Distribución uniforme continua

La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{ba}}&{\text{para }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{para }}x<a\ {\text{ o }}\ x>b.\end{cases}}}$$

Los valores de${\displaystyle f(x)}$en los dos límites${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$por lo general no son importantes, porque no alteran el valor de${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$en cualquier intervalo${\displaystyle [c,d],}$ni de${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx,}$ni de ningún momento superior. A veces se eligen para ser cero, y a veces se eligen para ser${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}.}$Esto último es apropiado en el contexto de la estimación por el método de máxima verosimilitud . En el contexto del análisis de Fourier , se puede tomar el valor de${\displaystyle f(a)}$o${\displaystyle f(b)}$ser${\displaystyle {\tfrac {1}{2(ba)}},}$Porque entonces la transformada inversa de muchas transformadas integrales de esta función uniforme devolverá la función misma, en lugar de una función que es igual " casi en todas partes ", es decir, excepto en un conjunto de puntos con medida cero . Además, es consistente con la función signo , que no tiene tal ambigüedad.

Cualquier función de densidad de probabilidad se integra a${\displaystyle 1,}$Así, la función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua se representa gráficamente como un rectángulo donde${\displaystyle ba}$es la longitud de la base y${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}}$es la altura. A medida que aumenta la longitud de la base, la altura (la densidad en cualquier valor particular dentro de los límites de la distribución) disminuye. ^{[ 4 ]}

En términos de media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2},}$La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\[2pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

La función de distribución acumulativa de la distribución uniforme continua es: $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}$$

Su inversa es: $${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.}$$

En términos de media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2},}$La función de distribución acumulativa de la distribución uniforme continua es: $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}$$

Su inversa es: $${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.}$$

La distribución uniforme continua con parámetros${\displaystyle a=0}$y${\displaystyle b=1,}$es decir${\displaystyle U(0,1),}$Se denomina distribución uniforme estándar .

Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si${\displaystyle u_{1}}$tiene una distribución uniforme estándar, entonces también${\displaystyle 1-u_{1}.}$Esta propiedad se puede utilizar para generar variables antitéticas , entre otras cosas. En otras palabras, esta propiedad se conoce como el método de inversión, donde la distribución uniforme estándar continua se puede utilizar para generar números aleatorios para cualquier otra distribución continua. ^{[ 4 ]} Si${\displaystyle u_{1}}$es un número aleatorio uniforme con distribución uniforme estándar, es decir, con${\displaystyle U(0,1),}$entonces${\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})}$genera un número aleatorio${\displaystyle x}$de cualquier distribución continua con la función de distribución acumulativa especificada${\displaystyle F.}$^{[ 4 ]}

Siempre que se sigan las mismas convenciones en los puntos de transición, la función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua también puede expresarse en términos de la función escalón de Heaviside como: $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}$$

o en términos de la función rectángulo como: $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}$$

No existe ambigüedad en el punto de transición de la función signo . Utilizando la convención de la mitad del máximo en los puntos de transición, la distribución uniforme continua puede expresarse en términos de la función signo como: $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$$

La media (primer momento bruto ) de la distribución uniforme continua es: $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}$$

El segundo momento bruto de esta distribución es: $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}$$

En general, el${\displaystyle n}$-el momento bruto de esta distribución es: $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$$

La varianza (segundo momento central ) de esta distribución es: $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$$

Dejar${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ser una muestra iid de${\displaystyle U(0,1),}$y dejar${\displaystyle X_{(k)}}$ser el${\displaystyle k}$-ésimo estadístico de orden de esta muestra.

${\displaystyle X_{(k)}}$tiene una distribución beta , con parámetros${\displaystyle k}$y​${\displaystyle n-k+1.}$⁠

El valor esperado es: $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k}{n+1}}.}$$

Este hecho resulta útil al realizar gráficos Q-Q .

La varianza es: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}.}$$

La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución uniforme continua caiga dentro de cualquier intervalo de longitud fija es independiente de la ubicación del intervalo en sí (pero depende del tamaño del intervalo).${\displaystyle (\ell )}$), siempre y cuando el intervalo esté contenido en el soporte de la distribución.

De hecho, si${\displaystyle X\sim U(a,b)}$y si${\displaystyle [x,x+\ell ]}$es un subintervalo de${\displaystyle [a,b]}$con fijo${\displaystyle \ell >0,}$entonces: $${\displaystyle \Pr {\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$$ que es independiente de${\displaystyle x.}$Este hecho justifica el nombre de la distribución.

La distribución uniforme puede generalizarse a conjuntos más generales que los intervalos.

Formalmente, dejemos${\displaystyle S}$ser un conjunto de Borel de medida de Lebesgue positiva y finita${\displaystyle \lambda (S),}$es decir${\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .}$La distribución uniforme en${\displaystyle S}$se puede especificar definiendo la función de densidad de probabilidad como cero fuera${\displaystyle S}$y constantemente igual a${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}}$en${\displaystyle S.}$

Se conocen muchos casos especiales, por ejemplo, cuando el conjunto S es un simplex ^{[ 8 ] : Sección V, Teorema 2.1} .

En el campo de la economía, la demanda y el reabastecimiento generalmente no siguen la distribución normal esperada. Como resultado, se utilizan otros modelos de distribución para predecir mejor las probabilidades y las tendencias, como el proceso de Bernoulli . ^{[ 11 ]} Pero según Wanke (2008), en el caso particular de investigar el tiempo de entrega para la gestión de inventario al comienzo del ciclo de vida cuando se analiza un producto completamente nuevo, la distribución uniforme resulta ser más útil. ^{[ 11 ]} En esta situación, otra distribución puede no ser viable ya que no hay datos existentes sobre el nuevo producto o que el historial de demanda no está disponible, por lo que realmente no hay una distribución apropiada o conocida. ^{[ 11 ]} La distribución uniforme sería ideal en esta situación ya que la variable aleatoria del tiempo de entrega (relacionada con la demanda) es desconocida para el nuevo producto, pero es probable que los resultados oscilen entre un rango plausible de dos valores. ^{[ 11 ]} El tiempo de entrega representaría, por lo tanto, la variable aleatoria. A partir del modelo de distribución uniforme, se pudieron calcular otros factores relacionados con el tiempo de entrega, como el nivel de servicio del ciclo y la escasez por ciclo . También se observó que se utilizó la distribución uniforme debido a la simplicidad de los cálculos. ^{[ 11 ]}

La distribución uniforme es útil para muestrear a partir de distribuciones arbitrarias. Un método general es el método de muestreo por transformación inversa, que utiliza la función de distribución acumulativa (FDA) de la variable aleatoria objetivo. Este método es muy útil en trabajos teóricos. Dado que las simulaciones que utilizan este método requieren invertir la FDA de la variable objetivo, se han ideado métodos alternativos para los casos en que la FDA no se conoce en forma cerrada. Uno de estos métodos es el muestreo por rechazo .

La distribución normal es un ejemplo importante donde el método de transformación inversa no es eficiente. Sin embargo, existe un método exacto, la transformación de Box-Muller , que utiliza la transformación inversa para convertir dos variables aleatorias uniformes independientes en dos variables aleatorias independientes con distribución normal .

En la conversión analógica-digital, se produce un error de cuantificación. Este error se debe al redondeo o al truncamiento. Cuando la señal original es mucho mayor que un bit menos significativo (LSB) , el error de cuantificación no está significativamente correlacionado con la señal y presenta una distribución aproximadamente uniforme. Por lo tanto, el error cuadrático medio (RMS) se deriva de la varianza de esta distribución.