álgebra tensorial

La coálgebra se obtiene definiendo un operador de coproducto o diagonal.

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

Aquí,${\displaystyle TV}$se utiliza como una abreviatura de${\displaystyle T(V)}$para evitar una explosión de paréntesis. El${\displaystyle \boxtimes }$El símbolo se utiliza para denotar el producto tensorial "externo", necesario para la definición de una coálgebra. Se utiliza para distinguirlo del producto tensorial "interno".${\displaystyle \otimes }$, que ya se utiliza para denotar la multiplicación en el álgebra tensorial (véase la sección Multiplicación , más abajo, para mayor claridad sobre este tema). Para evitar confusiones entre estos dos símbolos, la mayoría de los textos sustituirán${\displaystyle \otimes }$mediante un simple punto, o incluso omitirlo por completo, entendiendo que se deduce del contexto. Esto permite entonces la${\displaystyle \otimes }$símbolo que se utilizará en lugar del${\displaystyle \boxtimes }$símbolo. Esto no se muestra a continuación, y los dos símbolos se utilizan de forma independiente y explícita para indicar la ubicación correcta de cada uno. El resultado es un poco más extenso, pero debería ser más fácil de comprender.

La definición del operador${\displaystyle \Delta }$Se construye más fácilmente por etapas, primero definiéndolo para los elementos.${\displaystyle v\in V\subset TV}$y luego extendiéndolo homomórficamente a toda el álgebra. Una elección adecuada para el coproducto es entonces

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

y

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

dónde${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$es la unidad del campo${\displaystyle K}$Por linealidad, obviamente se tiene

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

a pesar de${\displaystyle k\in K.}$Es sencillo verificar que esta definición satisface los axiomas de una coálgebra: es decir, que

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

dónde${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$es el mapa de identidad en${\displaystyle TV}$De hecho, uno se encuentra.

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

y lo mismo para la otra parte. En este punto, se podría invocar un lema y decir que${\displaystyle \Delta }$se extiende trivialmente, por linealidad, a todo${\displaystyle TV}$, porque${\displaystyle TV}$es un objeto libre y${\displaystyle V}$es un generador del álgebra libre, y${\displaystyle \Delta }$es un homomorfismo. Sin embargo, es útil proporcionar expresiones explícitas. Por lo tanto, para${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$, uno tiene (por definición) el homomorfismo

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

Al expandirse, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

En la expansión anterior, no hay necesidad de escribir nunca${\displaystyle 1\otimes v}$ya que esto es simplemente una multiplicación escalar común y corriente en el álgebra; es decir, se tiene trivialmente que${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

La extensión anterior conserva la graduación algebraica. Es decir,

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _ {k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

Siguiendo este procedimiento, se puede obtener una expresión explícita para el coproducto que actúa sobre un elemento homogéneo de orden m :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,mp)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

donde el${\displaystyle \omega }$El símbolo, que debería aparecer como ш, el sha, denota el producto de barajado . Esto se expresa en la segunda sumatoria, que se toma sobre todos los ( p , m − p )-barajados . El barajado es

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma$ :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ es biyectiva}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{y }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}}

Por convención, se asume que Sh( m, 0) y Sh(0, m ) son iguales a {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }}. También es conveniente tomar los productos tensoriales puros. ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$y${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$ igual a 1 para p = 0 y p = m , respectivamente (el producto vacío en${\displaystyle TV}$). La mezcla se deriva directamente del primer axioma de una coálgebra: el orden relativo de los elementos${\displaystyle v_{k}}$se conserva en el riffle shuffle: el riffle shuffle simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha.

De forma equivalente,

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

donde se encuentran los productos${\displaystyle TV}$y donde la suma se realiza sobre todos los subconjuntos de${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.

Como antes, se conserva la calificación algebraica:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

La counidad${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$viene dada por la proyección del componente del campo fuera del álgebra. Esto se puede escribir como${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$para${\displaystyle v\in V}$y${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$para${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$. Por homomorfismo bajo el producto tensorial${\displaystyle \otimes }$, esto se extiende a

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

a pesar de${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$ Es sencillo verificar que esta counidad satisface el axioma necesario para la coálgebra:

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

Al trabajar esto explícitamente, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

donde, para el último paso, se ha hecho uso del isomorfismo${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$, como corresponde al axioma definitorio de la counidad.

La multiplicación viene dada por un operador.

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

que, en este caso, ya se había dado como el producto tensorial "interno". Es decir,

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

Eso es,${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$Lo anterior debería dejar claro por qué el${\displaystyle \boxtimes }$Se debe utilizar el símbolo: el${\displaystyle \otimes }$en realidad era una y la misma cosa que${\displaystyle \nabla }$; y la negligencia en la notación aquí conduciría a un caos total. Para reforzar esto: el producto tensorial${\displaystyle \otimes }$del álgebra tensorial corresponde a la multiplicación${\displaystyle \nabla }$utilizado en la definición de un álgebra, mientras que el producto tensorial${\displaystyle \boxtimes }$es la que se requiere en la definición de comultiplicación en una coálgebra. ¡Estos dos productos tensoriales no son lo mismo!

La unidad para el álgebra

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

es solo la incrustación, de modo que

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

Que la unidad sea compatible con el producto tensorial${\displaystyle \otimes }$es "trivial": es simplemente parte de la definición estándar del producto tensorial de espacios vectoriales. Es decir,${\displaystyle k\otimes x=kx}$para el elemento de campo k y cualquier${\displaystyle x\in TV.}$ De forma más detallada, los axiomas de un álgebra asociativa requieren los dos homomorfismos (o diagramas conmutativos):

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

en${\displaystyle K\boxtimes TV}$y que simétricamente, en${\displaystyle TV\boxtimes K}$, eso

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

donde el lado derecho de estas ecuaciones debe entenderse como el producto escalar.

La unidad y la counidad, así como la multiplicación y la comultiplicación, deben satisfacer condiciones de compatibilidad. Es fácil ver que

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

De igual modo, la unidad es compatible con la comultiplicación:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

Lo anterior requiere el uso del isomorfismo.${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$para que funcione; sin esto, se pierde la linealidad. En cuanto a los componentes,

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

con el lado derecho haciendo uso del isomorfismo.

La multiplicación y la counidad son compatibles:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

siempre que x o y no sean elementos de${\displaystyle K}$y, en caso contrario, se tiene una multiplicación escalar en el campo:${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$ Lo más difícil de verificar es la compatibilidad entre la multiplicación y la comultiplicación:

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

dónde${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$intercambia elementos. La condición de compatibilidad solo necesita verificarse en${\displaystyle V\subset TV}$; la compatibilidad total se deduce como una extensión homomórfica a todo${\displaystyle TV.}$La verificación es extensa pero directa; no se incluye aquí, excepto el resultado final:

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

Para${\displaystyle v,w\in V,}$En la sección de coálgebra anterior se dio una expresión explícita para esto.

La compatibilidad del antípoda con la multiplicación y la comultiplicación requiere que

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

Esto es fácil de verificar componente por componente en${\displaystyle k\in K}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

De manera similar, en${\displaystyle v\in V}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

Recuerda que

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

y eso

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

para cualquier${\displaystyle x\in TV}$eso no está en${\displaystyle K.}$

Se puede proceder de manera similar, por homomorfismo, verificando que el antípoda inserta los signos cancelativos apropiados en la mezcla, comenzando con la condición de compatibilidad en${\displaystyle T^{2}V}$y procediendo por inducción.