Sistema de imprimibilidad

El concepto de sistema de imprimitividad se utiliza en matemáticas , particularmente en álgebra y análisis , tanto en el contexto de la teoría de representaciones de grupos como en el de George Mackey , que lo utilizó como base para su teoría de representaciones unitarias inducidas de grupos localmente compactos .

El caso más simple, y el contexto en el que se observó por primera vez la idea, es el de los grupos finitos (véase grupo de permutación primitiva ). Considérese un grupo G y subgrupos H y K , con K contenido en H . Entonces, las clases laterales izquierdas de H en G son cada una la unión de clases laterales izquierdas de K . No sólo eso, sino que la traslación (en un lado) por cualquier elemento g de G respeta esta descomposición. La conexión con las representaciones inducidas es que la representación de permutación en clases laterales es el caso especial de la representación inducida, en la que una representación se induce a partir de una representación trivial . La estructura, combinatoria en este caso, respetada por la traslación muestra que o bien K es un subgrupo maximal de G , o bien hay un sistema de imprimitividad (aproximadamente, una falta de "mezcla" completa). Para generalizar esto a otros casos, el concepto se vuelve a expresar: primero en términos de funciones sobre G constante en K -cosets, y luego en términos de operadores de proyección (por ejemplo, el promedio sobre K -cosets de elementos del álgebra de grupo ).

Mackey también utilizó esta idea para explicar su teoría de cuantificación basada en la preservación de los grupos de relatividad que actúan sobre el espacio de configuración . Este trabajo generalizado de Eugene Wigner y otros se considera a menudo una de las ideas pioneras en la cuantificación canónica .

Para motivar las definiciones generales, primero se formula una definición, para el caso de los grupos finitos y sus representaciones en espacios vectoriales de dimensión finita .

Sea G un grupo finito y U una representación de G en un espacio vectorial complejo de dimensión finita H. La acción de G sobre elementos de H induce una acción de G sobre los subespacios vectoriales W de H de esta manera:

${\displaystyle U_{g}W=\{U_{g}w:w\en W\}.}$

Sea X un conjunto de subespacios de H tales que

• los elementos de X se permutan por la acción de G sobre los subespacios y
• H es la suma directa algebraica (interna) de los elementos de X , es decir,

${\displaystyle H=\bigoplus _ {W\in X}W.}$

Entonces ( U , X ) es un sistema de imprimitividad para G .

En la definición anterior deben cumplirse dos afirmaciones:

• los espacios W para W ∈ X deben abarcar H , y
• los espacios W ∈ X deben ser linealmente independientes , es decir,

${\displaystyle \suma _{W\en X}c_{W}v_{W}=0,\cuadrado v_{W}\en W\setminus \{0\}}$

se cumple sólo cuando todos los coeficientes c _W son cero.

Si la acción de G sobre los elementos de X es transitiva , entonces decimos que se trata de un sistema transitivo de imprimitividad.

Sea G un grupo finito y G ₀ un subgrupo de G . Una representación U de G se induce a partir de una representación V de G ₀ si y sólo si se cumple lo siguiente:

• un sistema transitivo de imprimitividad ( U , X ) y
• un subespacio W ₀ ∈ X

de modo que G ₀ es el subgrupo estabilizador de W bajo la acción de G , es decir

${\displaystyle G_{0}=\{g\en G:U_{g}W_{0}\subseteq W_{0}\}.}$

y V es equivalente a la representación de G ₀ en W ₀ dada por U _h | W ₀ para h ∈ G ₀ . Nótese que, según esta definición, inducida por es una relación entre representaciones. Nos gustaría demostrar que, en realidad, existe una aplicación sobre representaciones que corresponde a esta relación.

Para grupos finitos se puede demostrar que existe una construcción inductora bien definida sobre la equivalencia de representaciones considerando el carácter de una representación U definida por

${\displaystyle \chi _{U}(g)=\operatorname {tr} (U_{g}).}$

Si una representación U de G se induce a partir de una representación V de G ₀ , entonces

${\displaystyle \chi _{U}(g)={\frac {1}{|G_{0}|}}\sum _{\{x\en G:{x}^{-1}\,g\,x\en G_{0}\}}\chi _{V}({x}^{-1}\ g\ x),\quad \forall g\en G.}$

Por lo tanto, la función de carácter χ _U (y por lo tanto la propia U ) está completamente determinada por χ _V .

Sea G un grupo finito y considere el espacio H de funciones complejas en G. La representación regular izquierda de G en H se define por

${\displaystyle [\operatorname {L} _{g}\psi ](h)=\psi (g^{-1}h).}$

Ahora H puede considerarse como la suma directa algebraica de los espacios unidimensionales W _x , para x ∈ G , donde

${\displaystyle W_{x}=\{\psi \en H:\psi (g)=0,\quad \para todo g\neq x\}.}$

Los espacios W _x son permutados por L _g .

Para generalizar la definición de dimensión finita dada en la sección precedente, se necesita un reemplazo adecuado para el conjunto X de subespacios vectoriales de H que se permuta por la representación U. Resulta que un enfoque ingenuo basado en subespacios de H no funcionará; por ejemplo, la representación de traslación de R en L ² ( R ) no tiene un sistema de imprimitividad en este sentido. La formulación correcta de la descomposición de suma directa se formula en términos de medidas con valores de proyección .

La formulación original de Mackey se expresó en términos de un segundo grupo contable localmente compacto (lcsc) G , un espacio de Borel estándar X y una acción de grupo de Borel.

${\displaystyle G\times X\rightarrow X,\quad (g,x)\mapsto g\cdot x.}$

Nos referiremos a esto como un espacio G de Borel estándar .

Las definiciones se pueden dar en un contexto mucho más general, pero la configuración original utilizada por Mackey sigue siendo bastante general y requiere menos tecnicismos.

Definición . Sea G un grupo lcsc que actúa sobre un espacio de Borel estándar X. Un sistema de imprimitividad basado en ( G , X ) consiste en un espacio de Hilbert separable H y un par que consiste en

• Una representación unitaria fuertemente continua U : g → U _g de G en H .
• Una medida con valores de proyección π en los conjuntos de Borel de X con valores en las proyecciones de H ;

que satisfacen

${\displaystyle U_{g}\pi (A)U_{g^{-1}}=\pi (g\cdot A).}$

Sea X un espacio G estándar y μ una medida invariante aditiva contablemente σ-finita en X. Esto significa

${\displaystyle \mu(g^{-1}A)=\mu(A)\quad}$

para todos los g ∈ G y subconjuntos de Borel A de G .

Sea π( A ) la multiplicación por la función indicadora de A y U _g el operador

${\displaystyle [U_{g}\psi ](x)=\psi (g^{-1}x).\quad }$

Entonces ( U , π) es un sistema de imprimitividad de ( G , X ) en L ² _μ ( X ).

Este sistema de imprimitividad se denomina a veces sistema de imprimitividad Koopman .

Un sistema de imprimitividad es homogéneo de multiplicidad n , donde 1 ≤ n ≤ ω si y solo si la correspondiente medida de proyección π sobre X es homogénea de multiplicidad n . De hecho, X se descompone en una familia disjunta contable { X _n } _{1 ≤ n ≤ ω} de conjuntos de Borel tales que π es homogéneo de multiplicidad n sobre X _n . También es fácil demostrar que X _n es invariante en G .

Lema . Todo sistema de imprimitividad es una suma directa ortogonal de sistemas homogéneos.

Se puede demostrar que si la acción de G sobre X es transitiva, entonces cualquier sistema de imprimitividad sobre X es homogéneo. De manera más general, si la acción de G sobre X es ergódica (lo que significa que X no puede reducirse mediante conjuntos de Borel propios invariantes de X ), entonces cualquier sistema de imprimitividad sobre X es homogéneo.

Ahora discutimos cómo la estructura de sistemas homogéneos de imprimitividad puede expresarse en una forma que generalice la representación de Koopman dada en el ejemplo anterior.

En lo que sigue, suponemos que μ es una medida σ-finita en un G -espacio de Borel estándar X tal que la acción de G respeta la clase de medida de μ. Esta condición es más débil que la invariancia, pero es suficiente para construir un operador de traducción unitario similar al operador de Koopman en el ejemplo anterior. G respeta la clase de medida de μ significa que la derivada de Radon-Nikodym

${\displaystyle s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in [0,\infty )}$

está bien definida para cada g ∈ G , donde

${\displaystyle g^{-1}\mu(A)=\mu(gA).\quad }$

Se puede demostrar que existe una versión de s que es medible conjuntamente mediante Borel, es decir

${\displaystyle s:G\times X\rightarrow [0,\infty )}$

¿Es Borel medible y satisface?

${\displaystyle s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in [0,\infty )}$

para casi todos los valores de ( g , x ) ∈ G × X .

Supongamos que H es un espacio de Hilbert separable, U( H ) los operadores unitarios en H . Un cociclo unitario es una aplicación de Borel

${\displaystyle \Phi :G\times X\rightarrow \nombre del operador {U} (H)}$

de tal manera que

${\displaystyle \Phi(e,x)=I\quad}$

para casi todos los x ∈ X

${\displaystyle \Phi (gh,x)=\Phi (g,h\cdot x)\Phi (h,x)}$

para casi todos ( g , h , x ). Un cociclo unitario es estricto si y solo si las relaciones anteriores se cumplen para todos ( g , h , x ). Se puede demostrar que para cualquier cociclo unitario existe un cociclo unitario estricto que es igual a él en casi todas partes (Varadarajan, 1985).

Teorema . Definir

${\displaystyle [U_{g}\psi ](x)={\sqrt {s(g,g^{-1}x)}}\ \Phi (g,g^{-1}x)\ \psi (g^{-1}x).}$

Entonces U es una representación unitaria de G en el espacio de Hilbert

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x).}$

Además, si para cualquier conjunto de Borel A , π( A ) es el operador de proyección

${\displaystyle \pi (A)\psi = 1_{A}\psi ,\quad \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x),}$

entonces ( U , π) es un sistema de imprimitividad de ( G , X ).

Por el contrario, cualquier sistema homogéneo de imprimitividad es de esta forma, para alguna medida σ-finita μ. Esta medida es única hasta la equivalencia de medida, es decir, dos de tales medidas tienen los mismos conjuntos de medida 0.

Se puede decir mucho más sobre la correspondencia entre sistemas homogéneos de imprimitividad y cociclos.

Sin embargo, cuando la acción de G sobre X es transitiva , la correspondencia adopta una forma particularmente explícita basada en la representación obtenida al restringir el cociclo Φ a un subgrupo de puntos fijos de la acción. Consideramos este caso en la siguiente sección.

Un sistema de imprimitividad ( U , π) de ( G , X ) en un espacio de Hilbert separable H es irreducible si y sólo si los únicos subespacios cerrados invariantes bajo todos los operadores U _g y π( A ) para g y un elemento de G y A un subconjunto de Borel de X son H o {0}.

Si ( U , π) es irreducible, entonces π es homogéneo. Además, la medida correspondiente en X según el teorema anterior es ergódica.

Si X es un espacio G de Borel y x ∈ X , entonces el subgrupo de puntos fijos

${\displaystyle G_{x}=\{g\en G:g\cdot x=x\}}$

es un subgrupo cerrado de G . Dado que solo estamos asumiendo que la acción de G sobre X es de Borel, este hecho no es trivial. Para demostrarlo, se puede utilizar el hecho de que un G -espacio de Borel estándar se puede incrustar en un G -espacio compacto en el que la acción es continua.

Teorema . Supongamos que G actúa sobre X de manera transitiva. Entonces existe una medida μ cuasi-invariante σ-finita en X que es única hasta la equivalencia de medida (es decir, dos medidas cualesquiera de esas tienen los mismos conjuntos de medida cero).

Si Φ es un cociclo unitario estricto

${\displaystyle \Phi :G\times X\rightarrow \nombre del operador {U} (H)}$

entonces la restricción de Φ al subgrupo de punto fijo G _x es una representación unitaria medible de Borel U de G _x en H (aquí U( H ) tiene la topología de operador fuerte ). Sin embargo, se sabe que una representación unitaria medible de Borel es igual casi en todas partes (con respecto a la medida de Haar) a una representación unitaria fuertemente continua. Esta aplicación de restricción establece una correspondencia fundamental:

Teorema . Supóngase que G actúa sobre X transitivamente con medida cuasi-invariante μ. Existe una biyección a partir de clases de equivalencia unitaria de sistemas de imprimitividad de ( G , X ) y clases de equivalencia unitaria de representación de G _x .

Además, esta biyección preserva la irreducibilidad, es decir, un sistema de imprimitividad de ( G , X ) es irreducible si y sólo si la representación correspondiente de G _x es irreducible.

Dada una representación V de G _x la representación correspondiente de G se llama representación inducida por V .

Véase el teorema 6.2 de (Varadarajan, 1985).

Los sistemas de imprimitividad surgen naturalmente en la determinación de las representaciones de un grupo G que es el producto semidirecto de un grupo abeliano N por un grupo H que actúa por automorfismos de N . Esto significa que N es un subgrupo normal de G y H un subgrupo de G tal que G = NH y N ∩ H = { e } ( siendo e el elemento identidad de G ).

Un ejemplo importante de esto es el grupo de Lorentz no homogéneo .

Fijemos G , H y N como se indicó anteriormente y sea X el espacio de caracteres de N. En particular, H actúa sobre X mediante

${\displaystyle [h\cdot \chi ](n)=\chi (h^{-1}nh).}$

Teorema . Existe una biyección entre clases de equivalencia unitaria de representaciones de G y clases de equivalencia unitaria de sistemas de imprimitividad basados ​​en ( H , X ). Esta correspondencia preserva los operadores entrelazados. En particular, una representación de G es irreducible si y solo si el sistema de imprimitividad correspondiente es irreducible.

Este resultado es de particular interés cuando la acción de H sobre X es tal que cada medida ergódica cuasi-invariante sobre X es transitiva. En ese caso, cada una de esas medidas es la imagen de (una versión totalmente finita) la medida de Haar sobre X por la función

${\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}.}$

Una condición necesaria para que esto sea así es que exista un conjunto numerable de conjuntos de Borel invariantes H que separen las órbitas de H . Este es el caso, por ejemplo, de la acción del grupo de Lorentz sobre el espacio de caracteres de R ⁴ .

El grupo de Heisenberg es el grupo de matrices reales de 3 × 3 de la forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Este grupo es el producto semidirecto de

${\displaystyle H={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&w&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}:w\in \mathbb {R} {\bigg \}}}$

y el subgrupo normal abeliano

${\displaystyle N={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&0&t\\0&1&s\\0&0&1\end{bmatrix}}:s,t\in \mathbb {R} {\bigg \}}.}$

Denotemos la matriz típica en H por [ w ] y la típica en N por [ s , t ]. Entonces

${\displaystyle [w]^{-1}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}[w]={\begin{bmatrix}s\\-ws+t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-w&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}}$

w actúa sobre el dual de R ² mediante la multiplicación por la matriz transpuesta

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-w\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Esto nos permite determinar completamente las órbitas y la teoría de representación.

Estructura de la órbita : Las órbitas se dividen en dos clases:

• Una línea horizontal que interseca el eje y en un valor distinto de cero y ₀ . En este caso, podemos tomar la medida cuasi-invariante en esta línea como la medida de Lebesgue.
• Un único punto ( x ₀ ,0) en el eje x

Subgrupos de puntos fijos : Estos también se dividen en dos clases según la órbita:

• El subgrupo trivial {0}
• El propio grupo H

Clasificación : Esto nos permite clasificar completamente todas las representaciones irreducibles del grupo de Heisenberg. Estas están parametrizadas por el conjunto formado por

• R − {0}. Estos son de dimensión infinita.
• Pares ( x ₀ , λ) ∈ R × R . x ₀ es la abscisa de la órbita de un solo punto en el eje x y λ es un elemento del dual de H Estos son unidimensionales.

Podemos escribir fórmulas explícitas para estas representaciones describiendo las restricciones a N y H.

Caso 1. La representación correspondiente π es de la forma: Actúa sobre L ² ( R ) con respecto a la medida de Lebesgue y

${\displaystyle (\pi [s,t]\psi )(x)=e^{ity_{0}}e^{isx}\psi (x).\quad }$

${\displaystyle (\pi [w]\psi )(x)=\psi (x+wy_{0}).\quad }$

Caso 2. La representación correspondiente viene dada por el carácter unidimensional

${\displaystyle \pi[s,t]=e^{isx_{0}}.\quad }$

${\displaystyle \pi [w]=e^{i\lambda w}.\quad }$

• GW Mackey, La teoría de las representaciones de grupos unitarios , University of Chicago Press, 1976.
• VS Varadarajan, Geometría de la teoría cuántica , Springer-Verlag, 1985.
• David Edwards, Los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, Synthese, Volumen 42, Número 1/septiembre de 1979, págs. 1–70.