Disfenoides

Los disfenoides tetragonal y digonal pueden ubicarse dentro de un cuboide que biseca dos caras opuestas. Ambos tienen cuatro aristas iguales que los rodean. El digonal tiene dos pares de caras triangulares isósceles congruentes , mientras que el tetragonal tiene cuatro caras triangulares isósceles congruentes.

Un disfenoides rómbico tiene caras triangulares escalenas congruentes y puede encajar diagonalmente dentro de un cuboide . Posee tres conjuntos de longitudes de arista, que existen como pares opuestos.

En geometría , un disfenoides ( del griego sphenoeides , ' en forma de cuña ' ) es un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos agudos congruentes . ^{[ 1 ]} También se puede describir como un tetraedro en el que cada par de aristas opuestas tienen la misma longitud. Otros nombres para la misma figura son isotetraedro , ^{[ 2 ]} esfenoides , ^{[ 3 ]} bisfenoides , ^{[ 3 ]} tetraedro isósceles , ^{[ 4 ]} tetraedro equifacial , ^{[ 5 ]} tetraedro casi regular , ^{[ 6 ]} y tetramonoedro . ^{[ 7 ]} 

Todos los ángulos sólidos y las figuras de los vértices de un disfenoides son iguales, y la suma de los ángulos de las caras en cada vértice es igual a dos ángulos rectos . Sin embargo, un disfenoides no es un poliedro regular , ya que, en general, sus caras no son polígonos regulares y sus aristas tienen tres longitudes diferentes.

Si las caras de un disfenoides son triángulos equiláteros , es un tetraedro regular con${\displaystyle T_{d}}$simetría tetraédrica , aunque normalmente no se le llama disfenoides. Cuando las caras de un disfenoides son triángulos isósceles , se le llama disfenoides tetragonal . En este caso tiene${\displaystyle D_{2d}}$simetría diedral . Un esfenoides con triángulos escalenos como caras se llama disfenoides rómbico y tiene${\displaystyle D_{2}}$Simetría diedral. A diferencia del disfenoides tetragonal, el disfenoides rómbico no tiene simetría de reflexión , por lo que es quiral . ^{[ 8 ]} Tanto los disfenoides tetragonales como los rómbicos son isoedros : además de ser congruentes entre sí, todas sus caras son simétricas entre sí.

No es posible construir un disfenoides con caras de triángulos rectángulos o obtusos . ^{[ 4 ]} Cuando se pegan triángulos rectángulos siguiendo el patrón de un disfenoides, forman una figura plana (un rectángulo doblemente cubierto) que no encierra ningún volumen. ^{[ 8 ]} Cuando se pegan triángulos obtusos de esta manera, la superficie resultante se puede plegar para formar un disfenoides (según el teorema de unicidad de Alexandrov ), pero con caras de triángulos agudos y con aristas que, en general, no coinciden con las aristas de los triángulos obtusos dados.

Otros dos tipos de tetraedros generalizan el disfenoides y tienen nombres similares. El disfenoides digonal tiene caras con dos formas distintas, ambas triángulos isósceles, con dos caras de cada forma. De manera similar, el disfenoides filiforme tiene caras con dos formas de triángulos escalenos.

Los disfenoides también pueden verse como antiprismas digonales o como prismas cuadriláteros alternados .

Un tetraedro es un disfenoides si y solo si su paralelepípedo circunscrito es de ángulo recto. ^{[ 9 ]}

También tenemos que un tetraedro es un disfenoides si y solo si el centro en la esfera circunscrita y la esfera inscrita coinciden. ^{[ 10 ]}

Otra caracterización establece que si${\displaystyle d_{1}}$,${\displaystyle d_{2}}$y${\displaystyle d_{3}}$son las perpendiculares comunes de${\displaystyle AB}$y${\displaystyle CD}$;${\displaystyle AC}$y${\displaystyle BD}$; y${\displaystyle AD}$y${\displaystyle BC}$respectivamente en un tetraedro${\displaystyle ABCD}$, entonces el tetraedro es un disfenoides si y solo si${\displaystyle d_{1}}$,${\displaystyle d_{2}}$y${\displaystyle d_{3}}$son perpendiculares por pares . ^{[ 9 ]}

Los disfenoides son los únicos poliedros que poseen infinitas geodésicas cerradas que no se autointersecan . En un disfenoides, todas las geodésicas cerradas no se autointersecan. ^{[ 11 ]}

Los disfenoides son los tetraedros en los que las cuatro caras tienen el mismo perímetro , ^{[ 10 ]} los tetraedros en los que las cuatro caras tienen la misma área, ^{[ 10 ] [ 12 ]} y los tetraedros en los que los defectos angulares de los cuatro vértices son iguales${\displaystyle \pi }$Son poliedros cuya red tiene forma de triángulo agudo, dividido en cuatro triángulos semejantes por segmentos que conectan los puntos medios de sus aristas. ^{[ 6 ]}

El volumen de un disfenoides con bordes opuestos de longitud${\displaystyle l}$,${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$está dado por ^{[ 13 ]}

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.}$

La esfera circunscrita tiene radio ^{[ 13 ]} (el radio circunscrito)

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}},}$

y la esfera inscrita tiene radio ^{[ 13 ]}

${\displaystyle r={\frac {3V}{4T}},}$

dónde${\displaystyle V}$es el volumen del disfenoides y${\displaystyle T}$es el área de cualquier cara, que viene dada por la fórmula de Herón . También existe la siguiente relación interesante que conecta el volumen y el radio de la circunferencia circunscrita: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.}$

Los cuadrados de las longitudes de las bimedianas son ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).}$

Si las cuatro caras de un tetraedro tienen el mismo perímetro, entonces el tetraedro es un disfenoides. ^{[ 10 ]}

Si las cuatro caras de un tetraedro tienen la misma área, entonces es un disfenoides. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Los centros en las esferas circunscrita e inscrita coinciden con el centroide del disfenoides. ^{[ 13 ]}

Las bimedianas son perpendiculares a las aristas que conectan y entre sí. ^{[ 13 ]}

Algunos disfenoides tetragonales formarán panales . El disfenoides cuyos cuatro vértices son${\displaystyle (-1,0,0)}$,${\displaystyle (1,0,0)}$,${\displaystyle (0,1,1)}$, y${\displaystyle (0,1,-1)}$es tal disfenoides. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Cada una de sus cuatro caras es un triángulo isósceles con lados de longitudes${\displaystyle {\sqrt {3}}}$,${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, y${\displaystyle 2}$. Puede teselar el espacio para formar el panal tetraédrico disfenoidal . Como describe Gibb (1990) , se puede plegar sin cortar ni superponer a partir de una sola hoja de papel A4 . ^{[ 16 ]}

"Disfenoideo" también se utiliza para describir dos formas de cristal :

• Una forma cristalina en forma de cuña del sistema tetragonal u ortorrómbico . Posee cuatro caras triangulares idénticas que corresponden en posición a caras alternas de la bipirámide tetragonal u ortorrómbica . Es simétrica respecto a cada uno de los tres ejes de simetría diádicos mutuamente perpendiculares en todas las clases, excepto en la tetragonal-disfenoidal, en la que la forma se genera mediante un eje de simetría tetraádico inverso.
• Una forma cristalina delimitada por ocho triángulos escalenos dispuestos en pares, que constituyen un escalenoedro tetragonal .

Seis disfenoides tetragonales unidos extremo con extremo en un anillo construyen un caleidociclo , un juguete de papel que puede girar sobre 4 conjuntos de caras en un hexágono. La rotación de los seis disfenoides con bordes opuestos de longitud${\displaystyle l}$,${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$( sin pérdida de generalidad)${\displaystyle n\leq l}$,${\displaystyle n\leq m}$) es físicamente realizable si y solo si ^{[ 17 ]}

${\displaystyle -8(l^{2}-m^{2})^{2}(l^{2}+m^{2})-5n^{6}+11(l^{2}-m^{2})^{2}n^{2}+2(l^{2}+m^{2})n^{4}\geq 0.}$

• tetraedros irregulares
• tetraedro ortocéntrico
• Disfenoides truncado : un sólido de Johnson con 12 caras triangulares equiláteras y${\displaystyle D_{2d}}$simetría.
• tetraedro trirectangular

• Análisis matemático del disfenoides por HC Rajpoot de Academia.edu
• Weisstein, Eric W. , "Disfenoid" , MathWorld
• Weisstein, Eric W. , "Tetraedro isósceles" , MathWorld