Propiedad universal

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser la categoría de espacios vectoriales${\displaystyle K}$-Vector sobre un campo${\displaystyle K}$y dejar${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ser la categoría de álgebras${\displaystyle K}$-Alg sobre${\displaystyle K}$(se supone que es unitario y asociativo ). Sea $${\displaystyle U:K{\text{-}}\mathbf {Alg} \to K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$$ sea ​​el functor olvidadizo que asigna a cada álgebra su espacio vectorial subyacente.

Dado cualquier espacio vectorial${\displaystyle V}$encima${\displaystyle K}$podemos construir el álgebra tensorial${\displaystyle T(V)}$El álgebra tensorial se caracteriza por el hecho de que:

“Cualquier mapa lineal de${\displaystyle V}$a un álgebra${\displaystyle A}$puede extenderse de forma única a un homomorfismo de álgebra desde${\displaystyle T(V)}$a${\displaystyle A}$.”

Esta afirmación es una propiedad inicial del álgebra tensorial ya que expresa el hecho de que el par${\displaystyle (T(V),i)}$, dónde${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$es el mapa de inclusión, es un morfismo universal del espacio vectorial${\displaystyle V}$al functor${\displaystyle U}$.

Dado que esta construcción funciona para cualquier espacio vectorial${\displaystyle V}$, concluimos que${\displaystyle T}$es un functor de ${\displaystyle K}$-Vect a${\displaystyle K}$-Alg . Esto significa que${\displaystyle T}$es adjunto izquierdo al functor olvidadizo${\displaystyle U}$(véase la sección siguiente sobre la relación con los functores adjuntos ).

Un producto categórico puede caracterizarse mediante una construcción universal. Para mayor concreción, se puede considerar el producto cartesiano en Set , el producto directo en Grp o la topología de producto en Top , donde existen productos.

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ser objetos de una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$con productos finitos. El producto de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$es un objeto${\displaystyle X}$×${\displaystyle Y}$junto con dos morfismos

${\displaystyle \pi _{1}}$ :${\displaystyle X\times Y\to X}$

${\displaystyle \pi _{2}}$ :${\displaystyle X\times Y\to Y}$

de tal manera que para cualquier otro objeto${\displaystyle Z}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y morfismos${\displaystyle f:Z\to X}$y${\displaystyle g:Z\to Y}$existe un morfismo único${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$de tal manera que${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$y${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$.

Para entender esta caracterización como una propiedad universal, tomemos la categoría${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ser la categoría de producto${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$y definir el functor diagonal

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}

por${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$y${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$. Entonces${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$es un morfismo universal de${\displaystyle \Delta }$al objeto${\displaystyle (X,Y)}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$: si${\displaystyle (f,g)}$es cualquier morfismo de${\displaystyle (Z,Z)}$a${\displaystyle (X,Y)}$, entonces debe ser igual a un morfismo${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$de${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$ a${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$seguido de${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$. Como diagrama conmutativo:

Por ejemplo, el producto cartesiano en Set , el morfismo${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$comprende las dos proyecciones${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$y${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$Dado cualquier conjunto${\displaystyle Z}$y funciones${\displaystyle f,g}$El mapa único tal que el diagrama requerido conmuta viene dado por${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$. ^{[ 3 ]}

Los productos categóricos son un tipo particular de límite en la teoría de categorías. El ejemplo anterior se puede generalizar a límites y colímites arbitrarios.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {J}}}$y${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser categorías con${\displaystyle {\mathcal {J}}}$una pequeña categoría de índice y dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$sea ​​la categoría de funtores correspondiente . El funtor diagonal

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}

es el functor que mapea cada objeto${\displaystyle N}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$al functor constante${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$(es decir${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$para cada${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {J}}}$y${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$para cada${\displaystyle f:X\to Y}$en${\displaystyle {\mathcal {J}}}$) y cada morfismo${\displaystyle f:N\to M}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a la transformación natural${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$definido como, para cada objeto${\displaystyle X}$de${\displaystyle {\mathcal {J}}}$, el componente$${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$ en${\displaystyle X}$En otras palabras, la transformación natural es aquella definida por tener un componente constante.${\displaystyle f:N\to M}$para cada objeto de${\displaystyle {\mathcal {J}}}$.

Dado un functor${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$(considerado como un objeto en${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$), el límite de${\displaystyle F}$, si existe, no es más que un morfismo universal de${\displaystyle \Delta }$a${\displaystyle F}$. De manera dual, el colímite de${\displaystyle F}$es un morfismo universal de${\displaystyle F}$a${\displaystyle \Delta }$.

Definir una cantidad no garantiza su existencia. Dado un functor${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$y un objeto${\displaystyle X}$de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, puede que exista o no un morfismo universal de${\displaystyle X}$a${\displaystyle F}$. Sin embargo, si existe un morfismo universal${\displaystyle (A,u)}$Si existe, entonces es esencialmente único. Específicamente, es único salvo un isomorfismo único : si${\displaystyle (A',u')}$es otro par, entonces existe un isomorfismo único ${\displaystyle k:A\to A'}$de tal manera que${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$Esto se puede ver fácilmente sustituyendo${\displaystyle (A,u')}$en la definición de un morfismo universal.

Es el par${\displaystyle (A,u)}$lo cual es esencialmente único en este sentido. El objeto${\displaystyle A}$en sí mismo es único salvo isomorfismo. De hecho, si${\displaystyle (A,u)}$es un morfismo universal y${\displaystyle k:A\to A'}$Si existe algún isomorfismo, entonces el par${\displaystyle (A',u')}$, dónde${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$También es un morfismo universal.

La definición de un morfismo universal puede reformularse de diversas maneras.${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$sea ​​un functor y deje que${\displaystyle X}$ser objeto de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• ${\displaystyle (A,u)}$es un morfismo universal de${\displaystyle X}$a${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$es un objeto inicial de la categoría coma${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$es una representación de${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$donde sus componentes${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$se definen por

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

para cada objeto${\displaystyle B}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Las dos afirmaciones también son equivalentes:

• ${\displaystyle (A,u)}$es un morfismo universal de${\displaystyle F}$a${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$es un objeto terminal de la categoría coma${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$es una representación de${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$donde sus componentes${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$se definen por

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

para cada objeto${\displaystyle B}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Suponer${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$es un morfismo universal de${\displaystyle X_{1}}$a${\displaystyle F}$y${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$es un morfismo universal de${\displaystyle X_{2}}$a${\displaystyle F}$. Por la propiedad universal de los morfismos universales, dado cualquier morfismo${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$existe un morfismo único${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$de tal manera que el siguiente diagrama conmuta:

Si cada objeto${\displaystyle X_{i}}$de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$admite un morfismo universal a${\displaystyle F}$, luego la tarea${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$y${\displaystyle h\mapsto g}$define un functor${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$Los mapas${\displaystyle u_{i}}$luego definir una transformación natural de${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$(el functor identidad en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$) a${\displaystyle F\circ G}$. Los functores${\displaystyle (F,G)}$son entonces un par de functores adjuntos , con${\displaystyle G}$adjunto izquierdo a${\displaystyle F}$y${\displaystyle F}$adjunto derecho a${\displaystyle G}$.

Afirmaciones similares se aplican a la situación dual de morfismos terminales de${\displaystyle F}$. Si tales morfismos existen para cada${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$se obtiene un functor${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$que es adjunto derecho a${\displaystyle F}$(entonces${\displaystyle F}$es adjunto izquierdo a${\displaystyle G}$).

En efecto, todos los pares de functores adjuntos surgen de construcciones universales de esta manera.${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$sea ​​un par de functores adjuntos con unidad${\displaystyle \eta }$y co-unidad${\displaystyle \epsilon }$ (consulte el artículo sobre functores adjuntos para las definiciones). Entonces tenemos un morfismo universal para cada objeto en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle {\mathcal {D}}}$:

• Para cada objeto${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$es un morfismo universal de${\displaystyle X}$a${\displaystyle G}$. Es decir, para todos${\displaystyle f:X\to G(Y)}$existe un único${\displaystyle g:F(X)\to Y}$para los cuales conmutan los siguientes diagramas.
• Para cada objeto${\displaystyle Y}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$,${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$es un morfismo universal de${\displaystyle F}$a${\displaystyle Y}$. Es decir, para todos${\displaystyle g:F(X)\to Y}$existe un único${\displaystyle f:X\to G(Y)}$para los cuales conmutan los siguientes diagramas.

Las construcciones universales son más generales que los pares de funtores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y solo si este problema tiene una solución para cada objeto de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(equivalentemente, todo objeto de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$).