Espacio vectorial trenzado

En matemáticas , un espacio vectorial trenzado es un espacio vectorial junto con un mapa de estructura adicional que simboliza el intercambio de dos copias de tensor vectorial : ${\estilo de visualización \;V}$${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle \tau :\;V\o veces V\longrightarrow V\o veces V}$

de modo que se cumpla la ecuación de Yang-Baxter . Por lo tanto, al dibujar diagramas tensoriales con un sobrecruzamiento, el morfismo compuesto correspondiente no cambia cuando se aplica un movimiento de Reidemeister al diagrama tensorial y, por lo tanto, presentan una representación del grupo trenzado . ${\estilo de visualización \tau}$

Como primer ejemplo, cada espacio vectorial se trenza mediante el trenzado trivial (simplemente invirtiéndolo) ^{[ se necesita aclaración ]} . Un superespacio tiene un trenzado con signo negativo al trenzar dos vectores impares . De manera más general, un trenzado diagonal significa que para una base tenemos ${\estilo de visualización V}$$Estilo de visualización x_{i}}$

${\displaystyle \tau (x_{i}\otimes x_{j})=q_{ij}(x_{j}\otimes x_{i})}$

Una buena fuente de espacios vectoriales trenzados, categorías monoidales trenzadas completas con trenzados entre cualquier objeto , principalmente los módulos sobre álgebras de Hopf cuasitriangulosas y módulos de Yetter-Drinfeld sobre grupos finitos (como el anterior) ${\displaystyle \tau_{V,W}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$

Si además posee una estructura algebraica dentro de la categoría trenzada ("álgebra trenzada") se tiene un conmutador trenzado (por ejemplo para un superespacio el anticonmutador ): ${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle \;[x,y]_{\tau }:=\mu ((x\otimes y)-\tau (x\otimes y))\qquad \mu (x\otimes y):=xy}$

Ejemplos de tales álgebras trenzadas (e incluso álgebras de Hopf ) son las álgebras de Nichols , que por definición se generan a partir de un espacio vectorial trenzado dado. Aparecen como parte de Borel cuántica de los grupos cuánticos y a menudo (por ejemplo, cuando son finitas o sobre un grupo abeliano) poseen un sistema de raíces aritméticas , múltiples diagramas de Dynkin y una base PBW formada por conmutadores trenzados como los de las álgebras de Lie semisimples .

^[1]