Aleatoriedad espacial completa

La aleatoriedad espacial completa ( AEC ) describe un proceso puntual en el que los eventos puntuales ocurren dentro de un área de estudio determinada de forma completamente aleatoria. Es sinónimo de un proceso de Poisson espacial homogéneo . ^{[ 1 ]} Este proceso se modela utilizando un solo parámetro , a saber, la densidad de puntos dentro del área definida. El término aleatoriedad espacial completa se usa comúnmente en estadística aplicada en el contexto del análisis de ciertos patrones puntuales, mientras que en la mayoría de los demás contextos estadísticos se hace referencia al concepto de un proceso de Poisson espacial. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \rho }$

Los datos, en forma de un conjunto de puntos distribuidos irregularmente dentro de una región del espacio, surgen en diversos contextos; por ejemplo, la ubicación de árboles en un bosque, nidos de aves, núcleos celulares en tejidos o personas enfermas en una población de riesgo. A cualquier conjunto de datos de este tipo lo denominamos patrón espacial de puntos y a las ubicaciones, eventos, para distinguirlas de puntos arbitrarios de la región en cuestión. La hipótesis de aleatoriedad espacial completa para un patrón espacial de puntos postula que el número de eventos en cualquier región sigue una distribución de Poisson con una media dada por subdivisión uniforme. Los eventos de un patrón se distribuyen de forma independiente y uniforme en el espacio; es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir en cualquier lugar y no interactúan entre sí.

El término «uniforme» se utiliza en el sentido de seguir una distribución de probabilidad uniforme en toda la región de estudio, no en el sentido de estar distribuido «de manera uniforme» en dicha región. ^{[ 2 ]} No existen interacciones entre los eventos, y la intensidad de los eventos no varía en el plano. Por ejemplo, el supuesto de independencia se incumpliría si la existencia de un evento fomentara o inhibiera la ocurrencia de otros eventos en el vecindario.

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar exactamente puntos dentro del área con densidad de eventos es:${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle P(k,\rho ,V)={\frac {(V\rho )^{k}e^{-(V\rho )}}{k!}}.\,\!}$

El primer momento del cual, el número promedio de puntos en el área, es simplemente . Este valor es intuitivo ya que es el parámetro de tasa de Poisson.${\displaystyle \rho V}$

La probabilidad de localizar el vecino de cualquier punto dado, a cierta distancia radial, es:${\displaystyle N^{\mathrm {th} }}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle P_{N}(r)={\frac {D}{(N-1)!}}{\lambda }^{N}r^{DN-1}e^{-\lambda r^{D}},}$

donde es el número de dimensiones, es un parámetro dependiente de la densidad dado por y es la función gamma , que cuando su argumento es entero , es simplemente la función factorial , es decir, para enteros .${\displaystyle D}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ={\frac {\rho \pi ^{\frac {D}{2}}}{\Gamma ({\frac {D}{2}}+1)}}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$${\displaystyle n}$

El valor esperado de se puede derivar mediante el uso de la función gamma utilizando momentos estadísticos. El primer momento es la distancia media entre partículas distribuidas aleatoriamente en dimensiones.${\displaystyle P_{N}(r)}$${\displaystyle D}$

El estudio de la RSC es esencial para la comparación de datos puntuales medidos de fuentes experimentales. Como método de prueba estadística, la prueba de RSC tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales y en exámenes astronómicos. ^{[ 3 ]} La RSC suele ser el estándar con el que se comparan los conjuntos de datos. A grandes rasgos, un enfoque para probar la hipótesis de la RSC es el siguiente: ^{[ 4 ]}

1. Utilice estadísticas que sean función de la distancia de cada evento al evento más cercano.
2. En primer lugar, céntrese en un evento específico y formule un método para comprobar si dicho evento y el siguiente evento más cercano están significativamente próximos (o distantes).
3. A continuación, considere todos los eventos y formule un método para comprobar si la distancia media desde cada evento hasta el siguiente evento más cercano es significativamente corta (o larga).

En los casos en que resulta difícil calcular analíticamente las estadísticas de prueba, se emplean métodos numéricos, como la simulación mediante el método de Monte Carlo , simulando un proceso estocástico un gran número de veces. ^{[ 4 ]}

• Diggle, PJ (2003). Análisis estadístico de patrones de puntos espaciales (2.ª  ed.). Nueva York: Academic Press. ISBN 0340740701.

• Mejora de las pruebas de distancia entre eventos para evaluar la aleatoriedad en procesos puntuales espaciales.