Superproceso

Un superproceso , dentro de la teoría de probabilidad matemática , es un proceso estocástico que generalmente se construye como un límite especial de difusiones ramificadas casi críticas. ${\displaystyle (\xi,d,\beta)}$${\displaystyle X(t,dx)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}}$

De manera informal, se puede ver como un proceso de ramificación donde cada partícula se divide y muere a velocidades infinitas, y evoluciona de acuerdo con una ecuación de difusión, y seguimos la población reescalada de partículas, vista como una medida de . ${\displaystyle \mathbb {R}}$

Para cualquier número entero , considere un proceso browniano ramificado definido de la siguiente manera: ${\displaystyle N\geq 1}$$Estilo de visualización Y^{N}(t,dx)}$

• Comience con partículas independientes distribuidas según una distribución de probabilidad .${\estilo de visualización t=0}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización \mu}$
• Cada partícula se mueve independientemente según un movimiento browniano .
• Cada partícula muere independientemente a una velocidad .${\estilo de visualización N}$
• Cuando una partícula muere, con probabilidad da origen a dos descendientes en el mismo lugar.${\estilo de visualización 1/2}$

La notación significa que debe interpretarse como: en cada momento , el número de partículas en un conjunto es . En otras palabras, es un proceso aleatorio con valores de medida . ^[1]$Estilo de visualización Y^{N}(t,dx)}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle A\subconjunto \mathbb {R} }$$Estilo de visualización Y^{N}(t,A)}$${\estilo de visualización Y}$

Ahora, defina un proceso renormalizado:

${\displaystyle X^{N}(t,dx):={\frac {1}{N}}Y^{N}(t,dx)}$

Entonces, las distribuciones de dimensión finita de convergen a las de un proceso aleatorio de valor medible , que se llama - superproceso , ^[1] con valor inicial , donde y donde es un movimiento browniano (específicamente, donde es un espacio medible , es una filtración , y bajo la ley de un movimiento browniano comenzó en ). $Estilo de visualización X^{N}}$${\displaystyle N\to +\infty}$${\displaystyle X(t,dx)}$${\estilo de visualización (\xi,\phi)}$${\displaystyle X(0)=\mu}$${\displaystyle \phi (z):={\frac {z^{2}}{2}}}$${\estilo de visualización \xi}$${\displaystyle \xi =(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\xi _{t},{\textbf {P}}_{x})}$${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle \xi _{t}}$${\displaystyle {\textbf {P}}_{x}}$${\displaystyle x}$

Como se aclarará en la siguiente sección, codifica un mecanismo de ramificación subyacente y codifica el movimiento de las partículas. Aquí, dado que es un movimiento browniano, el objeto resultante se conoce como movimiento superbrowniano . ^[1]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

Nuestro sistema de ramificación discreta puede ser mucho más sofisticado y dar lugar a una variedad de superprocesos: ${\displaystyle Y^{N}(t,dx)}$

• En lugar de , el espacio de estados ahora puede ser cualquier espacio de Lusin .${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E}$
• El movimiento subyacente de las partículas ahora se puede dar por , donde es un proceso de Markov càdlàg (ver, ^[1] Capítulo 4, para más detalles).${\displaystyle \xi =(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\xi _{t},{\textbf {P}}_{x})}$${\displaystyle \xi _{t}}$
• Una partícula muere a una velocidad${\displaystyle \gamma _{N}}$
• Cuando una partícula muere en el instante , ubicado en , da origen a un número aleatorio de descendientes . Estos descendientes comienzan a moverse desde . Requerimos que la ley de dependa únicamente de , y que todos sean independientes. Establezca y defina la función generadora de probabilidad asociada :${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi _{t}}$${\displaystyle n_{t,\xi _{t}}}$${\displaystyle \xi _{t}}$${\displaystyle n_{t,x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (n_{t,x})_{t,x}}$${\displaystyle p_{k}(x)=\mathbb {P} [n_{t,x}=k]}$${\displaystyle g}$${\textstyle g(x,z):=\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}(x)z^{k}}$

Agregue el siguiente requisito de que el número esperado de descendientes esté acotado: Defina como arriba, y defina la siguiente función crucial: Agregue el requisito, para todo , de que sea Lipschitz continuo con respecto a uniformemente en , y que converja a alguna función como uniformemente en . $${\displaystyle \sup \limits _{x\in E}\mathbb {E} [n_{t,x}]<+\infty }$$${\displaystyle X^{N}(t,dx):={\frac {1}{N}}Y^{N}(t,dx)}$$${\displaystyle \phi _{N}(x,z):=N\gamma _{N}\left[g_{N}{\Big (}x,1-{\frac {z}{N}}{\Big )}\,-\,{\Big (}1-{\frac {z}{N}}{\Big )}\right]}$$${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle \phi _{N}(x,z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle E\times [0,a]}$${\displaystyle \phi _{N}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle N\to +\infty }$${\displaystyle E\times [0,a]}$

Dadas todas estas condiciones, las distribuciones de dimensión finita de convergen a las de un proceso aleatorio con valores medidos que se denomina - superproceso , ^[1] con valor inicial . ${\displaystyle X^{N}(t)}$${\displaystyle X(t,dx)}$${\displaystyle (\xi ,\phi )}$${\displaystyle X(0)=\mu }$

Siempre que , es decir, el número de eventos de ramificación se vuelve infinito, el requisito de que converge implica que, tomando una expansión de Taylor de , el número esperado de descendientes es cercano a 1 y, por lo tanto, que el proceso es casi crítico. ${\displaystyle \lim _{N\to +\infty }\gamma _{N}=+\infty }$${\displaystyle \phi _{N}}$${\displaystyle g_{N}}$

El sistema de partículas ramificadas se puede generalizar aún más de la siguiente manera: ${\displaystyle Y^{N}(t,dx)}$

• La probabilidad de muerte en el intervalo de tiempo de una partícula que sigue una trayectoria es donde es una función medible positiva y es una función continua de (ver, ^[1] capítulo 2, para más detalles).${\displaystyle [r,t)}$${\displaystyle (\xi _{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle \exp \left\{-\int _{r}^{t}\alpha _{N}(\xi _{s})K(ds)\right\}}$${\displaystyle \alpha _{N}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \xi }$
• Cuando una partícula que sigue una trayectoria muere en el momento , da a luz a una progenie según un núcleo de probabilidad medido con un valor . En otras palabras, la progenie no nace necesariamente en la ubicación de sus padres. El número de progenies está dado por . Supongamos que .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F_{N}(\xi _{t-},d\nu )}$${\displaystyle \nu (1)}$${\displaystyle \sup \limits _{x\in E}\int \nu (1)F_{N}(x,d\nu )<+\infty }$

Luego, bajo hipótesis adecuadas, las distribuciones de dimensión finita de convergen a las de un proceso aleatorio con valores medidos que se denomina superproceso de Dawson-Watanabe , ^[1] con valor inicial . ${\displaystyle X^{N}(t)}$${\displaystyle X(t,dx)}$ ${\displaystyle X(0)=\mu }$

Un superproceso tiene varias propiedades. Es un proceso de Markov y su núcleo de Markov verifica la propiedad de ramificación : donde es la convolución . Una clase especial de superprocesos son los -superprocesos , ^[2] con . Un -superproceso se define en . Su mecanismo de ramificación se define por su función generadora de momento factorial (la definición de un mecanismo de ramificación varía ligeramente entre los autores, algunos ^[1] utilizan la definición de en la sección anterior, otros ^[2] utilizan la función generadora de momento factorial): ${\displaystyle Q_{t}(\mu ,d\nu )}$$${\displaystyle Q_{t}(\mu +\mu ',\cdot )=Q_{t}(\mu ,\cdot )*Q_{t}(\mu ',\cdot )}$$${\displaystyle *}$${\displaystyle (\alpha ,d,\beta )}$${\displaystyle \alpha \in (0,2],d\in \mathbb {N} ,\beta \in (0,1]}$${\displaystyle (\alpha ,d,\beta )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Phi (s)={\frac {1}{1+\beta }}(1-s)^{1+\beta }+s}$

y el movimiento espacial de partículas individuales (observado en la sección anterior) está dado por el proceso estable -simétrico con generador infinitesimal . ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta _{\alpha }}$

El caso es un movimiento browniano estándar y el superproceso se llama movimiento superbrowniano. ${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle (2,d,1)}$

Una de las propiedades más importantes de los superprocesos es que están íntimamente relacionados con ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales . La ecuación más simple de este tipo es Cuando el movimiento espacial (migración) es un proceso de difusión, se habla de superdifusión. La conexión entre las superdifusiones y las EDP no lineales es similar a la que existe entre las difusiones y las EDP lineales. ${\displaystyle \Delta u-u^{2}=0\ on\ \mathbb {R} ^{d}.}$

• Eugene B. Dynkin (2004). Superdifusiones y soluciones positivas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Apéndice A de J.-F. Le Gall y Apéndice B de IE Verbitsky . University Lecture Series, 34. American Mathematical Society. ISBN 9780821836828.