Tercera derivada

En cálculo , una rama de las matemáticas , la tercera derivada o derivada de tercer orden es la tasa a la que cambia la segunda derivada , o la tasa de cambio de la tasa de cambio. La tercera derivada de una función${\displaystyle y=f(x)}$puede denotarse por

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{o }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].}$

Se pueden utilizar otras notaciones para la diferenciación , pero las anteriores son las más comunes.

Dejar${\displaystyle f(x)=x^{4}}$. Entonces${\displaystyle f'(x)=4x^{3}}$y${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$. Por lo tanto, la tercera derivada de f es, en este caso,

${\displaystyle f'''(x)=24x}$

o, utilizando la notación de Leibniz ,

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x.}$

Ahora veamos una definición más general. Sea f cualquier función de x tal que f ′′ sea diferenciable . Entonces la tercera derivada de f viene dada por 

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)].}$

La tercera derivada es la tasa a la que cambia la segunda derivada ( f ′′( x )).

En geometría diferencial , la torsión de una curva —una propiedad fundamental de las curvas en tres dimensiones— se calcula utilizando las terceras derivadas de las funciones de coordenadas (o del vector de posición) que describen la curva. ^{[ 1 ]}

En física , particularmente en cinemática , la sacudida se define como la tercera derivada de la función de posición de un objeto. Esencialmente, es la tasa a la que cambia la aceleración . En términos matemáticos:

${\displaystyle \mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}}$

donde j ( t ) es la función de variación de la aceleración con respecto al tiempo, y r ( t ) es la función de posición del objeto con respecto al tiempo.

Durante su campaña para un segundo mandato, el presidente estadounidense Richard Nixon anunció que la tasa de aumento de la inflación estaba disminuyendo, lo que se ha señalado como "la primera vez que un presidente en ejercicio utilizó la tercera derivada para impulsar su candidatura a la reelección". ^{[ 2 ]} Dado que la inflación es en sí misma una derivada —la tasa a la que disminuye el poder adquisitivo del dinero—, entonces la tasa de aumento de la inflación es la derivada de la inflación, de signo opuesto a la segunda derivada del poder adquisitivo del dinero. Afirmar que una función es decreciente equivale a afirmar que su derivada es negativa, por lo que la afirmación de Nixon es que la segunda derivada de la inflación es negativa, y por lo tanto, la tercera derivada del poder adquisitivo es positiva.

Dado que la declaración de Nixon permitía que aumentara la tasa de inflación, su declaración no indicaba necesariamente una estabilidad de precios inmediata, sino que proponía una tendencia hacia una mayor estabilidad en el futuro.

• Aberrancia (geometría)
• Derivada (matemáticas)
• Segunda derivada
• Teorema de Taylor