en${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Las afirmaciones duales también son equivalentes:

• ${\displaystyle (A,u)}$es un morfismo universal de a${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$es un objeto terminal de la categoría de coma${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$es una representación de , donde sus componentes están definidos por${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

para cada objeto en${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Supóngase que es un morfismo universal de a y es un morfismo universal de a . Por la propiedad universal de los morfismos universales, dado cualquier morfismo existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$

Si cada objeto de admite un morfismo universal a , entonces la asignación y define un funtor . Las aplicaciones definen entonces una transformación natural de (el funtor identidad en ) a . Los funtores son entonces un par de funtores adjuntos , con adjunto izquierdo a y adjunto derecho a . ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$${\displaystyle h\mapsto g}$${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F\circ G}$${\displaystyle (F,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Se aplican afirmaciones similares a la situación dual de morfismos terminales de . Si tales morfismos existen para cada en uno se obtiene un funtor que es adjunto por la derecha a (por lo tanto es adjunto por la izquierda a ). ${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

De hecho, todos los pares de funtores adjuntos surgen de construcciones universales de esta manera. Sea y un par de funtores adjuntos con unidad y co-unidad (consulte el artículo sobre funtores adjuntos para las definiciones). Entonces tenemos un morfismo universal para cada objeto en y : ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• Para cada objeto en , es un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único para el cual conmutan los siguientes diagramas.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f:X\to G(Y)}$${\displaystyle g:F(X)\to Y}$
• Para cada objeto en , es un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único para el cual conmutan los siguientes diagramas.${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g:F(X)\to Y}$${\displaystyle f:X\to G(Y)}$

Las construcciones universales son más generales que los pares de funtores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y sólo si este problema tiene una solución para cada objeto de (equivalentemente, cada objeto de ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Pierre Samuel presentó las propiedades universales de varias construcciones topológicas en 1948. Posteriormente, Bourbaki las utilizó ampliamente . El concepto estrechamente relacionado de funtores adjuntos fue introducido de forma independiente por Daniel Kan en 1958.

• Objeto libre
• Transformación natural
• Functor adjunto
• Mónada (teoría de categorías)
• Variedad de álgebras
• Categoría cartesiana cerrada

• Paul Cohn , Álgebra universal (1981), D.Reidel Publishing, Holanda. ISBN 90-277-1213-1 . 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Borceux, F. Manual de álgebra categórica: vol. 1 Teoría básica de categorías (1994) Cambridge University Press, (Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones) ISBN 0-521-44178-1 
• N. Bourbaki, Livre II: Algèbre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1 . 
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. Introducción a los anillos de grupo . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
• Jacobson. Álgebra básica II. Dover. 2009. ISBN 0-486-47187-X 

• nLab, un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico
• André Joyal , CatLab, un proyecto wiki dedicado a la exposición de matemáticas categóricas
• Hillman, Chris (2001). Introducción categórica . CiteSeerX  10.1.1.24.3264 :Introducción formal a la teoría de categorías.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
• Enciclopedia de filosofía de Stanford : "Teoría de categorías", de Jean-Pierre Marquis. Bibliografía extensa.
• Lista de congresos académicos sobre teoría de categorías
• Baez, John, 1996, "La historia de las n-categorías". Una introducción informal a las categorías de orden superior.
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, funtores , transformaciones naturales y propiedades universales .
• The catsters, un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
• Archivo de vídeo de charlas grabadas relevantes sobre categorías, lógica y fundamentos de la física.
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.