Matriz tridiagonal

El determinante de una matriz tridiagonal A de orden n se puede calcular a partir de una relación de recurrencia de tres términos . ^{[ 4 ]} Escribimos f ₁  =  | a ₁ |  = a ₁ (es decir, f ₁ es el determinante de la matriz de 1 por 1 que consta solo de a ₁ ), y sea 

${\displaystyle f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}.}$

La secuencia ( f _i ) se llama continuante y satisface la relación de recurrencia.

${\displaystyle f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}}$

con valores iniciales f ₀  =  1 y f ₋₁  =  0. El costo de calcular el determinante de una matriz tridiagonal usando esta fórmula es lineal en n , mientras que el costo es cúbico para una matriz general.

La inversa de una matriz tridiagonal no singular T

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}}$

es dado por

${\displaystyle (T^{-1})_{ij}={\begin{cases}(-1)^{i+j}b_{i}\cdots b_{j-1}\theta _{i-1}\phi _{j+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i<j\\\theta _{i-1}\phi _{j+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i=j\\(-1)^{i+j}c_{j}\cdots c_{i-1}\theta _{j-1}\phi _{i+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i>j\\\end{cases}}}$

donde los θ _i satisfacen la relación de recurrencia

${\displaystyle \theta _{i}=a_{i}\theta _{i-1}-b_{i-1}c_{i-1}\theta _{i-2}\qquad i=2,3,\ldots ,n}$

con condiciones iniciales θ ₀  =  1, θ ₁  = a ₁ y el ϕ _i satisface 

${\displaystyle \phi _{i}=a_{i}\phi _{i+1}-b_{i}c_{i}\phi _{i+2}\qquad i=n-1,\ldots ,1}$

con condiciones iniciales ϕ _{n +1}  =  1 y ϕ _n  = a _n . ^{[ 5 ] [ 6 ]} 

Se pueden calcular soluciones en forma cerrada para casos especiales como matrices simétricas con todos los elementos diagonales y no diagonales iguales ^{[ 7 ]} o matrices de Toeplitz ^{[ 8 ]} y también para el caso general. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

En general, la inversa de una matriz tridiagonal es una matriz semiseparable y viceversa. ^{[ 11 ]} La inversa de una matriz tridiagonal simétrica se puede escribir como una matriz de un solo par (también conocida como matriz semiseparable representable por generador ) de la forma ^{[ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}&-\beta _{1}\\-\beta _{1}&\alpha _{2}&-\beta _{2}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &-\beta _{n-1}\\&&&-\beta _{n-1}&\alpha _{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{n}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1}b_{n}&a_{2}b_{n}&\cdots &a_{n}b_{n}\end{pmatrix}}=\left(a_{\min(i,j)}b_{\max(i,j)}\right)}$

dónde${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle a_{i}={\frac {\beta _{i}\cdots \beta _{n-1}}{\delta _{i}\cdots \delta _{n}\,b_{n}}}\\\displaystyle b_{i}={\frac {\beta _{1}\cdots \beta _{i-1}}{d_{1}\cdots d_{i}}}\end{cases}}}$ con${\displaystyle {\begin{cases}d_{n}=\alpha _{n},\quad d_{i-1}=\alpha _{i-1}-{\frac {\beta _{i-1}^{2}}{d_{i}}},&i=n,n-1,\cdots ,2,\\\delta _{1}=\alpha _{1},\quad \delta _{i+1}=\alpha _{i+1}-{\frac {\beta _{i}^{2}}{\delta _{i}}},&i=1,2,\cdots ,n-1.\end{cases}}}$

Un sistema de ecuaciones Ax  = b para  ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$se puede resolver mediante una forma eficiente de eliminación gaussiana cuando A es tridiagonal llamada algoritmo de matriz tridiagonal , que requiere O ( n ) operaciones. ^{[ 14 ]}

Cuando una matriz tridiagonal también es Toeplitz , existe una solución simple en forma cerrada para sus valores propios, a saber: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle a-2{\sqrt {bc}}\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right),\qquad k=1,\ldots ,n.}$

Una matriz tridiagonal simétrica real tiene valores propios reales, y todos los valores propios son distintos (simples) si todos los elementos fuera de la diagonal son distintos de cero. ^{[ 17 ]} Existen numerosos métodos para el cálculo numérico de los valores propios de una matriz tridiagonal simétrica real con precisión finita arbitraria, que normalmente requieren${\displaystyle O(n^{2})}$operaciones para una matriz de tamaño${\displaystyle n\times n}$, aunque existen algoritmos rápidos que (sin computación paralela) requieren solo${\displaystyle O(n\log n)}$. ^{[ 18 ]}

Como nota al margen, una matriz tridiagonal simétrica no reducida es una matriz que contiene elementos no nulos fuera de la diagonal de la tridiagonal, donde los valores propios son distintos mientras que los vectores propios son únicos salvo un factor de escala y son mutuamente ortogonales. ^{[ 19 ]}

Para matrices tridiagonales asimétricas o no simétricas, se puede calcular la descomposición en valores propios utilizando una transformación de similitud. Dada una matriz tridiagonal real no simétrica

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}}$

dónde${\displaystyle b_{i}\neq c_{i}}$Supongamos que cada producto de entradas fuera de la diagonal es estrictamente positivo .${\displaystyle b_{i}c_{i}>0}$y definir una matriz de transformación${\displaystyle D}$por ^{[ 20 ]}

${\displaystyle D:=\operatorname {diag} (\delta _{1},\dots ,\delta _{n})\quad {\text{for}}\quad \delta _{i}:={\begin{cases}1&,\,i=1\\{\sqrt {\frac {c_{i-1}\dots c_{1}}{b_{i-1}\dots b_{1}}}}&,\,i=2,\dots ,n\,.\end{cases}}}$

La transformación de similitud${\displaystyle D^{-1}TD}$produce una matriz tridiagonal simétrica${\displaystyle J}$por: ^{[ 21 ] [ 20 ]}

${\displaystyle J:=D^{-1}TD={\begin{pmatrix}a_{1}&\operatorname {sgn} b_{1}\,{\sqrt {b_{1}c_{1}}}\\\operatorname {sgn} b_{1}\,{\sqrt {b_{1}c_{1}}}&a_{2}&\operatorname {sgn} b_{2}\,{\sqrt {b_{2}c_{2}}}\\&\operatorname {sgn} b_{2}\,{\sqrt {b_{2}c_{2}}}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &\operatorname {sgn} b_{n-1}\,{\sqrt {b_{n-1}c_{n-1}}}\\&&&\operatorname {sgn} b_{n-1}\,{\sqrt {b_{n-1}c_{n-1}}}&a_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle T}$y${\displaystyle J}$tienen los mismos valores propios.