Trapecio tangencial

En geometría euclidiana , un trapezoide tangencial , también llamado trapezoide circunscrito , es un trapezoide cuyos cuatro lados son todos tangentes a un círculo dentro del trapezoide: el círculo inscrito o círculo inscrito . Es el caso especial de un cuadrilátero tangencial en el que al menos un par de lados opuestos son paralelos . Al igual que en otros trapecios, los lados paralelos se denominan bases y los otros dos lados, catetos . Los catetos pueden ser iguales (véase el trapezoide tangencial isósceles a continuación), pero no tienen por qué serlo.

Ejemplos de trapecios tangenciales son los rombos y los cuadrados .

Si el círculo inscrito es tangente a los lados AB y CD en W e Y respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es un trapezoide con lados paralelos AB y CD si y solo si ^{[1] : Teo. 2}

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}}$

y AD y BC son los lados paralelos de un trapezoide si y solo si

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.}$

La fórmula para el área de un trapezoide se puede simplificar utilizando el teorema de Pitot para obtener una fórmula para el área de un trapezoide tangencial. Si las bases tienen longitudes a, b y cualquiera de los otros dos lados tiene longitud c , entonces el área K viene dada por la fórmula ^[2] (Esta fórmula se puede utilizar solo en casos en que las bases sean paralelas).

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {ab(ac)(cb)}}.}$

El área se puede expresar en términos de las longitudes de las tangentes e, f, g, h como ^{[3] : p.129}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Utilizando las mismas notaciones que para el área, el radio en el círculo inscrito es ^[2]

${\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(ac)(cb)}}{|ba|}}.}$

El diámetro del círculo inscrito es igual a la altura del trapezoide tangencial.

El radio interno también se puede expresar en términos de las longitudes de las tangentes como ^{[3] : p.129}

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

Además, si las longitudes tangentes e, f, g, h emanan respectivamente de los vértices A, B, C, D y AB es paralela a DC , entonces ^[1]

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

Si el incírculo es tangente a las bases en P, Q , entonces P, I, Q son colineales , donde I es el incentro. ^[4]

Los ángulos ∠ AID y ∠ BIC en un trapezoide tangencial ABCD , con bases AB y DC , son ángulos rectos . ^[4]

El incentro se encuentra en la mediana (también llamada segmento medio; es decir, el segmento que conecta los puntos medios de los catetos). ^[4]

La mediana (segmento medio) de un trapezoide tangencial es igual a la cuarta parte del perímetro del trapezoide. También es igual a la mitad de la suma de las bases, como en todos los trapecios.

Si se dibujan dos círculos, cada uno con un diámetro que coincide con los catetos de un trapezoide tangencial, entonces estos dos círculos son tangentes entre sí. ^[5]

Un trapezoide tangencial recto es un trapezoide tangencial en el que dos ángulos adyacentes son ángulos rectos . Si las bases tienen longitudes a, b , entonces el radio interno es ^[6]

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

Por lo tanto, el diámetro del círculo inscrito es la media armónica de las bases.

El trapezoide tangencial recto tiene el área ^[6]

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

y su perímetro P es ^[6]

${\displaystyle P=2(a+b).}$

Un trapezoide tangencial isósceles es un trapezoide tangencial en el que los catetos son iguales. Como un trapezoide isósceles es cíclico , un trapezoide tangencial isósceles es un cuadrilátero bicéntrico . Es decir, tiene tanto un incírculo como un circuncírculo .

Si las bases son a, b , entonces el radio interno viene dado por ^[7]

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

Para obtener esta fórmula se utilizó un sencillo problema de Sangaku , del Japón . Del teorema de Pitot se deduce que las longitudes de los catetos son la mitad de la suma de las bases. Como el diámetro del incírculo es la raíz cuadrada del producto de las bases, un trapezoide tangencial isósceles proporciona una bonita interpretación geométrica de la media aritmética y la media geométrica de las bases como la longitud de un cateto y el diámetro del incírculo respectivamente.

El área K de un trapezoide tangencial isósceles con bases a, b está dada por ^[8]

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$