aproximación superfuerte

La aproximación superfuerte es una generalización de la aproximación fuerte en grupos algebraicos G , que proporciona resultados de brecha espectral . El espectro en cuestión es el de la matriz laplaciana asociada a una familia de cocientes de un grupo discreto Γ; y la brecha es la que existe entre el primer y el segundo autovalor (normalización de modo que el primer autovalor corresponda a funciones constantes como autovectores). Aquí Γ es un subgrupo de los puntos racionales de G , pero no necesariamente es un retículo : puede ser un grupo delgado . La "brecha" en cuestión es una cota inferior (constante absoluta) para la diferencia de dichos autovalores.

Una consecuencia y equivalente de esta propiedad, que potencialmente se cumple para subgrupos densos de Zariski Γ del grupo lineal especial sobre los enteros, y en clases más generales de grupos algebraicos G , es que la secuencia de grafos de Cayley para reducciones Γ _p módulo números primos p , con respecto a cualquier conjunto fijo S en Γ que sea un conjunto simétrico y un conjunto generador , es una familia de expansores . ^{[ 1 ]}

En este contexto, la «aproximación fuerte» se define como la afirmación de que S, al reducirse, genera el conjunto completo de puntos de G sobre los cuerpos primos con p elementos, cuando p es suficientemente grande. Esto equivale a que los grafos de Cayley sean conexos (cuando p es suficientemente grande), o a que las funciones localmente constantes en estos grafos sean constantes, de modo que el espacio propio para el primer valor propio sea unidimensional. Por lo tanto, la aproximación superfuerte constituye una mejora cuantitativa concreta de estas afirmaciones.

Propiedad${\displaystyle (\tau )}$es un análogo en la teoría de grupos discretos de la propiedad (T) de Kazhdan , y fue introducida por Alexander Lubotzky . ^{[ 2 ]} Para una familia dada de subgrupos normales N de índice finito en Γ, una formulación equivalente es que los grafos de Cayley de los grupos Γ/ N , todos con respecto a un conjunto simétrico fijo de generadores S , forman una familia expansora. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, la aproximación superfuerte es una formulación de la propiedad${\displaystyle (\tau )}$, donde los subgrupos N son los núcleos de reducción módulo primos p suficientemente grandes .

La conjetura de Lubotzky-Weiss afirma (para grupos lineales especiales y reducción módulo primos) que un resultado de expansión de este tipo se cumple independientemente de la elección de S. Para aplicaciones, también es relevante tener resultados donde el módulo no esté restringido a ser un primo. ^{[ 4 ]}

Se han encontrado resultados sobre la aproximación superfuerte utilizando técnicas en subgrupos aproximados y la tasa de crecimiento en grupos simples finitos. ^{[ 5 ]}

• Breuillard, Emmanuel; Oh, Hee, eds. (2014). Grupos delgados y aproximación superfuerte . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03685-7.
• Matthews, CR; Vaserstein, LN; Weisfeiler, B. (1984). "Propiedades de congruencia de subgrupos densos de Zariski. I." Proc. London Math. Soc . Serie 3. 48 (3): 514– 532. doi : 10.1112/plms/s3-48.3.514 . MR 0735226 .