Continuidad uniforme

En matemáticas , una función real${\displaystyle f}$Se dice que una distribución de números reales es uniformemente continua si existe un número real positivo.${\displaystyle \delta }$de tal manera que los valores de la función sobre cualquier intervalo del dominio de la función del tamaño${\displaystyle \delta }$están tan cerca entre sí como queramos. En otras palabras, para una función real uniformemente continua de números reales, si queremos que las diferencias de los valores de la función sean menores que cualquier número real positivo.${\displaystyle \varepsilon }$, entonces hay un número real positivo${\displaystyle \delta }$de tal manera que${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$para cualquier${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en cualquier intervalo de longitud${\displaystyle \delta }$dentro del dominio de${\displaystyle f}$.

La diferencia entre continuidad uniforme y continuidad (ordinaria) radica en que en la continuidad uniforme existe una aplicación global.${\displaystyle \delta }$(el tamaño de un intervalo del dominio de la función sobre el cual las diferencias de los valores de la función son menores que${\displaystyle \varepsilon }$) que depende únicamente de${\displaystyle \varepsilon }$, mientras que en la continuidad (ordinaria) existe una aplicación local${\displaystyle \delta }$eso depende de ambos${\displaystyle \varepsilon }$y${\displaystyle x}$Por lo tanto, la continuidad uniforme es una condición de continuidad más fuerte que la continuidad; una función uniformemente continua es continua, pero una función continua no es necesariamente uniformemente continua. Los conceptos de continuidad uniforme y continuidad pueden extenderse a funciones definidas entre espacios métricos .

Las funciones continuas pueden dejar de ser uniformemente continuas si no están acotadas en un dominio acotado, como por ejemplo:${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$en${\displaystyle (0,1)}$, o si sus pendientes se vuelven ilimitadas en un dominio infinito, como por ejemplo${\displaystyle f(x)=x^{2}}$en la recta real (numérica). Sin embargo, cualquier aplicación de Lipschitz entre espacios métricos es uniformemente continua, en particular cualquier isometría (aplicación que conserva la distancia).

Si bien la continuidad puede definirse para funciones entre espacios topológicos generales, definir la continuidad uniforme requiere una estructura más compleja. El concepto se basa en la comparación de los tamaños de los entornos de puntos distintos, por lo que requiere un espacio métrico o, más generalmente, un espacio uniforme .

Para una función${\displaystyle f:X\to Y}$con espacios métricos${\displaystyle (X,d_{1})}$y${\displaystyle (Y,d_{2})}$Se cumplen las siguientes definiciones de continuidad uniforme y continuidad (ordinaria).

En las definiciones, la diferencia entre continuidad uniforme y continuidad radica en que, en la continuidad uniforme, existe una aplicabilidad global.${\displaystyle \delta }$(el tamaño de un barrio en${\displaystyle X}$sobre qué valores de la métrica para valores de función en${\displaystyle Y}$son menos que${\displaystyle \varepsilon }$) que depende únicamente de${\displaystyle \varepsilon }$mientras que en continuidad hay una aplicación local${\displaystyle \delta }$Eso depende de ambos${\displaystyle \varepsilon }$y${\displaystyle x}$. La continuidad es una propiedad local de una función, es decir, una función${\displaystyle f}$es continuo o no en un punto determinado${\displaystyle x}$del dominio de la función${\displaystyle X}$y esto se puede determinar observando solo los valores de la función en un entorno arbitrariamente pequeño de ese punto. Cuando decimos que una función es continua en un intervalo , queremos decir que la función es continua en cada punto del intervalo. En cambio, la continuidad uniforme es una propiedad global de${\displaystyle f}$, en el sentido de que la definición estándar de continuidad uniforme se refiere a cada punto de${\displaystyle X}$Por otro lado, es posible dar una definición que sea local en términos de la extensión natural.${\displaystyle f^{*}}$(cuyas características en puntos no estándar están determinadas por las propiedades globales de${\displaystyle f}$), aunque no es posible dar una definición local de continuidad uniforme para una función hiperreal arbitraria, véase más abajo .

Una definición matemática de que una función${\displaystyle f}$es continua en un intervalo${\displaystyle I}$y una definición que${\displaystyle f}$es uniformemente continuo en${\displaystyle I}$son estructuralmente similares como se muestra a continuación.

Continuidad de una función${\displaystyle f:X\to Y}$para espacios métricos${\displaystyle (X,d_{1})}$y${\displaystyle (Y,d_{2})}$en cada punto${\displaystyle x}$de un intervalo${\displaystyle I\subsetequ X}$(es decir, continuidad de${\displaystyle f}$en el intervalo${\displaystyle I}$) se expresa mediante una fórmula que comienza con cuantificaciones

${\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$,

(métrica${\displaystyle d_{1}(x,y)}$y${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))}$son${\displaystyle |xy|}$y${\displaystyle |f(x)-f(y)|}$para${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$para el conjunto de números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Para una continuidad uniforme, el orden de la primera, segunda y tercera cuantificaciones (${\displaystyle \forall x\in I}$,${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$, y${\displaystyle \exists \delta >0}$) se rotan:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Así, para la continuidad en el intervalo, se toma un punto arbitrario.${\displaystyle x}$del intervalo , y entonces debe existir una distancia${\displaystyle \delta }$,

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

mientras que para una continuidad uniforme, un solo${\displaystyle \delta }$debe funcionar de manera uniforme para todos los puntos${\displaystyle x}$del intervalo,

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\cdots .}$

Toda función uniformemente continua es continua , pero lo contrario no es cierto. Consideremos, por ejemplo, la función continua.${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$dónde${\displaystyle \mathbb {R} }$es el conjunto de los números reales . Dado un número real positivo${\displaystyle \varepsilon }$La continuidad uniforme requiere la existencia de un número real positivo.${\displaystyle \delta }$de tal manera que para todos${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$con${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, tenemos${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$. Pero

${\displaystyle f\left(x+\delta \right)-f(x)=2x\cdot \delta +\delta ^{2},}$

y como${\displaystyle x}$va a ser un valor cada vez más alto,${\displaystyle \delta }$necesita ser cada vez más bajo para satisfacer${\displaystyle |f(x+\beta )-f(x)|<\varepsilon }$para números reales positivos${\displaystyle \beta <\delta }$y el dado${\displaystyle \varepsilon }$Esto significa que no existe ningún número real positivo especificable (por muy pequeño que sea).${\displaystyle \delta }$para satisfacer la condición de${\displaystyle f}$ser uniformemente continuo, por lo tanto${\displaystyle f}$no es uniformemente continuo.

Cualquier función absolutamente continua (en un intervalo compacto) es uniformemente continua. Por otro lado, la función de Cantor es uniformemente continua, pero no absolutamente continua.

La imagen de un subconjunto totalmente acotado bajo una función uniformemente continua es totalmente acotada. Sin embargo, la imagen de un subconjunto acotado de un espacio métrico arbitrario bajo una función uniformemente continua no tiene por qué ser acotada: como contraejemplo, considérese la función identidad de los enteros dotados de la métrica discreta a los enteros dotados de la métrica euclidiana usual .

El teorema de Heine-Cantor afirma que toda función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua . En particular, si una función es continua en un intervalo cerrado (acotado) de la recta real, es uniformemente continua en dicho intervalo . La integrabilidad de Darboux de las funciones continuas se deduce casi inmediatamente de este teorema.

Si una función de valor real${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle [0,\infty )}$y${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$existe (y es finito), entonces${\displaystyle f}$es uniformemente continuo. En particular, cada elemento de${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$, el espacio de funciones continuas en${\displaystyle \mathbb {R} }$que se desvanecen en el infinito, es uniformemente continua. Esta es una generalización del teorema de Heine-Cantor mencionado anteriormente, ya que${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$.

Para una función uniformemente continua, para cada número real positivo${\displaystyle \varepsilon >0}$Hay un número real positivo${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que dos valores de función${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle f(y)}$tener la distancia máxima${\displaystyle \varepsilon }$cuando sea${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$están dentro de la distancia máxima${\displaystyle \delta }$. Por lo tanto, en cada punto${\displaystyle (x,f(x))}$del gráfico, si dibujamos un rectángulo con una altura ligeramente menor que${\displaystyle 2\varepsilon }$y un ancho ligeramente menor que${\displaystyle 2\delta }$En ese punto, la gráfica se encuentra completamente dentro de la altura del rectángulo; es decir, no atraviesa ni la parte superior ni la inferior del mismo. Para funciones que no son uniformemente continuas, esto no es posible; en estos casos, la gráfica podría estar dentro de la altura del rectángulo en algún punto, pero existe un punto donde se encuentra por encima o por debajo del rectángulo (la gráfica lo atraviesa).

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  Para funciones uniformemente continuas, para cada número real positivo${\displaystyle \varepsilon >0}$Hay un número real positivo${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que cuando dibujamos un rectángulo alrededor de cada punto del gráfico con un ancho ligeramente menor que${\displaystyle 2\delta }$y una altura ligeramente inferior a${\displaystyle 2\varepsilon }$El gráfico se encuentra completamente dentro de la altura del rectángulo.
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  Para funciones que no son uniformemente continuas, existe un número real positivo${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que para cada número real positivo${\displaystyle \delta >0}$Hay un punto en el gráfico tal que cuando dibujamos un rectángulo con una altura ligeramente menor que${\displaystyle 2\varepsilon }$y un ancho ligeramente menor que${\displaystyle 2\delta }$Alrededor de ese punto, existe un valor de función directamente encima o debajo del rectángulo. Puede haber un punto en la gráfica donde esta se encuentre completamente dentro de la altura del rectángulo, pero esto no se cumple para todos los puntos de la gráfica.

La primera definición publicada de continuidad uniforme fue la de Heine en 1870, y en 1872 publicó una demostración de que una función continua en un intervalo abierto no tiene por qué ser uniformemente continua. Las demostraciones fueron presentadas casi textualmente por Dirichlet en sus lecciones sobre integrales definidas en 1854. La definición de continuidad uniforme aparece anteriormente en la obra de Bolzano, donde también demostró que las funciones continuas en un intervalo abierto no tienen por qué ser uniformemente continuas. Además, afirma que una función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua, pero no ofrece una demostración completa. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio métrico,${\displaystyle S}$un subconjunto de${\displaystyle X}$,${\displaystyle R}$un espacio métrico completo y${\displaystyle f:S\rightarrow R}$una función continua. Una pregunta para responder: ¿Cuándo se puede?${\displaystyle f}$extenderse a una función continua en todo${\displaystyle X}$¿

Si${\displaystyle S}$está cerrado en${\displaystyle X}$La respuesta la proporciona el teorema de extensión de Tietze . Por lo tanto, es necesario y suficiente extender${\displaystyle f}$al cierre de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X}$: es decir, podemos suponer sin pérdida de generalidad que${\displaystyle S}$es denso en${\displaystyle X}$y esto tiene además la agradable consecuencia de que si la extensión existe, es única. Una condición suficiente para${\displaystyle f}$extender a una función continua${\displaystyle f:X\rightarrow R}$es que es Cauchy-continua , es decir, la imagen bajo${\displaystyle f}$de una secuencia de Cauchy sigue siendo de Cauchy. Si${\displaystyle X}$está completo (y por lo tanto la finalización de${\displaystyle S}$), entonces toda función continua de${\displaystyle X}$a un espacio métrico${\displaystyle Y}$es Cauchy-continua. Por lo tanto, cuando${\displaystyle X}$está completo,${\displaystyle f}$se extiende a una función continua${\displaystyle f:X\rightarrow R}$si y solo si${\displaystyle f}$es Cauchy-continua.

Es fácil ver que toda función uniformemente continua es Cauchy-continua y, por lo tanto, se extiende a${\displaystyle X}$. Lo contrario no se cumple, ya que la función${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$Como se ha visto anteriormente, no es uniformemente continua, pero es continua y, por lo tanto, continua de Cauchy. En general, para funciones definidas en espacios no acotados como${\displaystyle R}$La continuidad uniforme es una condición bastante fuerte. Es deseable tener una condición más débil a partir de la cual deducir la extensibilidad.

Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle a>1}$es un número real. En el nivel de precálculo, la función${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$Se puede dar una definición precisa solo para valores racionales de${\displaystyle x}$(suponiendo la existencia de raíces q-ésimas de números reales positivos, una aplicación del Teorema del Valor Intermedio ). Uno querría extender${\displaystyle f}$a una función definida en todos los${\displaystyle R}$. La identidad

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)}$

muestra que${\displaystyle f}$no es uniformemente continuo en el conjunto${\displaystyle Q}$de todos los números racionales; sin embargo, para cualquier intervalo acotado${\displaystyle I}$la restricción de${\displaystyle f}$a${\displaystyle Q\cap I}$es uniformemente continua, por lo tanto Cauchy-continua, por lo tanto${\displaystyle f}$se extiende a una función continua en${\displaystyle I}$. Pero dado que esto se cumple para todos${\displaystyle I}$, entonces hay una extensión única de${\displaystyle f}$a una función continua en todo${\displaystyle R}$.

De forma más general, una función continua${\displaystyle f:S\rightarrow R}$cuya restricción a cada subconjunto acotado de${\displaystyle S}$es uniformemente continuo es extendible a${\displaystyle X}$y lo contrario es cierto si${\displaystyle X}$es localmente compacto .

Una aplicación típica de la extensibilidad de una función uniformemente continua es la demostración de la fórmula de la transformada inversa de Fourier . Primero demostramos que la fórmula es válida para funciones de prueba, de las cuales existen muchísimas. Luego extendemos la transformación inversa a todo el espacio utilizando el hecho de que la transformación lineal es continua; por lo tanto, uniformemente continua.

En el caso especial de dos espacios vectoriales topológicos${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, la noción de continuidad uniforme de un mapa${\displaystyle f:V\to W}$se convierte en: para cualquier vecindario${\displaystyle B}$de cero en${\displaystyle W}$, existe un vecindario${\displaystyle A}$de cero en${\displaystyle V}$de tal manera que${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$implica${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

Para transformaciones lineales${\displaystyle f:V\to W}$La continuidad uniforme es equivalente a la continuidad. Este hecho se utiliza frecuentemente de forma implícita en el análisis funcional para extender una aplicación lineal a partir de un subespacio denso de un espacio de Banach .

Así como el entorno más natural y general para la continuidad son los espacios topológicos , el entorno más natural y general para el estudio de la continuidad uniforme son los espacios uniformes . Una función${\displaystyle f:X\to Y}$entre espacios uniformes se denomina uniformemente continuo si para cada entorno${\displaystyle V}$en${\displaystyle Y}$existe un séquito${\displaystyle U}$en${\displaystyle X}$de tal manera que para cada${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$en${\displaystyle U}$tenemos${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))}$en${\displaystyle V}$.

En este contexto, también es cierto que las aplicaciones uniformemente continuas transforman las secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy.

Cada espacio compacto de Hausdorff posee exactamente una estructura uniforme compatible con la topología. Una consecuencia es una generalización del teorema de Heine-Cantor: toda función continua de un espacio compacto de Hausdorff a un espacio uniforme es uniformemente continua.

• Mapeo de contracción : función que reduce la distancia entre todos los puntos. 
• Convergencia uniforme : modo de convergencia de una secuencia de funciones. 
• Isomorfismo uniforme – Homeomorfismo uniformemente continuo 

• Bourbaki, Nicolás (1989). Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ] . Saltador. ISBN 0-387-19374-X.El capítulo II es una referencia exhaustiva sobre espacios uniformes.
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