Cuartilla

En estadística , los cuartiles son un tipo de cuantiles que dividen el número de puntos de datos en cuatro partes, o cuartos , de tamaño más o menos igual. Para calcular los cuartiles, los datos deben estar ordenados de menor a mayor; por lo tanto, los cuartiles son una forma de estadística de orden . Los tres cuartiles, que dan como resultado cuatro divisiones de datos, son los siguientes:

El primer cuartil ( Q1 ) se define como el percentil ₂₅ , donde el 25% de los datos más bajos se encuentran por debajo de este punto. También se conoce como el cuartil inferior .
El segundo cuartil ( Q2 ) es la mediana de un conjunto de datos ; por lo tanto _, el 50% de los datos se encuentra por debajo de este punto.
El tercer cuartil ( Q3 ) es el percentil ₇₅ , donde el 75% más bajo de los datos se encuentra por debajo de este punto. También se conoce como el cuartil superior . ^{[ 2 ]}

Junto con el mínimo y el máximo de los datos (que también son cuartiles), los tres cuartiles descritos anteriormente proporcionan un resumen de cinco números de los datos. Este resumen es importante en estadística porque proporciona información tanto sobre el centro como sobre la dispersión de los datos. Conocer el cuartil inferior y el superior proporciona información sobre la magnitud de la dispersión y si el conjunto de datos está sesgado hacia un lado. Dado que los cuartiles dividen el número de puntos de datos de manera uniforme, el rango generalmente no es el mismo entre cuartiles adyacentes (es decir, normalmente ( Q3 - Q2) ≠ (Q2 - Q1 ) ) _. El rango _intercuartil ( RIC ) se define como la diferencia entre los percentiles ₇₅ y 25, o _Q3- Q1 . _{Si bien el máximo y}_el mínimo también muestran la dispersión de los datos, los cuartiles superior e inferior pueden proporcionar información más detallada sobre la ubicación de puntos de datos específicos, la presencia de valores atípicos en los datos y la diferencia en la dispersión entre el 50% central de los datos y los puntos de datos externos. ^[³^]

Definiciones

Métodos de cálculo

Distribuciones discretas

Para distribuciones discretas, no existe un acuerdo universal sobre la selección de los valores de los cuartiles. ^{[ 4 ]}

Método 1

Utilice la mediana para dividir el conjunto de datos ordenados en dos mitades. La mediana se convierte en el segundo cuartil.
- Si el conjunto de datos ordenado original contiene un número impar de puntos de datos, no incluya la mediana (el valor central de la lista ordenada) en ninguna de las dos mitades.
- Si el conjunto de datos ordenado original tiene un número par de puntos de datos, divida este conjunto de datos exactamente por la mitad.
El valor del cuartil inferior es la mediana de la mitad inferior de los datos. El valor del cuartil superior es la mediana de la mitad superior de los datos.

Esta regla la utilizan las funciones de diagrama de caja y "Estadísticas de 1 variable" de la calculadora TI-83 .

Método 2

Utilice la mediana para dividir el conjunto de datos ordenados en dos mitades. La mediana se convierte en el segundo cuartil.
- Si el conjunto de datos ordenado original contiene un número impar de puntos de datos, incluya la mediana (el valor central de la lista ordenada) en ambas mitades.
- Si el conjunto de datos ordenado original tiene un número par de puntos de datos, divida este conjunto de datos exactamente por la mitad.
El valor del cuartil inferior es la mediana de la mitad inferior de los datos. El valor del cuartil superior es la mediana de la mitad superior de los datos.

Los valores encontrados por este método también se conocen como " bisagras de Tukey "; ^{[ 5 ]} véase también midhinge .

Método 3

Utilice la mediana para dividir el conjunto de datos ordenados en dos mitades. La mediana se convierte en el segundo cuartil.
- Si hay un número impar de puntos de datos, pase al siguiente paso.
- Si el número de puntos de datos es par, el Método 3 comienza igual que el Método 1 o el Método 2 descritos anteriormente, y puede optar por incluir o no la mediana como un nuevo punto de datos. Si decide incluir la mediana como nuevo punto de datos, continúe con el paso 2 o 3 que se describe a continuación, ya que ahora tiene un número impar de puntos de datos. Si no elige la mediana como nuevo punto de datos, continúe con el Método 1 o 2 desde donde comenzó.
Si hay (4 n +1) puntos de datos, entonces el cuartil inferior es el 25% del n- ésimo valor de datos más el 75% del ( n +1)-ésimo valor de datos; el cuartil superior es el 75% del (3 n +1)-ésimo punto de datos más el 25% del (3 n +2)-ésimo punto de datos.
Si hay (4 n +3) puntos de datos, entonces el cuartil inferior es el 75% del valor de datos ( n +1) más el 25% del valor de datos ( n +2); el cuartil superior es el 25% del punto de datos (3 n +2) más el 75% del punto de datos (3 n +3).

Método 4

Si tenemos un conjunto de datos ordenado $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ , entonces podemos interpolar entre los puntos de datos para encontrar el $p$ cuantil empírico si $x_{i}$ está en el $i/(n+1)$ cuantil. Si denotamos la parte entera de un número $a$ por $\lfloor a\rfloor$ , entonces la función cuantil empírica viene dada por:

$q(p/4)=x_{k}+\alpha (x_{k+1}-x_{k})$ ,

$x_{k}$ es el último punto de datos en el cuartil p , y $x_{k+1}$ es el primer punto de datos en el cuartil p +1.

$\alpha$ medidas donde el cuartil cae entre $x_{k}$ y $x_{k+1}$ . Si $\alpha$ = 0 entonces el cuartil cae exactamente en $x_{k}$ . Si $\alpha$ = 0,5 entonces el cuartil cae exactamente a la mitad entre $x_{k}$ y $x_{k+1}$ .

$q(p/4)=x_{k}+\alpha (x_{k+1}-x_{k})$ ,

dónde $k=\lfloor p(n+1)/4\rfloor$ y $\alpha =p(n+1)/4-\lfloor p(n+1)/4\rfloor$ . ^{[ 2 ]}

Para encontrar el primer, segundo y tercer cuartil del conjunto de datos evaluaríamos $q(0.25)$ , $q(0.5)$ , y $q(0.75)$ respectivamente.

Otra forma de explicar este método es que estamos encontrando un rango dentro de los datos, que luego se puede usar para determinar el valor del primer, segundo o tercer cuartil. El rango para el $p$ El cuartil se calcula utilizando

rango $=p/4*(n+1)$ .

El $p$ El cuartil es el valor en el conjunto de datos (cuando se ordena de menor a mayor) cuya posición es igual al número de rango. Por ejemplo, un rango de 1 significa el $p$ El cuartil es el valor más pequeño en el conjunto de datos. Si el rango no es un número entero, interpole entre los puntos de datos. Por lo tanto, un rango de 1.5 significa que $p$ El cuartil es el valor que se encuentra a medio camino entre el primer y el segundo punto de datos.

Ejemplo 1

Conjunto de datos ordenados (de un número impar de puntos de datos): 6, 7, 15, 36, 39, 40 , 41, 42, 43, 47, 49.

El número en negrita (40) es la mediana que divide el conjunto de datos en dos mitades con igual número de puntos de datos.

Ejemplo 2

Conjunto de datos ordenado (de un número par de puntos de datos): 7, 15, 36, 39 , 40, 41.

Los números en negrita (36, 39) se utilizan para calcular la mediana como su promedio. Dado que hay un número par de puntos de datos, los tres primeros métodos dan los mismos resultados. (El Método 3 se ejecuta de forma que la mediana no se selecciona como un nuevo punto de datos y se inicia el Método 1).

Distribuciones de probabilidad continuas

Cuartiles en una función de distribución acumulativa de una distribución normal

Si definimos una distribución de probabilidad continua como $P(X)$ dónde $X$ es una variable aleatoria de valor real , su función de distribución acumulativa (FDA) viene dada por

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$ . ^{[ 2 ]}

La función de distribución acumulada (CDF) proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ es menor o igual que el valor $x$ Por lo tanto, el primer cuartil es el valor de $x$ cuando $F_{X}(x)=0.25$ , el segundo cuartil es $x$ cuando $F_{X}(x)=0.5$ y el tercer cuartil es $x$ cuando $F_{X}(x)=0.75$ . ^{[ 6 ]} Los valores de $x$ se puede encontrar con la función cuantil $Q(p)$ dónde $p=0.25$ para el primer cuartil, $p=0.5$ para el segundo cuartil, y $p=0.75$ para el tercer cuartil. La función cuantil es la inversa de la función de distribución acumulativa si esta última es monótonamente creciente, ya que se cumple la correspondencia biunívoca entre la entrada y la salida de la función de distribución acumulativa.

Valores atípicos

Existen métodos para comprobar los valores atípicos en la disciplina de la estadística y el análisis estadístico. Los valores atípicos podrían ser el resultado de un cambio en la ubicación (media) o en la escala (variabilidad) del proceso de interés. ^{[ 7 ]} Los valores atípicos también podrían ser evidencia de una población de muestra que tiene una distribución no normal o de un conjunto de datos de población contaminado. En consecuencia, como es la idea básica de la estadística descriptiva , cuando encontramos un valor atípico , tenemos que explicar este valor mediante un análisis más profundo de la causa u origen del valor atípico. En casos de observaciones extremas, que no son una ocurrencia infrecuente, se deben analizar los valores típicos. El rango intercuartil (RIC), definido como la diferencia entre el cuartil superior e inferior ( ${\textstyle Q_{3}-Q_{1}}$ El rango intercuartil puede utilizarse para caracterizar los datos cuando existen valores extremos que los sesgan; es una estadística relativamente robusta (también llamada a veces "resistencia") en comparación con el rango y la desviación estándar . También existe un método matemático para detectar valores atípicos y determinar límites superiores e inferiores para su detección.

Después de determinar el primer (inferior) y el tercer (superior) cuartil ( ${\textstyle Q_{1}}$ y ${\textstyle Q_{3}}$ respectivamente) y el rango intercuartil ( ${\textstyle {\textrm {IQR}}=Q_{3}-Q_{1}}$ ) como se describió anteriormente, entonces las cercas se calculan utilizando la siguiente fórmula:

{\text{Valla inferior}}=Q_{1}-(1.5\times \mathrm {IQR} )

{\text{Valla superior}}=Q_{3}+(1.5\times \mathrm {IQR} )

El límite inferior y el límite superior representan el límite superior de los datos, y cualquier dato que se encuentre fuera de estos límites definidos puede considerarse un valor atípico. Los límites proporcionan una guía para definir un valor atípico , que puede definirse de otras maneras. Los límites definen un rango fuera del cual existe un valor atípico; una forma de visualizar esto es mediante el límite de un límite. Es común que los límites inferior y superior, junto con los valores atípicos, se representen mediante un diagrama de caja . En el diagrama de caja que se muestra a la derecha, solo las alturas verticales corresponden al conjunto de datos visualizado, mientras que el ancho horizontal de la caja es irrelevante. Los valores atípicos ubicados fuera de los límites en un diagrama de caja pueden marcarse con cualquier símbolo, como una "x" o una "o". A veces, los límites también se denominan "bigotes", mientras que la representación gráfica completa se llama diagrama de caja y bigotes.

Al identificar un valor atípico en el conjunto de datos mediante el cálculo de los rangos intercuartilos y las características del diagrama de caja, podría interpretarse erróneamente como evidencia de que la población no es normal o que la muestra está contaminada. Sin embargo, este método no debe sustituir una prueba de hipótesis para determinar la normalidad de la población. La significancia de los valores atípicos varía según el tamaño de la muestra. Si la muestra es pequeña, es más probable obtener rangos intercuartilos anormalmente pequeños, lo que resulta en límites más estrechos. Por lo tanto, sería más probable encontrar datos marcados como valores atípicos. ^{[ 8 ]}

Software informático para cuartiles

Sobresalir

La función de Excel CUARTIL.INC(matriz, cuartil) proporciona el valor del cuartil deseado para una matriz de datos dada, utilizando el Método 3 descrito anteriormente. La función CUARTIL es una función heredada de Excel 2007 o anterior, que proporciona el mismo resultado que la función CUARTIL.INC . En la función, matriz es el conjunto de datos numéricos que se está analizando y cuartil es cualquiera de los siguientes 5 valores, dependiendo del cuartil que se esté calculando. ^{[ 9 ]}

MATLAB

Para calcular los cuartiles en Matlab , se puede utilizar la función quantile ( A , p ). Donde A es el vector de datos que se analiza y p es el porcentaje que se relaciona con los cuartiles, como se indica a continuación. ^{[ 10 ]}

Véase también

Referencias

↑ "Salarios medios checos - 4.º trimestre de 2024" . kurzy.cz .
1 2 3 Dekking, Michel (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender el porqué y el cómo . Londres: Springer. pp. 236-238 . ISBN 978-1-85233-896-1OCLC 262680588
↑ Knoch, Jessica (23 de febrero de 2018). "¿Cómo se utilizan los cuartiles en estadística?" . Magoosh . Archivado del original el 10 de diciembre de 2019. Recuperado el 24 de febrero de 2023 .
↑ Hyndman, Rob J ; Fan, Yanan (noviembre de 1996). "Cuantiles de muestra en paquetes estadísticos" . American Statistician . 50 (4): 361–365 . doi : 10.2307/2684934 . JSTOR 2684934 .
↑ Tukey, John Wilder (1977). Análisis exploratorio de datos . Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-07616-5.
↑ "6. Distribución y funciones cuantiles" (PDF) . math.bme.hu .
↑ Walfish, Steven (noviembre de 2006). "Una revisión del método estadístico de valores atípicos" . Tecnología farmacéutica .
↑ Dawson, Robert (1 de julio de 2011). "¿Qué tan significativo es un valor atípico en un diagrama de caja?" . Journal of Statistics Education . 19 (2). doi : 10.1080/10691898.2011.11889610 .
↑ "Cómo usar la función CUARTIL de Excel | Exceljet" . exceljet.net . Consultado el 11 de diciembre de 2019 .
↑ "Cuantiles de un conjunto de datos – MATLAB quantile" . www.mathworks.com . Archivado del original el 3 de agosto de 2021. Consultado el 11 de diciembre de 2019 .

Enlaces externos

Cuartil – de MathWorld Incluye referencias y compara varios métodos para calcular cuartiles
Cuartiles archivados el 6 de septiembre de 2015 en Wayback Machine – De MathForum.org
Cuartiles : un ejemplo de cómo calcularlos

[1] "Salarios medios checos - 4.º trimestre de 2024" . kurzy.cz .

[:0-2] 1 2 3 Dekking, Michel (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender el porqué y el cómo . Londres: Springer. pp. 236-238 . ISBN 978-1-85233-896-1OCLC 262680588

[3] Knoch, Jessica (23 de febrero de 2018). "¿Cómo se utilizan los cuartiles en estadística?" . Magoosh . Archivado del original el 10 de diciembre de 2019. Recuperado el 24 de febrero de 2023 .

[4] Hyndman, Rob J ; Fan, Yanan (noviembre de 1996). "Cuantiles de muestra en paquetes estadísticos" . American Statistician . 50 (4): 361–365 . doi : 10.2307/2684934 . JSTOR 2684934 .

[5] Tukey, John Wilder (1977). Análisis exploratorio de datos . Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-07616-5.

[6] "6. Distribución y funciones cuantiles" (PDF) . math.bme.hu .

[7] Walfish, Steven (noviembre de 2006). "Una revisión del método estadístico de valores atípicos" . Tecnología farmacéutica .

[8] Dawson, Robert (1 de julio de 2011). "¿Qué tan significativo es un valor atípico en un diagrama de caja?" . Journal of Statistics Education . 19 (2). doi : 10.1080/10691898.2011.11889610 .

[9] "Cómo usar la función CUARTIL de Excel | Exceljet" . exceljet.net . Consultado el 11 de diciembre de 2019 .

[10] "Cuantiles de un conjunto de datos – MATLAB quantile" . www.mathworks.com . Archivado del original el 3 de agosto de 2021. Consultado el 11 de diciembre de 2019 .

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