Teorías unificadoras en matemáticas

A lo largo de la historia se han realizado varios intentos para alcanzar una teoría unificada de las matemáticas . Algunos de los matemáticos más respetados del ámbito académico han expresado la opinión de que toda la materia debería integrarse en una sola teoría (ejemplos de ello son el programa de Hilbert y el programa de Langlands ).

La unificación de temas matemáticos se ha denominado consolidación matemática : ^{[ 1 ]} "Por consolidación de dos o más conceptos o teorías T _i entendemos la creación de una nueva teoría que incorpora elementos de todos los T _i en un solo sistema que logra implicaciones más generales que las que se pueden obtener de cualquier T _i individual ."

El proceso de unificación podría considerarse como un elemento que ayuda a definir qué constituye la matemática como disciplina.

Por ejemplo, durante el siglo XVIII, la mecánica y el análisis matemático se combinaban comúnmente en una sola disciplina, unidas por el concepto de ecuación diferencial ; mientras que el álgebra y la geometría se consideraban en gran medida distintas. Ahora consideramos el análisis, el álgebra y la geometría, pero no la mecánica, como parte de las matemáticas, ya que son principalmente ciencias formales deductivas , mientras que la mecánica, al igual que la física, debe partir de la observación. No hay una pérdida importante de contenido, pues la mecánica analítica en el sentido antiguo se expresa ahora en términos de topología simpléctica , basada en la teoría más reciente de las variedades .

El término teoría se usa informalmente en matemáticas para referirse a un conjunto coherente de definiciones , axiomas , teoremas , ejemplos, etc. (Algunos ejemplos incluyen la teoría de grupos , la teoría de Galois , la teoría de control y la teoría K ). En particular, no tiene ninguna connotación hipotética . Por lo tanto, el término teoría unificadora se asemeja más a un término sociológico utilizado para estudiar las acciones de los matemáticos. Puede que no asuma nada conjetural que sea análogo a un vínculo científico aún por descubrir. Realmente no existe un equivalente en matemáticas a conceptos como el Protomundo en lingüística o la hipótesis de Gaia .

No obstante, ha habido varios episodios en la historia de las matemáticas en los que se descubrió que conjuntos de teoremas individuales eran casos especiales de un único resultado unificador, o en los que una única perspectiva sobre cómo proceder al desarrollar un área de las matemáticas se pudo aplicar fructíferamente a múltiples ramas de la materia.

Un ejemplo bien conocido fue el desarrollo de la geometría analítica , que, en manos de matemáticos como Descartes y Fermat, demostró que muchos teoremas sobre curvas y superficies de tipos especiales podían enunciarse en lenguaje algebraico (entonces novedoso), y que cada uno de ellos podía demostrarse utilizando las mismas técnicas. Es decir, los teoremas eran muy similares desde el punto de vista algebraico, aunque sus interpretaciones geométricas fueran distintas.

En 1859, Arthur Cayley inició una unificación de las geometrías métricas mediante el uso de las métricas de Cayley-Klein . Posteriormente, Felix Klein utilizó dichas métricas para sentar las bases de la geometría no euclidiana .

En 1872, Felix Klein observó que las numerosas ramas de la geometría desarrolladas durante el siglo XIX ( geometría afín , geometría proyectiva , geometría hiperbólica , etc.) podían tratarse de manera uniforme. Lo hizo considerando los grupos bajo los cuales los objetos geométricos eran invariantes. Esta unificación de la geometría se conoce como el programa de Erlangen . ^{[ 2 ]}

La teoría general del ángulo puede unificarse con la medida invariante de área . El ángulo hiperbólico se define en términos de área, muy cercana al área asociada con el logaritmo natural . El ángulo circular también tiene una interpretación de área cuando se refiere a un círculo con radio igual a la raíz cuadrada de dos . Estas áreas son invariantes con respecto a la rotación hiperbólica y la rotación circular, respectivamente. Estas transformaciones afines se efectúan mediante elementos del grupo lineal especial SL(2,R) . La inspección de ese grupo revela mapeos de corte que aumentan o disminuyen pendientes, pero las diferencias de pendiente no cambian. Un tercer tipo de ángulo, también interpretado como un área dependiente de las diferencias de pendiente, es invariante debido a la preservación del área de un mapeo de corte. ^{[ 3 ]}

A principios del siglo XX, muchas ramas de las matemáticas comenzaron a abordarse definiendo conjuntos útiles de axiomas y estudiando sus consecuencias. Así, por ejemplo, el estudio de los números hipercomplejos , como los considerados por la Asociación de Cuaterniones , se fundamentó en axiomas como ramas de la teoría de anillos (en este caso, con el significado específico de álgebras asociativas ). En este contexto, el concepto de anillo cociente es uno de los unificadores más poderosos.

Esto representó un cambio general de metodología, ya que, hasta entonces, las necesidades de las aplicaciones habían hecho que gran parte de las matemáticas se enseñaran mediante algoritmos (o procesos similares). La aritmética todavía se enseña de esa manera. Fue un fenómeno paralelo al desarrollo de la lógica matemática como una rama independiente de las matemáticas. Para la década de 1930, la lógica simbólica ya estaba plenamente integrada en las matemáticas.

En la mayoría de los casos, los objetos matemáticos en estudio pueden definirse (aunque de forma no canónica) como conjuntos o, de manera más informal, como conjuntos con una estructura adicional, como una operación de suma. La teoría de conjuntos sirve actualmente como lenguaje común para el desarrollo de temas matemáticos.

La teoría de categorías es una teoría unificadora de las matemáticas que se desarrolló inicialmente en la segunda mitad del siglo XX. ^{[ 4 ]} En este sentido, es una alternativa y un complemento a la teoría de conjuntos. Un tema clave desde el punto de vista "categórico" es que las matemáticas requieren no solo ciertos tipos de objetos ( grupos de Lie , espacios de Banach , etc.), sino también aplicaciones entre ellos que preserven su estructura.

En particular, esto aclara exactamente qué significa que los objetos matemáticos se consideren iguales . (Por ejemplo, ¿son todos los triángulos equiláteros iguales , o importa el tamaño?) Saunders Mac Lane propuso que cualquier concepto con suficiente «ubicuidad» (que aparece en varias ramas de las matemáticas) merecía ser aislado y estudiado por derecho propio. La teoría de categorías es posiblemente más adecuada para ese fin que cualquier otro enfoque actual. Las desventajas de confiar en lo que se denomina « absurdo abstracto» son cierta insipidez y abstracción en el sentido de alejarse de las raíces en problemas concretos. Sin embargo, los métodos de la teoría de categorías han avanzado constantemente en aceptación, en numerosas áreas (desde los D-módulos hasta la lógica categórica ).

En una escala menor, las similitudes entre conjuntos de resultados en dos ramas distintas de las matemáticas plantean la cuestión de si existe un marco unificador que pueda explicar los paralelismos. Ya hemos mencionado el ejemplo de la geometría analítica, y, de forma más general, el campo de la geometría algebraica desarrolla exhaustivamente las conexiones entre objetos geométricos ( variedades algebraicas o, más generalmente, esquemas ) y objetos algebraicos ( ideales ); el resultado clave aquí es el Nullstellensatz de Hilbert , que, en términos generales, muestra que existe una correspondencia biunívoca natural entre los dos tipos de objetos.

Se pueden considerar otros teoremas desde la misma perspectiva. Por ejemplo, el teorema fundamental de la teoría de Galois afirma que existe una correspondencia biunívoca entre las extensiones de un cuerpo y los subgrupos del grupo de Galois de dicho cuerpo . La conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas (ya demostrada) establece una correspondencia biunívoca entre curvas definidas como formas modulares y curvas elípticas definidas sobre los números racionales . Un área de investigación, a veces apodada "Monstruoso Lumen", desarrolló conexiones entre las formas modulares y el grupo simple finito conocido como el Monstruo , partiendo únicamente de la sorprendente observación de que en cada una de ellas surgiría de forma muy natural el número bastante inusual 196884. Otro campo, conocido como el programa de Langlands , también parte de similitudes aparentemente fortuitas (en este caso, entre resultados de la teoría de números y representaciones de ciertos grupos) y busca construcciones de las cuales ambos conjuntos de resultados serían corolarios.

Una breve lista de estas teorías podría incluir:

Un ejemplo bien conocido es la conjetura de Taniyama-Shimura , ahora el teorema de modularidad , que proponía que cada curva elíptica sobre los números racionales puede traducirse a una forma modular (de tal manera que se conserve la función L asociada ). Existen dificultades para identificar esto con un isomorfismo, en el sentido estricto de la palabra. Se sabía que ciertas curvas eran tanto elípticas (de género 1) como modulares antes de que se formulara la conjetura (alrededor de 1955). Lo sorprendente de la conjetura fue su extensión a factores de jacobianos de curvas modulares de género > 1. Probablemente no parecía plausible que existieran suficientes factores racionales de este tipo antes de que se enunciara la conjetura; y, de hecho, la evidencia numérica fue escasa hasta alrededor de 1970, cuando las tablas comenzaron a confirmarla. El caso de las curvas elípticas con multiplicación compleja fue demostrado por Shimura en 1964. Esta conjetura se mantuvo durante décadas antes de ser demostrada en general.

De hecho, el programa (o filosofía) de Langlands se asemeja mucho más a una red de conjeturas unificadoras; postula que la teoría general de las formas automórficas está regulada por los grupos L introducidos por Robert Langlands . Su principio de funtorialidad con respecto al grupo L tiene un gran valor explicativo con respecto a los tipos conocidos de elevación de formas automórficas (ahora estudiadas más ampliamente como representaciones automórficas ). Si bien esta teoría está, en cierto sentido, estrechamente vinculada con la conjetura de Taniyama-Shimura, debe entenderse que la conjetura opera en la dirección opuesta. Requiere la existencia de una forma automórfica, partiendo de un objeto que (de forma muy abstracta) pertenece a una categoría de motivos .

Otro punto significativo relacionado es que el enfoque de Langlands se distingue de todo el desarrollo desencadenado por la teoría de la conspiración (conexiones entre funciones modulares elípticas como series de Fourier y las representaciones grupales del grupo Monstruo y otros grupos esporádicos ). La filosofía de Langlands no anticipó ni pudo incluir esta línea de investigación.

Otro caso, hasta ahora menos desarrollado pero que abarca un amplio espectro de las matemáticas, es la base conjetural de algunas partes de la teoría K. La conjetura de Baum-Connes , un problema de larga data, se ha unido a otras en un grupo conocido como las conjeturas de isomorfismo en la teoría K. Estas incluyen la conjetura de Farrell-Jones y la conjetura de Bost .

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