Traza (álgebra lineal)

La traza es una aplicación lineal . Es decir, ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}}$$ para todas las matrices cuadradas A y B , y todos los escalares c . ^{[ 3 ] : 34}

Una matriz y su transpuesta tienen la misma traza: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] : 34}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).}$$

Esto se deduce inmediatamente del hecho de que transponer una matriz cuadrada no afecta a los elementos situados en la diagonal principal.

La traza de una matriz cuadrada que es producto de dos matrices se puede reescribir como la suma de los productos elemento a elemento de sus componentes, es decir, como la suma de todos los elementos de su producto de Hadamard . Dicho directamente, si A y B son dos matrices m × n , entonces:$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$

Si se considera cualquier matriz real m × n como un vector de longitud mn (una operación llamada vectorización ), entonces la operación anterior sobre A y B coincide con el producto escalar estándar . Según la expresión anterior, tr( A ^⊤ A ) es una suma de cuadrados y, por lo tanto, es no negativo, igual a cero si y solo si A es cero. ^{[ 4 ] : ​​7} Además, como se observa en la fórmula anterior, tr( A ^⊤ B ) = tr( B ^⊤ A ) . Esto demuestra la positividad definida y la simetría requeridas para un producto interno ; es común llamar a tr( A ^⊤ B ) el producto interno de Frobenius de A y B. Este es un producto interno natural en el espacio vectorial de todas las matrices reales de dimensiones fijas. La norma derivada de este producto interno se llama norma de Frobenius y satisface una propiedad submultiplicativa, como se puede demostrar con la desigualdad de Cauchy-Schwarz : $${\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right),}$$ Si A y B son matrices reales tales que AB es una matriz cuadrada. El producto interno y la norma de Frobenius aparecen con frecuencia en el cálculo matricial y la estadística .

El producto interno de Frobenius puede extenderse a un producto interno hermitiano en el espacio vectorial complejo de todas las matrices complejas de un tamaño fijo, reemplazando B por su conjugado complejo .

La simetría del producto interno de Frobenius puede expresarse de forma más directa como sigue: las matrices en la traza de un producto pueden intercambiarse sin cambiar el resultado. Si A y B son matrices reales o complejas de m × n y n × m , respectivamente, entonces ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] : 34 [ nota 1 ]}

Esto es notable tanto por el hecho de que AB no suele ser igual a BA , como porque la traza de cualquiera de ellas no suele ser igual a tr( A )tr( B ) . ^{[ nota 2 ]} La invariancia de similitud de la traza, es decir, que tr( A ) = tr( P ⁻ 1AP ) para cualquier matriz cuadrada A y cualquier matriz invertible P de las mismas dimensiones, es una consecuencia fundamental. Esto se demuestra mediante $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$ La invariancia de similitud es la propiedad crucial de la traza para poder analizar las trazas de transformaciones lineales como se muestra a continuación.

Además, para vectores columna reales${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$, la traza del producto exterior es equivalente al producto interior:

De manera más general, la traza es invariante bajo desplazamientos circulares , es decir,

Esto se conoce como propiedad cíclica .

No se permiten permutaciones arbitrarias: en general, $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).}$$

Sin embargo, si se consideran productos de tres matrices simétricas , se permite cualquier permutación, ya que:$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),}$$ donde la primera igualdad se debe a que las trazas de una matriz y su transpuesta son iguales. Cabe señalar que esto no se cumple en general para más de tres factores.

La traza del producto de Kronecker de dos matrices es el producto de sus trazas: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).}$$

Las siguientes tres propiedades: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}}$$ caracterizar la traza hasta un múltiplo escalar; en otras palabras: Si${\displaystyle f}$es un funcional lineal en el espacio de matrices cuadradas que satisface${\displaystyle f(xy)=f(yx),}$entonces${\displaystyle f}$y${\displaystyle \operatorname {tr} }$son proporcionales. ^{[ nota 3 ]}

Para${\displaystyle n\times n}$matrices, imponiendo la normalización${\displaystyle f(\mathbf {I} )=n}$marcas${\displaystyle f}$igual a la traza.

Dada cualquier matriz A de n × n , existe

donde λ ₁ , ..., λ _n son los autovalores de A contados con multiplicidad algebraica. Esto se cumple incluso si A es una matriz real y algunos (o todos) los autovalores son números complejos, o más generalmente sobre cualquier cuerpo con autovalores tomados en una clausura algebraica . La identidad se deduce del hecho de que A siempre es similar a su forma de Jordan , una matriz triangular superior que tiene λ ₁ , ..., λ _n en la diagonal principal, junto con la invariancia de similitud de la traza discutida anteriormente. En contraste, el determinante de A es el producto de sus autovalores; es decir, $${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$$

Cuando A y B son matrices n × n , la traza del conmutador (en teoría de anillos) de A y B se anula: tr([ A , B ]) = 0 , porque tr( AB ) = tr( BA ) y tr es lineal. Esto se puede expresar como "la traza es una aplicación de álgebras de Lie gl _n → k de operadores a escalares", ya que el conmutador de escalares es trivial (es un álgebra de Lie abeliana ). En particular, utilizando la invariancia de similitud, se deduce que la matriz identidad nunca es similar al conmutador de ningún par de matrices.

Por el contrario, cualquier matriz cuadrada con traza cero es una combinación lineal de los conmutadores de pares de matrices. ^{[ nota 4 ]} Además, cualquier matriz cuadrada con traza cero es unitariamente equivalente a una matriz cuadrada cuya diagonal está formada por ceros.

The trace of an ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$ is the coefficient of ${\displaystyle t^{n-1}}$ in the characteristic polynomial, possibly changed of sign, according to the convention in the definition of the characteristic polynomial.

If a is a square matrix with small entries and I denotes the identity matrix, then we have approximately

$${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {a} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {a} ).}$$

Precisely this means that the trace is the derivative of the determinant function at the identity matrix. Jacobi's formula

$${\displaystyle d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}}$$

is more general and describes the differential of the determinant at an arbitrary square matrix, in terms of the trace and the adjugate of the matrix.

From this (or from the connection between the trace and the eigenvalues), one can derive a relation between the trace function, the matrix exponential function, and the determinant:$${\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).}$$

A related characterization of the trace applies to linear vector fields. Given a matrix A, define a vector field F on Rⁿ by F(x) = Ax. The components of this vector field are linear functions (given by the rows of A). Its divergencediv F is a constant function, whose value is equal to tr(A).

Según el teorema de la divergencia , esto se puede interpretar en términos de flujos: si F ( x ) representa la velocidad de un fluido en la ubicación x y U es una región en R ⁿ , el flujo neto del fluido que sale de U viene dado por tr( A ) · vol( U ) , donde vol( U ) es el volumen de U .

La traza es un operador lineal, por lo tanto conmuta con la derivada: $${\displaystyle d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).}$$

Dado un espacio vectorial V sobre el cuerpo F , existe una aplicación bilineal natural V × V ^∗ → F dada al enviar ( v , φ ) al escalar φ ( v ) . La propiedad universal del producto tensorial V ⊗ V ^∗ implica automáticamente que esta aplicación bilineal está inducida por un funcional lineal en V ⊗ V ^∗ . ^{[ 5 ]}

De manera similar, existe una aplicación bilineal natural V × V ^∗ → Hom( V , V ) dada al enviar ( v , φ ) a la aplicación lineal w ↦ φ ( w ) v . La propiedad universal del producto tensorial, tal como se usó anteriormente, dice que esta aplicación bilineal es inducida por una aplicación lineal V ⊗ V ^∗ → Hom( V , V ) . Si V es de dimensión finita, entonces esta aplicación lineal es un isomorfismo lineal . ^{[ 5 ]} Este hecho fundamental es una consecuencia directa de la existencia de una base (finita) de V , y también puede expresarse diciendo que cualquier aplicación lineal V → V puede escribirse como la suma de (un número finito de) aplicaciones lineales de rango uno. Componiendo la inversa del isomorfismo con el funcional lineal obtenido anteriormente resulta en un funcional lineal en Hom( V , V ) . Este funcional lineal es exactamente igual que la traza, proporcionando una definición en términos independientes de las coordenadas .

Utilizando la definición de traza como la suma de elementos diagonales, la fórmula matricial tr( AB ) = tr( BA ) es fácil de demostrar, y se dio anteriormente. Desde esta perspectiva, se consideran aplicaciones lineales S y T , y se las ve como sumas de aplicaciones de rango uno, de modo que existen funcionales lineales φ _i y ψ _j y vectores no nulos v _i y w _j tales que S ( u ) = Σ φ _i ( u ) v _i y T ( u ) = Σ ψ _j ( u ) w _j para cualquier u en V . Entonces

${\displaystyle (S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}}$

para cualquier u en V . La aplicación lineal de rango uno u ↦ ψ _j ( u ) φ _i ( w _j ) v _i tiene traza ψ _j ( v _i ) φ _i ( w _j ) y por lo tanto

${\displaystyle \operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).}$

Siguiendo el mismo procedimiento con S y T invertidos, se encuentra exactamente la misma fórmula, lo que demuestra que tr( S ∘ T ) es igual a tr( T ∘ S ) .

La demostración anterior puede considerarse basada en productos tensoriales, dado que la identidad fundamental de End( V ) con V ⊗ V ^* es equivalente a la expresividad de cualquier aplicación lineal como suma de aplicaciones lineales de rango uno. Por lo tanto, la demostración puede escribirse en la notación de productos tensoriales. Entonces se puede considerar la aplicación multilineal V × V ^* × V × V ^* → V ⊗ V ^* dada al enviar ( v , φ , w , ψ ) a φ ( w ) v ⊗ ψ . La composición posterior con la aplicación traza resulta entonces en φ ( w ) ψ ( v ) , y esto no cambia si se hubiera comenzado con ( w , ψ , v , φ ) en su lugar. También se puede considerar la aplicación bilineal End( V ) × End( V ) → End( V ) dada al enviar ( f , g ) a la composición f ∘ g , que luego es inducida por una aplicación lineal End( V ) ⊗ End( V ) → End( V ) . Se puede ver que esto coincide con la aplicación lineal V ⊗ V ^∗ ⊗ V ⊗ V ^∗ → V ⊗ V ^∗ . La simetría establecida al componer con la aplicación traza establece entonces la igualdad de las dos trazas. ^{[ 5 ]}

Para cualquier espacio vectorial de dimensión finita V , existe una aplicación lineal natural F → V ⊗ V ' ; en el lenguaje de las aplicaciones lineales, asigna a un escalar c la aplicación lineal c ⋅id _V . A veces esto se llama aplicación de coevaluación , y la traza V ⊗ V ' → F se llama aplicación de evaluación . ^{[ 5 ]} Estas estructuras pueden axiomatizarse para definir trazas categóricas en el contexto abstracto de la teoría de categorías . En particular, las trazas pueden definirse para endomorfismos de un módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo, véase Producto tensorial de módulos §  Traza .

La traza se puede estimar sin sesgo mediante el "truco de Hutchinson": ^{[ 6 ]}

Dada cualquier matriz${\displaystyle {\boldsymbol {W}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$y cualquier aleatorio${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{n}}$con${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {u}}^{\intercal }]=\mathbf {I} }$, tenemos${\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {u}}^{\intercal }{\boldsymbol {W}}{\boldsymbol {u}}]=\operatorname {tr} {\boldsymbol {W}}}$.

Para una demostración, expanda la expectativa directamente.

Por lo general, el vector aleatorio se muestrea a partir de${\displaystyle \operatorname {N} (\mathbf {0} ,\mathbf {I} )}$(distribución normal) o${\displaystyle \{\pm n^{-1/2}\}^{n}}$( Distribución de Rademacher ).

Se han desarrollado estimadores estocásticos más sofisticados de la traza. ^{[ 7 ]}

La forma bilineal (donde X e Y son matrices cuadradas) $${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))}$$

dónde${\displaystyle \operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} }$

y para orientación, si${\displaystyle \operatorname {det} \mathbf {Y} \neq 0}$

entonces${\displaystyle \operatorname {ad} (\mathbf {X} )=\mathbf {X} -\mathbf {Y} \mathbf {X} \mathbf {Y} ^{-1}~.}$

${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$Se denomina forma de Killing ; se utiliza para clasificar las álgebras de Lie .

La traza define una forma bilineal: $${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )~.}$$

La forma es simétrica, no degenerada ^{[ nota 5 ]} y asociativa en el sentido de que: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).}$$

Para un álgebra de Lie simple compleja (como${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$_n ), cada una de esas formas bilineales es proporcional a las demás; en particular, a la forma de Killing.

Se dice que dos matrices X e Y son ortogonales a la traza si $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.}$$

Existe una generalización a una representación general.${\displaystyle (\rho ,{\mathfrak {g}},V)}$de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, de tal manera que${\displaystyle \rho }$es un homomorfismo de álgebras de Lie${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{Fin}}(V).} La forma traza${\displaystyle {\text{tr}}_{V}}$en${\displaystyle {\text{End}}(V)}$se define como se indicó anteriormente. La forma bilineal $${\displaystyle \phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))}$$ es simétrico e invariante debido a la ciclicidad.