Álgebra de Hopf cuasitriangular

En matemáticas , un álgebra de Hopf , H , es cuasitriangular ^{[ 1 ]} si existe un elemento invertible , R , de${\displaystyle H\otimes H}$de tal manera que

• ${\displaystyle R\ \Delta (x)R^{-1}=(T\circ \Delta )(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in H}$, dónde${\displaystyle \Delta }$es el coproducto en H y el mapeo lineal${\displaystyle T:H\otimes H\to H\otimes H}$es dado por${\displaystyle T(x\otimes y)=y\otimes x}$,

• ${\displaystyle (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}\ R_{23}}$,

• ${\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}}$,

dónde${\ Displaystyle R_ {12} = \ phi _ {12} (R)}$,${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$, y${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$, dónde${\displaystyle \phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$,${\displaystyle \phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$, y${\displaystyle \phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$, son morfismos de álgebra determinados por

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

R se denomina matriz R.

Como consecuencia de las propiedades de la cuasitriangularidad, la matriz R, R , es una solución de la ecuación de Yang-Baxter (y por lo tanto, un módulo V de H puede usarse para determinar cuasi-invariantes de trenzas , nudos y enlaces ). También como consecuencia de las propiedades de la cuasitriangularidad,${\displaystyle (\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H}$; además ${\displaystyle R^{-1}=(S\otimes 1)(R)}$,${\displaystyle R=(1\otimes S)(R^{-1})}$, y${\displaystyle (S\otimes S)(R)=R}$. Además, se puede demostrar que el antípoda S debe ser un isomorfismo lineal, y por lo tanto S ² es un automorfismo . De hecho, S ² se obtiene conjugando por un elemento invertible:${\displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}$dónde${\displaystyle u:=m((S\otimes 1)\circ T)R}$(cf. Álgebras de Hopf de cinta ).

Es posible construir un álgebra de Hopf cuasitriangular a partir de un álgebra de Hopf y su dual, utilizando la construcción cuántica doble de Drinfeld .

Si el álgebra de Hopf H es cuasitriangular, entonces la categoría de módulos sobre H está trenzada con trenzado

${\displaystyle c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)}$.

La propiedad de ser un álgebra de Hopf cuasi-triangular se conserva mediante torsión a través de un elemento invertible.${\displaystyle F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}}$de tal manera que${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}$y satisfaciendo la condición del cociclo

${\displaystyle (F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)}$

Además,${\displaystyle u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})}$es invertible y el antípoda retorcido viene dado por${\displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}$, con la comultiplicación retorcida, la matriz R y el cambio de counidad según los definidos para el álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf . Dicha torsión se conoce como torsión admisible (o de Drinfeld).

• Álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf
• Álgebra de Hopf de cinta

• Montgomery, Susan (1993). Álgebras de Hopf y sus acciones en anillos . Serie de conferencias regionales en matemáticas. Vol.  82. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029 . 
• Montgomery, Susan ; Schneider, Hans-Jürgen (2002). Nuevas direcciones en las álgebras de Hopf . Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas. Vol.  43. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81512-3. Zbl 0990.00022 .