Percolación dirigida

En física estadística , la percolación dirigida ( PD ) se refiere a una clase de modelos que simulan la filtración de fluidos a través de materiales porosos en una dirección determinada, debido al efecto de la gravedad . Al variar la conectividad microscópica de los poros, estos modelos muestran una transición de fase desde un estado macroscópicamente permeable (percolante) a uno impermeable (no percolante). La percolación dirigida también se utiliza como un modelo sencillo para la propagación de epidemias, con una transición entre la supervivencia y la extinción de la enfermedad en función de la tasa de infección.

En términos más generales, el término percolación dirigida representa una clase universal de transiciones de fase continuas que se caracterizan por el mismo tipo de comportamiento colectivo a gran escala. La percolación dirigida es probablemente la clase universal más simple de transiciones fuera del equilibrio térmico .

Una de las realizaciones más simples de DP es la percolación dirigida por enlaces . Este modelo es una variante dirigida de la percolación ordinaria (isotrópica) y se puede introducir de la siguiente manera. La figura muestra una red cuadrada inclinada con enlaces que conectan sitios vecinos. Los enlaces son permeables (abiertos) con probabilidad${\displaystyle p\,}$y, en caso contrario, impermeable (cerrado). Los sitios y enlaces pueden interpretarse como agujeros y canales distribuidos aleatoriamente en un medio poroso.

La diferencia entre la percolación ordinaria y la dirigida se ilustra a la derecha. En la percolación isotrópica, un agente dispersante (por ejemplo, agua) introducido en un sitio específico se propaga a lo largo de los enlaces abiertos, generando un cúmulo de sitios húmedos. Por el contrario, en la percolación dirigida, el agente dispersante solo puede atravesar los enlaces abiertos en una dirección preferida en el espacio, como indica la flecha. El cúmulo rojo resultante está dirigido en el espacio.

Al interpretar la dirección preferida como un grado de libertad temporal, la percolación dirigida puede considerarse un proceso estocástico que evoluciona en el tiempo. En un modelo mínimo de dos parámetros ^{[ 1 ]} que incluye la percolación dirigida de enlaces y sitios como casos especiales, una cadena unidimensional de sitios evoluciona en tiempo discreto.${\displaystyle t}$, que puede verse como una segunda dimensión, y todos los sitios se actualizan en paralelo. Activando un sitio determinado (llamado semilla inicial) en el momento${\displaystyle t=0}$El clúster resultante se puede construir fila por fila. El número correspondiente de sitios activos${\displaystyle N(t)}$Varía a medida que avanza el tiempo.

La clase de universalidad DP se caracteriza por un cierto conjunto de exponentes críticos . Estos exponentes dependen de la dimensión espacial.${\displaystyle d\,}$Por encima de la denominada dimensión crítica superior${\displaystyle d\geq d_{c}=4\,}$están dados por sus valores de campo medio mientras que en ${\displaystyle d<4\,}$Sus dimensiones se han estimado numéricamente. Las estimaciones actuales se resumen en la siguiente tabla:

En dos dimensiones, la percolación del agua a través de un tejido fino (como el papel higiénico ) tiene los mismos fundamentos matemáticos que el flujo de electricidad a través de redes aleatorias bidimensionales de resistencias . En química, la cromatografía puede entenderse con modelos similares.

La propagación de un desgarro en una hoja de papel, en una lámina de metal o incluso la formación de una grieta en cerámica guarda una amplia similitud matemática con el flujo de electricidad a través de una red aleatoria de fusibles . Por encima de un cierto punto crítico, el flujo eléctrico provocará que un fusible se funda, lo que podría desencadenar una cascada de fallos, similar a la propagación de una grieta. El estudio de la percolación ayuda a determinar cómo se redistribuirá el flujo eléctrico en la red de fusibles, modelando así qué fusibles tienen más probabilidades de fundirse a continuación, con qué rapidez lo harán y en qué dirección se curvará la grieta.

Se pueden encontrar ejemplos no solo en fenómenos físicos, sino también en biología, neurociencia, ecología (por ejemplo, la evolución ) y economía (por ejemplo, la difusión de la innovación ).

La percolación puede considerarse una rama del estudio de los sistemas dinámicos o de la mecánica estadística . En particular, las redes de percolación exhiben un cambio de fase alrededor de un umbral crítico .

A pesar del gran éxito de los estudios teóricos y numéricos de la DP, obtener evidencia experimental convincente ha resultado un desafío. En 1999, un experimento sobre arena que fluye en un plano inclinado se identificó como una realización física de la DP. ^{[ 3 ]} En 2007, finalmente se encontró el comportamiento crítico de la DP en la convección electrohidrodinámica de cristal líquido, donde se midió un conjunto completo de exponentes críticos estáticos y dinámicos y funciones de escala universales de la DP en la transición a la intermitencia espaciotemporal entre dos estados turbulentos. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Umbral de percolación
• Modelo de Ziff-Gulari-Barshad
• exponentes críticos de percolación