Aleatoriedad estadística

Se dice que una secuencia numérica es estadísticamente aleatoria cuando no contiene patrones ni regularidades reconocibles; secuencias como los resultados de una tirada de dados ideal o los dígitos de π exhiben aleatoriedad estadística. ^{[ 1 ]}

La aleatoriedad estadística no implica necesariamente aleatoriedad "verdadera", es decir, imprevisibilidad objetiva . La pseudoaleatoriedad es suficiente para muchos usos, como la estadística, de ahí el nombre de aleatoriedad estadística .

La aleatoriedad global y la aleatoriedad local son diferentes. La mayoría de las concepciones filosóficas de la aleatoriedad son globales , ya que se basan en la idea de que, a largo plazo, una secuencia parece verdaderamente aleatoria, aunque ciertas subsecuencias no lo parezcan. En una secuencia de números verdaderamente aleatoria de longitud suficiente, por ejemplo, es probable que existan largas secuencias compuestas únicamente por números repetidos, aunque en conjunto la secuencia sea aleatoria. La aleatoriedad local se refiere a la idea de que existen longitudes mínimas de secuencia en las que se aproximan las distribuciones aleatorias. Las largas secuencias de los mismos números, incluso aquellas generadas por procesos verdaderamente aleatorios, disminuirían la aleatoriedad local de una muestra (podría ser aleatoria solo localmente para secuencias de 10 000 números; secuencias de menos de 1000 podrían no parecer aleatorias en absoluto, por ejemplo).

Que una secuencia presente un patrón no significa que no sea estadísticamente aleatoria. Según los principios de la teoría de Ramsey , los objetos suficientemente grandes deben contener necesariamente una subestructura determinada (" el desorden completo es imposible ").

La legislación relativa al juego impone ciertos estándares de aleatoriedad estadística a las máquinas tragamonedas .

Las primeras pruebas para números aleatorios fueron publicadas por MG Kendall y Bernard Babington Smith en el Journal of the Royal Statistical Society en 1938. ^{[ 2 ]} Se basaron en herramientas estadísticas como la prueba chi-cuadrado de Pearson , desarrolladas para determinar si los fenómenos experimentales se ajustaban a sus probabilidades teóricas. Pearson desarrolló su prueba originalmente al demostrar que varios experimentos con dados realizados por WFR Weldon no mostraban un comportamiento "aleatorio".

Las cuatro pruebas originales de Kendall y Smith eran pruebas de hipótesis , que tomaban como hipótesis nula la idea de que cada número en una secuencia aleatoria dada tenía la misma probabilidad de ocurrir, y que varios otros patrones en los datos también deberían distribuirse con igual probabilidad.

• La prueba de frecuencia fue muy básica: comprobar que hubiera aproximadamente el mismo número de 0, 1, 2, 3, etc.
• La prueba serial hizo lo mismo, pero para secuencias de dos dígitos a la vez (00, 01, 02, etc.), comparando sus frecuencias observadas con sus predicciones hipotéticas si estuvieran distribuidas de manera uniforme.
• La prueba de póker , evaluada para ciertas secuencias de cinco números a la vez (AAAAA, AAAAB, AAABB, etc.) basadas en manos en el juego de póker .
• La prueba de brecha analizaba las distancias entre ceros (00 sería una distancia de 0, 030 sería una distancia de 1, 02250 sería una distancia de 3, etc.).

Si una secuencia determinada superaba todas estas pruebas con un cierto grado de significancia (generalmente del 5%), se la consideraba, en sus propias palabras, "aleatoriedad local". Kendall y Smith diferenciaron la "aleatoriedad local" de la "aleatoriedad verdadera" en que muchas secuencias generadas con métodos verdaderamente aleatorios podrían no presentar "aleatoriedad local" en un grado determinado ; secuencias muy largas podrían contener muchas filas de un solo dígito. Esto podría ser "aleatorio" a escala de toda la secuencia, pero en un bloque más pequeño no lo sería (no superaría sus pruebas) y resultaría inútil para diversas aplicaciones estadísticas.

A medida que los conjuntos de números aleatorios se hicieron más comunes, se utilizaron más pruebas, cada vez más sofisticadas. Algunas pruebas modernas representan dígitos aleatorios como puntos en un plano tridimensional, que luego se puede rotar para buscar patrones ocultos. En 1995, el estadístico George Marsaglia creó un conjunto de pruebas conocido como las pruebas Diehard , que distribuye con un CD-ROM de 5  mil millones de números pseudoaleatorios . En 2015, Yongge Wang distribuyó un paquete de software Java ^{[ 3 ]} para pruebas de aleatoriedad basadas en distancias estadísticas.

Los generadores de números pseudoaleatorios requieren pruebas como verificación exclusiva de su "aleatoriedad", ya que no se producen mediante procesos "verdaderamente aleatorios", sino mediante algoritmos deterministas. A lo largo de la historia de la generación de números aleatorios, se ha descubierto que muchas fuentes de números que parecían "aleatorios" tras las pruebas resultan ser muy poco aleatorias al someterse a ciertos tipos de pruebas. El concepto de números cuasialeatorios se desarrolló para sortear algunos de estos problemas, aunque los generadores de números pseudoaleatorios todavía se utilizan ampliamente en muchas aplicaciones (incluso en aquellas que se sabe que son extremadamente "poco aleatorias"), ya que son "suficientemente buenos" para la mayoría de ellas.

Otras pruebas:

• La prueba Monobit trata cada bit de salida del generador de números aleatorios como un lanzamiento de moneda y determina si el número observado de caras y cruces se acerca a la frecuencia esperada del 50 %. El número de caras en una secuencia de lanzamientos de moneda forma una distribución binomial .
• El algoritmo Wald-Wolfowitz realiza pruebas para determinar el número de transiciones de bits entre 0 bits y 1 bit, comparando las frecuencias observadas con la frecuencia esperada de una secuencia de bits aleatoria.
• entropía de la información
• Prueba de autocorrelación
• prueba de Kolmogorov-Smirnov
• Prueba de aleatoriedad basada en distancia estadística. Yongge Wang demostró ^{[ 4 ] [ 5 ]} que los estándares de prueba NIST SP800-22 no son suficientes para detectar algunas debilidades en los generadores de aleatoriedad y propuso una prueba de aleatoriedad basada en distancia estadística.
• Estimación de la densidad espectral ^{[ 6 ]} : al aplicar una transformada de Fourier a una señal "aleatoria", esta se transforma en una suma de funciones periódicas para detectar tendencias repetitivas no aleatorias.
• Prueba estadística universal de Maurer
• Las pruebas de Duro de Matar

• Aleatoriedad algorítmica
• Aleatoriedad espacial completa
• Número normal
• Bloc de notas de un solo uso
• Error aleatorio
• Aleatoriedad
• Pruebas de aleatoriedad
• Pruebas de hipótesis estadísticas
• Siete estados de aleatoriedad
• PruebaU01
• Tornado de Mersenne
• ilusión de agrupamiento

• DieHarder : Un conjunto de pruebas de números aleatorios en C gratuito ( GPL ) .
• Generación de números aleatorios con distribución normal