subespacio complementado

En la rama de las matemáticas llamada análisis funcional , un subespacio complementado de un espacio vectorial topológico $X,$ es un subespacio vectorial $M$ para el cual existe algún otro subespacio vectorial $N$ de $X,$ llamado su complemento ( topológico ) en $X$ , de tal manera que $X$ es la suma directa $M\oplus N$ en la categoría de espacios vectoriales topológicos . Formalmente, las sumas directas topológicas refuerzan la suma directa algebraica al requerir que ciertas aplicaciones sean continuas; el resultado conserva muchas propiedades interesantes de la operación de suma directa en espacios vectoriales de dimensión finita.

Todo subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach es complementado, pero otros subespacios pueden no serlo. En general, clasificar todos los subespacios complementados es un problema difícil, que solo se ha resuelto para algunos espacios de Banach bien conocidos .

El concepto de subespacio complementado es análogo, pero distinto, al de complemento de un conjunto . El complemento conjuntista de un subespacio vectorial nunca es un subespacio complementario.

Preliminares: definiciones y notación

Si $X$ es un espacio vectorial y $M$ y $N$ son subespacios vectoriales de $X$ entonces hay un mapa de adición bien definido ${\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}$ El mapa $S$ es un morfismo en la categoría de espacios vectoriales , es decir, lineal .

Suma directa algebraica

El espacio vectorial $X$ Se dice que es la suma directa algebraica (o suma directa en la categoría de espacios vectoriales). $M\oplus N$ cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

El mapa de adición $S:M\times N\to X$ es un isomorfismo de espacios vectoriales . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}
La aplicación de adición es biyectiva.
$M\cap N=\{0\}$ y $M+N=X$ ; en este caso $N$ se denomina complemento algebraico o suplemento a $M$ en $X$ y se dice que los dos subespacios son complementarios o suplementarios . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Cuando se cumplen estas condiciones, ocurre lo contrario. $S^{-1}:X\to M\times N$ está bien definido y puede escribirse en términos de coordenadas como $S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right){\text{.}}$ La primera coordenada $P_{M}:X\to M$ se denomina proyección canónica de $X$ sobre $M$ ; asimismo, la segunda coordenada es la proyección canónica sobre $N.$ ^{[ 4 ]}

De forma equivalente, $P_{M}(x)$ y $P_{N}(x)$ son los vectores únicos en $M$ y $N,$ respectivamente, que satisfacen $x=P_{M}(x)+P_{N}(x){\text{.}}$ Como mapas, $P_{M}+P_{N}=\operatorname {Id} _{X},\qquad \ker P_{M}=N,\qquad {\text{ and }}\qquad \ker P_{N}=M$ dónde $\operatorname {Id} _{X}$ denota el mapa identidad en $X$ . ^{[ 2 ]}

Motivación

Supongamos que el espacio vectorial $X$ es la suma directa algebraica de $M\oplus N$ . En la categoría de espacios vectoriales, los productos finitos y los coproductos coinciden: algebraicamente, $M\oplus N$ y $M\times N$ son indistinguibles. Dado un problema que involucra elementos de $X$ , uno puede descomponer los elementos en sus componentes en $M$ y $N$ , porque los mapas de proyección definidos anteriormente actúan como inversos a la inclusión natural de $M$ y $N$ en $X$ . Entonces se puede resolver el problema en los subespacios vectoriales y recombinarlos para formar un elemento de $X$ .

En la categoría de espacios vectoriales topológicos , esa descomposición algebraica resulta menos útil. La definición de un espacio vectorial topológico requiere la adición de mapas $S$ ser continuo; su inverso $S^{-1}:X\to M\times N$ Puede que no lo sea. ^{[ 1 ]} Sin embargo, la definición categórica de una suma directa requiere $P_{M}$ y $P_{N}$ ser morfismos , es decir, aplicaciones lineales continuas .

El espacio $X$ es la suma directa topológica de $M$ y $N$ si (y solo si) se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

El mapa de adición $S:M\times N\to X$ es un isomorfismo TVS (es decir, un homeomorfismo lineal sobreyectivo ). ^[¹^]
$X$ $X$ es la suma directa algebraica de $M$ $M$ y $N$ $N$ y también cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
1. La inversa del mapa de suma $S^{-1}:X\to M\times N$ es continuo.
2. Ambas proyecciones canónicas $P_{M}:X\to M$ y $P_{N}:X\to N$ son continuos.
3. Al menos una de las proyecciones canónicas $P_{M}$ y $P_{N}$ es continuo.
4. El mapa de cocientes canónicos $p:N\to X/M;p(n)=n+M$ es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (es decir, un homeomorfismo lineal). ^{[ 2 ]}
$X$ es la suma directa de $M$ y $N$ en la categoría de espacios vectoriales topológicos.
El mapa $S$ es biyectivo y abierto .
Cuando se consideran como grupos topológicos aditivos , $X$ es la suma directa topológica de los subgrupos $M$ y $N.$

La suma directa topológica también se escribe $X=M\oplus N$ ; el sentido topológico o algebraico de la suma suele aclararse mediante el contexto .

Definición

Toda suma directa topológica es una suma directa algebraica. $X=M\oplus N$ ; lo contrario no está garantizado. Incluso si ambos $M$ y $N$ están cerrados en $X$ , $S^{-1}$ aún así puede que no sea continuo. $N$ es un complemento o suplemento (topológico) a $M$ si evita esa patología , es decir, si, topológicamente, $X=M\oplus N$ . (Entonces $M$ es igualmente complementario a $N$ .) ^{[ 1 ]} La condición 2(d) anterior implica que cualquier complemento topológico de $M$ es isomorfo, como espacio vectorial topológico, al espacio vectorial cociente. $X/M$ .

$M$ Se denomina complementado si tiene un complemento topológico. $N$ (y sin complementos si no). La elección de $N$ puede importar bastante: cada subespacio vectorial complementado $M$ tiene complementos algebraicos que no se complementan $M$ topológicamente.

Dado que una aplicación lineal entre dos espacios normados (o de Banach ) es acotada si y solo si es continua , la definición en las categorías de espacios normados (o de Banach ) es la misma que en los espacios vectoriales topológicos.

Caracterizaciones equivalentes

El subespacio vectorial $M$ se complementa en $X$ si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ^{[ 1 ]}

Existe un mapa lineal continuo $P_{M}:X\to X$ con imagen $P_{M}(X)=M$ de tal manera que $P\circ P=P$ . Eso es, $P_{M}$ es una proyección lineal continua sobre $M$ . (En ese caso, algebraicamente $X=M\oplus \ker {P}$ y es la continuidad de $P_{M}$ (Eso implica que se trata de un complemento).
Para cada televisor $Y,$ el mapa de restricciones $R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u|_{M}$ es sobreyectiva. ^{[ 5 ]}

Si además $X$ es Banach , entonces una condición equivalente es

$M$ está cerrado en $X$ , existe otro subespacio cerrado $N\subseteq X$ , y $S$ es un isomorfismo de la suma directa abstracta $M\oplus N$ a $X$ .

Ejemplos

Si $Y$ es una medida de espacio y $X\subseteq Y$ tiene una medida positiva, entonces $L^{p}(X)$ se complementa en $L^{p}(Y)$ .
$c_{0}$ , el espacio de secuencias que convergen a $0$ , se complementa en $c$ , el espacio de secuencias convergentes.
Por descomposición de Lebesgue , $L^{1}([0,1])$ se complementa en $\mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}$ .

Condiciones suficientes

Para cualesquiera dos espacios vectoriales topológicos $X$ y $Y$ , los subespacios $X\times \{0\}$ y $\{0\}\times Y$ son complementos topológicos en $X\times Y$ .

Cada complemento algebraico de ${\overline {\{0\}}}$ , el cierre de $0$ , también es un complemento topológico. Esto se debe a que ${\overline {\{0\}}}$ tiene la topología indiscreta , y por lo tanto la proyección algebraica es continua. ^{[ 6 ]}

Si $X=M\oplus N$ y $A:X\to Y$ es sobreyectiva, entonces $Y=AM\oplus AN$ . ^{[ 2 ]}

Dimensión finita

Suponer $X$ es Hausdorff y localmente convexa y $Y$ un subespacio vectorial topológico libre : para algún conjunto $I$ , tenemos $Y\cong \mathbb {K} ^{I}$ (como un televisor). Entonces $Y$ es un subespacio vectorial cerrado y complementado de $X$ . ^{[ prueba 1 ]} En particular, cualquier subespacio de dimensión finita de $X$ se complementa. ^{[ 7 ]}

En espacios vectoriales topológicos arbitrarios, un subespacio vectorial de dimensión finita $Y$ se complementa topológicamente si y solo si para cada no cero $y\in Y$ , existe un funcional lineal continuo en $X$ que separa $y$ de $0$ . ^{[ 1 ]} Para un ejemplo en el que esto falla, véase § Espacios de Fréchet .

Codimensión finita

No todos los subespacios vectoriales de dimensión co- finita de un TVS son cerrados, pero aquellos que lo son, sí tienen complementos. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

espacios de Hilbert

En un espacio de Hilbert , el complemento ortogonal $M^{\bot }$ de cualquier subespacio vectorial cerrado $M$ es siempre un complemento topológico de $M$ Esta propiedad caracteriza a los espacios de Hilbert dentro de la clase de espacios de Banach : todo espacio de Banach no Hilbert de dimensión infinita contiene un subespacio cerrado no complementado, un teorema profundo de Joram Lindenstrauss y Lior Tzafriri . ^{[ 9 ]}^{[ 3 ]}

Espacios Fréchet

Dejar $X$ ser un espacio Fréchet sobre el campo $\mathbb {K}$ . Entonces, los siguientes son equivalentes: ^{[ 10 ]}

$X$ no es normable (es decir, ninguna norma continua genera la topología)
$X$ contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo a $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$
$X$ contiene un subespacio vectorial complementado TVS-isomorfo a $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ .

Propiedades; ejemplos de subespacios no complementados

Un subespacio (vectorial) complementado de un espacio de Hausdorff $X$ es necesariamente un subconjunto cerrado de $X$ , como su complemento. ^{[ 1 ]}^{[ prueba 2 ]}

A partir de la existencia de bases de Hamel , todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene subespacios lineales no cerrados. ^{[ prueba 3 ]} Dado que cualquier subespacio complementado es cerrado, ninguno de esos subespacios está complementado.

Asimismo, si $X$ es un TVS completo y $X/M$ no está completo, entonces $M$ no tiene complemento topológico en $X.$ ^{[ 11 ]}

Aplicaciones

Si $A:X\to Y$ Si es una sobreyección lineal continua , entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

El núcleo de $A$ tiene un complemento topológico.
Existe una "inversa derecha": una aplicación lineal continua $B:Y\to X$ de tal manera que $AB=\mathrm {Id} _{Y}$ , dónde $\operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y$ es el mapa identidad. ^{[ 5 ]}

(Nota: Esta afirmación es un ejercicio erróneo dado por Trèves. Deje $X$ y $Y$ ambos ser $\mathbb {R}$ dónde $X$ está dotado de la topología habitual, pero $Y$ está dotado de la topología trivial. El mapa identidad $X\to Y$ es entonces una biyección lineal continua, pero su inversa no es continua, ya que $X$ tiene una topología más fina que $Y$ El núcleo $\{0\}$ tiene $X$ como complemento topológico, pero acabamos de demostrar que no puede existir una inversa derecha continua. Si $A:X\to Y$ Si también es abierto (y por lo tanto un homomorfismo TVS), entonces el resultado afirmado es válido.

El método de descomposición

Los espacios vectoriales topológicos admiten el siguiente teorema de tipo Cantor-Schröder-Bernstein :

Dejar

X

y

Y

sean TVS tales que

X=X\oplus X

y

Y=Y\oplus Y.

Supongamos que

Y

contiene una copia complementada de

X

y

X

contiene una copia complementada de

Y.

Entonces

X

es TVS-isomorfo a

Y.

Los supuestos de "autodivisión" que $X=X\oplus X$ y $Y=Y\oplus Y$ no se puede eliminar: Tim Gowers demostró en 1996 que existen espacios de Banach no isomorfos $X$ y $Y$ , complementándose cada uno en el otro. ^{[ 12 ]}

En los espacios clásicos de Banach

Comprender los subespacios complementados de un espacio de Banach arbitrario. $X$ La suma de isomorfismos es un problema clásico que ha motivado mucho trabajo en la teoría de bases, en particular el desarrollo de operadores de suma absoluta . El problema permanece abierto para una variedad de espacios de Banach importantes, sobre todo el espacio $L_{1}[0,1]$ . ^{[ 13 ]}

Para algunos espacios de Banach la cuestión está cerrada. El más famoso es que si $1\leq p\leq \infty$ entonces los únicos subespacios de dimensión infinita complementados de $\ell _{p}$ son isomorfos a $\ell _{p},$ y lo mismo ocurre con $c_{0}.$ Estos espacios se denominan primos (cuando sus únicos subespacios complementados de dimensión infinita son isomorfos al original). Sin embargo, estos no son los únicos espacios primos. ^{[ 13 ]}

Los espacios $L_{p}[0,1]$ no son primordiales siempre $p\in (1,2)\cup (2,\infty );$ De hecho, admiten una cantidad incontable de subespacios complementados no isomorfos. ^{[ 13 ]}

Los espacios $L_{2}[0,1]$ y $L_{\infty }[0,1]$ son isomorfos a $\ell _{2}$ y $\ell _{\infty },$ respectivamente, por lo que en efecto son primos. ^{[ 13 ]}

El espacio $L_{1}[0,1]$ no es primo, porque contiene una copia complementada de $\ell _{1}$ . No hay otros subespacios complementados de $L_{1}[0,1]$ son conocidos actualmente. ^{[ 13 ]}

Espacios de Banach indescomponibles

Un espacio de Banach de dimensión infinita se denomina indescomponible cuando sus únicos subespacios complementados son de dimensión finita o -codimensionales. Debido a que un subespacio de dimensión finita- codimensional de un espacio de Banach $X$ siempre es isomorfo a $X,$ Los espacios de Banach indescomponibles son primos.

El ejemplo más conocido de espacios indescomponibles son, de hecho, los espacios hereditariamente indescomponibles, lo que significa que todo subespacio de dimensión infinita también es indescomponible. ^{[ 14 ]}

Véase también

Suma directa : estructura algebraica formada a partir de una colección de estructuras algebraicas.
Suma directa de módulos : operación en álgebra abstracta
Suma directa de grupos topológicos

Pruebas

↑ $Y$ está cerrado porque $\mathbb {K} ^{I}$ está completo y $X$ es Hausdorff.
Dejar $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbb {K} ^{I}$ ser un isomorfismo TVS; cada $f_{i}:Y\to \mathbb {K}$ es un funcional lineal continuo. Por el teorema de Hahn-Banach , podemos extender cada $f_{i}$ a una función lineal continua $F_{i}:X\to \mathbb {K}$ en $X.$ El mapa conjunto $F:X\to \mathbb {K} ^{I}$ es una sobreyección lineal continua cuya restricción a $Y$ es $f$ . La composición $P=f^{-1}\circ F:X\to Y$ es entonces una proyección continua sobre $Y$ .
QED
↑ En un espacio Hausdorff, $\{0\}$ es cerrado. Un espacio complementado es el núcleo de la proyección (continua) sobre su complemento. Por lo tanto, es la preimagen de $\{0\}$ bajo un mapa continuo, y por lo tanto cerrado.
QED
↑ Cualquier secuencia $\{e_{j}\}_{j=0}^{\infty }\in X^{\omega }$ define un mapa de suma $T:l^{1}\to X;T(\{x_{j}\}_{j})=\sum _{j}{x_{j}e_{j}}$ . Pero si $\{e_{j}\}_{j}$ son (algebraicamente) linealmente independientes y $\{x_{j}\}_{j}$ cuenta con apoyo total, entonces $T(x)\in {\overline {\operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}}\setminus \operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}$ .
QED

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 Grothendieck 1973 , págs. 34–36.
1 2 3 4 5 Fabián, Marián J.; Habala, Petr; Hájek, Petr; Montesinos Santalucía, Vicente; Zizler, Václav (2011). Teoría del espacio de Banach: la base del análisis lineal y no lineal (PDF) . Nueva York: Springer. págs. 179-181 . doi : 10.1007/978-1-4419-7515-7 . ISBN 978-1-4419-7515-7.
1 2 Brezis, Haim (2011). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales . Universitext. Nueva York: Springer. págs. 38–39 . ISBN 978-0-387-70913-0.
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Bibliografía

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[7] $Y$ está cerrado porque $\mathbb {K} ^{I}$ está completo y $X$ es Hausdorff.
Dejar $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbb {K} ^{I}$ ser un isomorfismo TVS; cada $f_{i}:Y\to \mathbb {K}$ es un funcional lineal continuo. Por el teorema de Hahn-Banach , podemos extender cada $f_{i}$ a una función lineal continua $F_{i}:X\to \mathbb {K}$ en $X.$ El mapa conjunto $F:X\to \mathbb {K} ^{I}$ es una sobreyección lineal continua cuya restricción a $Y$ es $f$ . La composición $P=f^{-1}\circ F:X\to Y$ es entonces una proyección continua sobre $Y$ .
QED

[CompSubspaceOfHausdorffSTVSisClosed-12] En un espacio Hausdorff, $\{0\}$ es cerrado. Un espacio complementado es el núcleo de la proyección (continua) sobre su complemento. Por lo tanto, es la preimagen de $\{0\}$ bajo un mapa continuo, y por lo tanto cerrado.
QED

[13] Cualquier secuencia $\{e_{j}\}_{j=0}^{\infty }\in X^{\omega }$ define un mapa de suma $T:l^{1}\to X;T(\{x_{j}\}_{j})=\sum _{j}{x_{j}e_{j}}$ . Pero si $\{e_{j}\}_{j}$ son (algebraicamente) linealmente independientes y $\{x_{j}\}_{j}$ cuenta con apoyo total, entonces $T(x)\in {\overline {\operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}}\setminus \operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}$ .
QED

[FOOTNOTEGrothendieck197334–36-1] 1 2 3 4 5 6 7 Grothendieck 1973 , págs. 34–36.

[FabianRevised-2] 1 2 3 4 5 Fabián, Marián J.; Habala, Petr; Hájek, Petr; Montesinos Santalucía, Vicente; Zizler, Václav (2011). Teoría del espacio de Banach: la base del análisis lineal y no lineal (PDF) . Nueva York: Springer. págs. 179-181 . doi : 10.1007/978-1-4419-7515-7 . ISBN 978-1-4419-7515-7.

[:0-3] 1 2 Brezis, Haim (2011). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales . Universitext. Nueva York: Springer. págs. 38–39 . ISBN 978-0-387-70913-0.

[FOOTNOTESchaeferWolff199919–24-4] Schaefer y Wolff 1999 , págs. 19–24.

[FOOTNOTETrèves200636-5] 1 2 Trèves 2006 , pág. 36.

[FOOTNOTEWilansky201363-6] Wilansky 2013 , pág. 63.

[FOOTNOTERudin1991106-8] 1 2 Rudin 1991 , pág. 106.

[9] Serre, Jean-Pierre (1955). "Un teorema de dualidad". Comentarios Mathematici Helvetici . 29 (1): 9– 26. doi : 10.1007/BF02564268 . S2CID 123643759 .

[10] Lindenstrauss, J., & Tzafriri, L. (1971). Sobre el problema de los subespacios complementados. Israel Journal of Mathematics, 9, 263-269.

[FOOTNOTEJarchow1981129–130-11] Jarchow 1981 , págs. 129–130.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999190–202-14] Schaefer y Wolff 1999 , págs. 190–202.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011100–101-15] Narici y Beckenstein 2011 , págs. 100–101.

[:1-16] 1 2 3 4 5 Albiac, Fernando; Kalton, Nigel J. (2006). Temas en la teoría de espacios de Banach . GTM 233 (2.ª ed.). Suiza: Springer (publicado en 2016). pp. 29–232 . doi : 10.1007/978-3-319-31557-7 . ISBN 978-3-319-31557-7.

[17] Argyros, Spiros; Tolias, Andreas (2004). Métodos en la teoría de espacios de Banach hereditariamente indescomponibles . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3521-0.

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