exponentes críticos de percolación

Los cúmulos de percolación se vuelven autosimilares precisamente en la densidad umbral.${\displaystyle p_{c}\,\!}$para escalas de longitud suficientemente grandes, lo que implica las siguientes leyes de potencia asintóticas:

La dimensión fractal${\displaystyle d_{\text{f}}\,\!}$relaciona cómo la masa del cúmulo infinito incipiente depende del radio u otra medida de longitud,${\displaystyle M(L)\sim L^{d_{\text{f}}}\,\!}$en${\displaystyle p=p_{c}\,\!}$y para tamaños de sonda grandes,${\displaystyle L\to \infty \,\!}$Otra notación: exponente magnético${\displaystyle y_{h}=D-d_{f}\,\!}$y codimensión${\displaystyle \Delta _{\sigma }=d-d_{f}\,\!}$.

El exponente de Fisher${\displaystyle \tau \,\!}$caracteriza la distribución del tamaño de los clústeres${\displaystyle n_{s}\,\!}$, que a menudo se determina en simulaciones por computadora. Esta última cuenta el número de clústeres con un tamaño (volumen) dado.${\displaystyle s\,\!}$, normalizado por el volumen total (número de sitios de la red). La distribución obedece una ley de potencia en el umbral,${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }\,\!}$asintóticamente como${\displaystyle s\to \infty \,\!}$.

La probabilidad de que dos sitios estén separados por una distancia${\displaystyle {\vec {r}}\,\!}$pertenecer al mismo grupo de desintegraciones que${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-2(d-d_{\text{f}})}\,\!}$o${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2-\eta )}\,\!}$para grandes distancias, lo que introduce la dimensión anómala${\displaystyle \eta \,\!}$. También,${\displaystyle \delta =(d+2-\eta )/(d-2+\eta )}$y${\displaystyle \eta =2-\gamma /\nu }$.

El exponente${\displaystyle \Omega \,\!}$está relacionado con la corrección principal al escalamiento , que aparece, por ejemplo, en la expansión asintótica de la distribución del tamaño del clúster, ${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }(1+{\text{const}}\times s^{-\Omega })\,\!}$para${\displaystyle s\to \infty \,\!}$. También,${\displaystyle \omega =\Omega /(\sigma \nu )=\Omega d_ {f}}$.

Para cantidades como el tamaño medio del clúster${\displaystyle S\sim a_{0}|p-p_{c}|^{-\gamma }(1+a_{1}(p-p_{c})^{\Delta _{1}}+\ldots )}$, las correcciones están controladas por el exponente${\displaystyle \Delta _{1}=\Omega \beta \delta =\omega \nu }$. ^{[ 1 ]}

La distancia mínima o química o el exponente de la ruta más corta${\displaystyle d_{\mathrm {min} }}$describe cómo la distancia mínima promedio${\displaystyle \langle \ell \rangle }$se relaciona con la distancia euclidiana${\displaystyle r}$, es decir${\displaystyle \langle \ell \rangle \sim r^{d_{\mathrm {min} }}}$Tenga en cuenta que es más apropiado y práctico medir el promedio.${\displaystyle r}$, <${\displaystyle r}$> para un dado${\displaystyle \ell }$. La columna elástica ^{[ 2 ]} tiene la misma dimensión fractal que el camino más corto. Una magnitud relacionada es la dimensión de propagación.${\displaystyle d_{\ell }}$, que describe la escala de la masa M de un cúmulo crítico dentro de una distancia química${\displaystyle \ell }$como${\displaystyle M\sim \ell ^{d_{\ell }}}$y está relacionado con la dimensión fractal${\displaystyle d_{f}}$del grupo por${\displaystyle d_{\ell }=d_{f}/d_{\mathrm {min} }}$. La distancia química también puede pensarse como un tiempo en un proceso de crecimiento epidémico, y también se define${\displaystyle \nu _{t}}$dónde${\displaystyle d_{\mathrm {min} }=\nu _ {t}/\nu =z}$, y${\displaystyle z}$es el exponente dinámico . ^{[ 3 ]} También se escribe${\displaystyle \nu _{\parallel }=\nu _{t}}$.

También relacionado con la dimensión mínima está el crecimiento simultáneo de dos grupos cercanos. La probabilidad de que los dos grupos se fusionen exactamente en el tiempo${\displaystyle t}$escalas como${\displaystyle p(t)\sim t^{-\lambda }}$^{[ 4 ]} con${\displaystyle \lambda =1+5/(4d_{\mathrm {min} })}$. ^{[ 5 ]}

La dimensión de la red troncal , que se define como el subconjunto de sitios del clúster que transportan la corriente cuando se aplica una diferencia de voltaje entre dos sitios muy separados, es${\displaystyle d_{\text{b}}}$(o${\displaystyle d_{\text{BB}}}$). También se define${\displaystyle \xi =d-d_{\text{b}}}$. ^{[ 6 ]}

La dimensión fractal del paseo aleatorio en un cúmulo de percolación incipiente infinito viene dada por${\displaystyle d_{w}}$.

La dimensión espectral${\displaystyle {\tilde {d}}}$de tal manera que el número promedio de sitios distintos visitados en un${\displaystyle N}$-escalas de caminata aleatoria de pasos como${\displaystyle N^{\tilde {d}}}$.

La aproximación al umbral de percolación se rige nuevamente por leyes de potencia, que se cumplen asintóticamente cerca de${\displaystyle p_{c}\,\!}$:

El exponente${\displaystyle \nu \,\!}$describe la divergencia de la longitud de correlación${\displaystyle \xi \,\!}$a medida que se aproxima la transición de percolación,${\displaystyle \xi \sim |p-p_{c}|^{-\nu }\,\!}$El cúmulo infinito se vuelve homogéneo en escalas de longitud mayores que la longitud de correlación; además, es una medida de la extensión lineal del cúmulo finito más grande. Otra notación: exponente térmico.${\displaystyle y_{t}=1/\nu }$y dimensión${\displaystyle \Delta _{\epsilon }=d-1/\nu }$.

Fuera de la criticidad, solo existen cúmulos finitos hasta un tamaño de cúmulo máximo.${\displaystyle s_{\max }\,\!}$y la distribución del tamaño de los clústeres se corta suavemente mediante una función de decaimiento rápido,${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })\,\!}$El exponente${\displaystyle \sigma }$caracteriza la divergencia del parámetro de corte,${\displaystyle s_{\max }\sim |p-p_{c}|^{-1/\sigma }\,\!}$. De la relación fractal tenemos${\displaystyle s_{\max }\sim \xi ^{d_{\text{f}}}\,\!}$, produciendo${\displaystyle \sigma =1/\nu d_{\text{f}}\,\!}$.

La densidad de cúmulos (número de cúmulos por sitio)${\displaystyle n_{c}}$es continua en el umbral pero su tercera derivada tiende a infinito según lo determinado por el exponente${\displaystyle \alpha }$:${\displaystyle n_{c}\sim A+B(p-p_{c})+C(p-p_{c})^{2}+D_{\pm }|p-p_{c}|^{2-\alpha }+\cdots }$, dónde${\displaystyle D_{\pm }}$representa el coeficiente por encima y por debajo del punto de transición.

La fuerza o peso del grupo percolante ,${\displaystyle P}$o${\displaystyle P_{\infty }}$es la probabilidad de que un sitio pertenezca a un clúster infinito.${\displaystyle P}$es cero por debajo de la transición y no es analítico. Justo por encima de la transición,${\displaystyle P\sim (p-p_{c})^{\beta }\,\!}$, definiendo el exponente${\displaystyle \beta \,\!}$.${\displaystyle \ P}$desempeña el papel de un parámetro de orden .

La divergencia del tamaño medio del clúster${\displaystyle S=\sum _{s}s^{2}n_{s}/p_{c}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma }\,\!}$introduce el exponente${\displaystyle \gamma \,\!}$.

El exponente de brecha Δ se define como Δ = 1/(β+γ) = 1/σ y representa la "brecha" en los valores del exponente crítico de un momento a otro.${\displaystyle M_{n}}$al siguiente${\displaystyle M_{n+1}}$para${\displaystyle n>2}$.

El exponente de conductividad${\displaystyle t=\nu t'}$describe cómo la conductividad eléctrica${\displaystyle C}$se vuelve cero en una mezcla conductor-aislante,${\displaystyle C\sim (p-p_{c})^{t}\,\!}$. También,${\displaystyle t'=\zeta }$.

La probabilidad de que un punto en una superficie pertenezca al clúster percolante o infinito para${\displaystyle p\geq p_{c}}$es${\displaystyle P_{\mathrm {surf} }\sim (p-p_{c})^{\beta _{\mathrm {surf} }}\,\!}$.

La dimensión fractal de la superficie viene dada por${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu }$. ^{[ 7 ]}

Las correlaciones paralelas y perpendiculares a la superficie decaen como${\displaystyle g_{\parallel }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\parallel }}\,\!}$y${\displaystyle g_{\perp }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\perp }}\,\!}$. ^{[ 8 ]}

El tamaño medio de los grupos finitos conectados a un sitio en la superficie es${\displaystyle \chi _{1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1}}}$. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

El número medio de sitios de superficie conectados a un sitio en la superficie es${\displaystyle \chi _{1,1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1,1}}}$. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}$

${\displaystyle d_{\text{f}}=d-{\frac {\beta }{\nu }}\,\!}$

${\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}$

${\displaystyle \alpha =2-{\frac {\tau -1}{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}\,\!}$

${\displaystyle \beta +\gamma ={\frac {1}{\sigma }}=\nu d_{f}\,\!}$

${\displaystyle \nu ={\frac {\tau -1}{\sigma d}}={\frac {2\beta +\gamma }{d}}\,\!}$

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{\tau -2}}\,\!}$

${\displaystyle \alpha =2-\nu d\,\!}$

${\displaystyle \beta =\nu (d-d_{\text{f}})\,\!}$

${\displaystyle \gamma =\nu (2d_{\text{f}}-d)\,\!}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\nu d_{\text{f}}}}\,\!}$

${\displaystyle d_{w}=d+{\frac {t-\beta }{\nu }}\,\!}$

${\displaystyle t'=d_{w}-d_{f}\,\!}$

${\displaystyle {\tilde {d}}=2d_{f}/d_{w}}$

${\displaystyle \eta _{\parallel }=2-d+2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

${\displaystyle d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$

${\displaystyle \eta _{\parallel }=2\eta _{\perp }-\eta \,}$^{[ 12 ]}

${\displaystyle \gamma _{1}=\nu (2-\eta _{\perp })\,\!}$^{[ 11 ]}

${\displaystyle \gamma _{1,1}=\nu (d-1-2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu )=\nu (1-\eta _{\parallel })\,\!}$^{[ 11 ] [ 13 ]}

${\displaystyle \gamma +\nu =2\gamma _{1}-\gamma _{1,1}\,\!}$^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle x_{1}=\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!}$