Red temporal

Los caminos que respetan el tiempo son secuencias de enlaces que se pueden recorrer en una red variable en el tiempo bajo la restricción de que el siguiente enlace a recorrer se active en algún momento después del actual. Al igual que en un grafo dirigido , un camino desde${\displaystyle i}$a${\displaystyle j}$no significa que haya un camino desde${\displaystyle j}$a${\displaystyle i}$. Sin embargo, a diferencia de las rutas en redes estáticas y evolutivas, las rutas que respetan el tiempo también son no transitivas . Es decir, solo porque haya una ruta desde${\displaystyle i}$a${\displaystyle j}$y de${\displaystyle j}$a${\displaystyle k}$no significa que haya un camino desde${\displaystyle i}$a${\displaystyle k}$. Además, las trayectorias que respetan el tiempo son en sí mismas variables en el tiempo y solo son trayectorias válidas durante un intervalo de tiempo específico. ^{[ 11 ]}

Si bien es análoga a la conectividad en redes estáticas, la alcanzabilidad es una propiedad que varía con el tiempo y que se define mejor para cada nodo de la red. El conjunto de influencia de un nodo${\displaystyle i}$es el conjunto de todos los nodos a los que se puede llegar desde${\displaystyle i}$a través de rutas que respetan el tiempo, tenga en cuenta que depende de la hora de inicio.${\displaystyle t}$. El conjunto de origen de un nodo${\displaystyle i}$es el conjunto de todos los nodos que pueden alcanzar${\displaystyle i}$a través de rutas que respetan el tiempo dentro de un intervalo de tiempo determinado. La relación de alcanzabilidad se puede definir como el promedio sobre todos los nodos.${\displaystyle i}$de la fracción de nodos dentro del conjunto de influencia de${\displaystyle i}$. ^{[ 12 ]}

La conectividad de una red completa no está definida de forma tan concluyente, aunque se han propuesto algunas definiciones. Un componente puede definirse como fuertemente conectado si existe una ruta que respeta el tiempo y que conecta todos los nodos del componente en ambas direcciones. Un componente puede definirse como débilmente conectado si existe una ruta que respeta el tiempo y que conecta todos los nodos del componente en ambas direcciones. ^{[ 13 ]} Asimismo, un componente puede definirse como transitivamente conectado si la transitividad se cumple para el subconjunto de nodos de dicho componente.

La fidelidad causal cuantifica la bondad de la aproximación estática de una red temporal. Dicha aproximación estática se genera agregando las aristas de una red temporal a lo largo del tiempo. La idea de la fidelidad causal es comparar el número de caminos entre todos los pares de nodos en la red temporal.${\displaystyle P_{temp}}$(es decir, todos los caminos respetando el tiempo) con el número de caminos${\displaystyle P_{stat}}$entre todos los nodos en la aproximación estática de la red. ^{[ 14 ]} La fidelidad causal se define entonces por

${\displaystyle c={\frac {P_{temp}}{P_{stat}}}}$.

Desde que en${\displaystyle P_{temp}}$Solo se consideran los caminos que respetan el tiempo,${\displaystyle P_{temp}\leq P_{stat}}$y, en consecuencia,${\displaystyle 0\leq c\leq 1}$. Una alta fidelidad causal${\displaystyle c\approx 1}$significa que la red temporal considerada se aproxima bien a su contraparte estática (agregada). Si${\displaystyle c\ll 1}$, entonces la mayoría de los pares de nodos que son alcanzables en la representación estática no están conectados por rutas que respeten el tiempo en la red temporal.

También llamada distancia temporal , la latencia es el equivalente variable en el tiempo de la distancia . En una red variable en el tiempo, cualquier ruta que respete el tiempo tiene una duración , es decir, el tiempo que se tarda en seguir esa ruta. La ruta más rápida entre dos nodos es la latencia , tenga en cuenta que también depende del tiempo de inicio. La latencia desde el nodo${\displaystyle i}$al nodo${\displaystyle j}$comenzando en el tiempo${\displaystyle t}$se denota por${\displaystyle \lambda _{i,t}(j)}$.

La medición de la centralidad en redes variables en el tiempo implica un reemplazo directo de la distancia por la latencia . ^{[ 15 ]} Para discusiones sobre las medidas de centralidad en una red estática, consulte Centralidad .

• La centralidad de cercanía es grande para los nodos.${\displaystyle i}$que estén cerca de todos los demás nodos (es decir, tengan baja latencia)${\displaystyle \lambda _ {i}(j)}$a pesar de${\displaystyle j}$)

${\displaystyle C_{C}(i,t)={\frac {N-1}{\sum _{j\not =i}{\lambda _{i,t}(j)}}}}$

• La centralidad de intermediación es grande para los nodos que a menudo forman parte de las rutas de latencia más pequeñas entre otros pares de nodos. Se define como la relación del número de rutas de latencia más pequeñas desde${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$que pasan por${\displaystyle i}$al número total de rutas de latencia más pequeñas desde${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$

${\displaystyle C_{B}(i,t)={\frac {\sum _{i\not =j\not =k}{\nu _{i}(j,k)}}{\sum _{i\not =j\not =k}{\nu _{(}j,k)}}}}$

La naturaleza variable de la latencia, específicamente el hecho de que tiende a infinito para todos los pares de nodos a medida que se acerca el final del intervalo de red utilizado, hace útil una medida alternativa de proximidad. La eficiencia, en cambio, utiliza el recíproco de la latencia, por lo que tiende a cero en lugar de divergir. Valores más altos de eficiencia corresponden a nodos más centrales en la red.

${\displaystyle C_{E}(i,t)={\frac {1}{N-1}}\sum _{j\not =i}{\frac {1}{\lambda _{i,t}(j)}}}$

Las redes variables en el tiempo permiten analizar propiedades explícitas dependientes del tiempo. Es posible extraer patrones de contacto recurrentes y persistentes a partir de datos variables en el tiempo de diversas maneras. Esta es un área de investigación en curso.

• Los tiempos característicos del sistema se pueden encontrar buscando cambios distintivos en una variable, como la relación de accesibilidad . Por ejemplo, si se permite un tiempo de espera finito en todos los nodos al calcular la latencia, se pueden encontrar patrones interesantes en la relación de accesibilidad resultante. Para una red de llamadas móviles, se ha encontrado que la relación de accesibilidad aumenta drásticamente si se permiten retrasos de al menos dos días, y para la red de aerolíneas se ha encontrado el mismo efecto alrededor de los 30 minutos. ^{[ 16 ]} Además, la escala de tiempo característica de una red temporal viene dada por la moda de la distribución de las duraciones de la ruta más corta. Esta distribución se puede calcular utilizando la accesibilidad entre todos los pares de nodos en la red. ^{[ 14 ]}
• Los patrones persistentes son aquellos que se repiten con frecuencia en el sistema. Se pueden descubrir promediando diferentes${\displaystyle \Delta t}$a lo largo del intervalo de tiempo del sistema y buscando patrones que se repitan por encima de un umbral especificado. ^{[ 17 ]}
• Los motivos son patrones temporales específicos que ocurren con mayor frecuencia de lo esperado en un sistema. La red variable en el tiempo de publicaciones en el muro de Facebook, por ejemplo, tiene una mayor frecuencia de cadenas, estrellas e interacciones de ida y vuelta de lo que cabría esperar en una red aleatoria. ^{[ 18 ]}
• Los motivos temporales egocéntricos pueden utilizarse para explotar las redes egocéntricas temporales. Debido a su complejidad de primer orden, pueden calcularse en grafos grandes en un tiempo de ejecución razonable. Por ejemplo, Longa et al. ^{[ 19 ]} muestran cómo utilizar los motivos temporales egocéntricos para medir distancias entre redes de interacción cara a cara en diferentes contextos sociales.
• Detección de enlaces perdidos

El tiempo entre dos eventos consecutivos, para un nodo o enlace individual, se denomina tiempo entre eventos . Se ha observado que la distribución de los tiempos entre eventos de un número creciente de redes importantes, reales y variables en el tiempo presenta un comportamiento irregular , lo que significa que los tiempos entre eventos son muy heterogéneos: tienen una distribución de cola pesada . Esto se traduce en un patrón de activación donde la actividad se presenta en ráfagas separadas por períodos más largos de inactividad. ^{[ 20 ]}

La irregularidad en los intervalos entre eventos puede ralentizar drásticamente los procesos de propagación en las redes, ^{[ 21 ]} lo que tiene implicaciones para la propagación de enfermedades, información, ideas y virus informáticos. Sin embargo, la irregularidad también puede acelerar los procesos de propagación, y otras propiedades de la red también influyen en la velocidad de propagación. ^{[ 22 ]} Por lo tanto, las redes variables en el tiempo del mundo real pueden promover los procesos de propagación a pesar de tener una distribución irregular en los intervalos entre eventos. ^{[ 23 ]}

La ráfaga como cantidad empírica se puede calcular para cualquier secuencia de tiempos entre eventos,${\displaystyle \tau }$, comparando la secuencia con una generada por un proceso de Poisson . La razón de la desviación estándar ,${\displaystyle \sigma }$, a la media ,${\displaystyle m}$, de un proceso de Poisson es  1. Esta medida compara${\displaystyle \sigma _{\tau }/m_{\tau }\ }$a  1.

${\displaystyle B={\frac {\sigma _{\tau }/m_{\tau }\ -1}{\sigma _{\tau }/m_{\tau }\ +1}}}$

La ráfaga varía de −1 a  1. B  =  1 indica una secuencia con ráfagas máximas, B  =  0 indica una distribución de Poisson y B  =  −1 indica una secuencia periódica. ^{[ 24 ]}