Suma directa de grupos topológicos

En matemáticas , un grupo topológico${\displaystyle G}$se denomina suma directa topológica ^{[ 1 ]} de dos subgrupos${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$si el mapa $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}}$$ es un isomorfismo topológico, lo que significa que es un homeomorfismo y un isomorfismo de grupos .

En términos más generales,${\displaystyle G}$se denomina suma directa de un conjunto finito de subgrupos${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$del mapa $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}}$$ es un isomorfismo topológico.

Si un grupo topológico${\displaystyle G}$es la suma directa topológica de la familia de subgrupos${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$entonces en particular, como grupo abstracto (sin topología) es también la suma directa (de la manera habitual) de la familia${\displaystyle H_{i}.}$

Dado un grupo topológico${\displaystyle G,}$decimos que un subgrupo${\displaystyle H}$es un sumando directo topológico de${\displaystyle G}$(o que se divide topológicamente de${\displaystyle G}$) si y solo si existe otro subgrupo${\displaystyle K\leq G}$de tal manera que${\displaystyle G}$es la suma directa de los subgrupos${\displaystyle H}$y${\displaystyle K.}$

Un subgrupo${\displaystyle H}$es un sumando directo topológico si y solo si la extensión de grupos topológicos$${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0}$$ divisiones, donde${\displaystyle i}$es la inclusión natural y${\displaystyle \pi }$es la proyección natural.

Supongamos que${\displaystyle G}$es un grupo abeliano localmente compacto que contiene el círculo unitario.${\displaystyle \mathbb {T} }$como subgrupo. Entonces${\displaystyle \mathbb {T} }$es un sumando directo topológico de${\displaystyle G.}$La misma afirmación es cierta para los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$. ^{[ 2 ]}

• Subespacio complementado : concepto en análisis funcional 
• Suma directa : estructura algebraica formada a partir de una colección de estructuras algebraicas. 
• Suma directa de módulos : operación en álgebra abstracta