Sumas de tres cubos

En las matemáticas de sumas de potencias , es un problema abierto caracterizar los números que pueden expresarse como una suma de tres cubos de enteros, permitiendo tanto cubos positivos como negativos en la suma. Una condición necesaria para un entero${\displaystyle n}$igualar dicha suma es que${\displaystyle n}$no puede ser igual a 4 o 5 módulo 9, porque los cubos módulo 9 son 0, 1 y −1 , y ninguna suma de tres de estos números puede ser igual a 4 o 5 módulo 9. ^{[ 1 ]} Se desconoce si esta condición necesaria es suficiente.

Las variantes del problema incluyen sumas de cubos no negativos y sumas de cubos racionales. Todos los números enteros tienen una representación como suma de cubos racionales, pero se desconoce si las sumas de cubos no negativos forman un conjunto con densidad natural distinta de cero .

Una representación no trivial de 0 como suma de tres cubos daría un contraejemplo al último teorema de Fermat para el exponente tres, ya que uno de los tres cubos tendría signo opuesto al de los otros dos y su negación sería igual a la suma de los otros dos. Por lo tanto, según la demostración de Leonhard Euler de ese caso del último teorema de Fermat, ^{[ 2 ]} solo existen soluciones triviales.

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

Para las representaciones de 1 y 2, existen familias infinitas de soluciones.

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ (descubierta ^{[ 3 ]} por K. Mahler en 1936)

y

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$(descubierto ^{[ 4 ]} por AS Verebrusov en 1908, citado por LJ Mordell ^{[ 5 ]} ).

Estas pueden escalarse para obtener representaciones para cualquier cubo o cualquier número que sea el doble de un cubo. ^{[ 5 ]} También hay otras representaciones conocidas de 2 que no están dadas por estas familias infinitas: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

Sin embargo, 1 y 2 son los únicos números con representaciones que pueden ser parametrizadas por polinomios cuárticos como se indicó anteriormente. ^{[ 5 ]} Incluso en el caso de las representaciones de 3, Louis J. Mordell escribió en 1953: "No sé nada" más allá de sus soluciones pequeñas.

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$

y el hecho de que cada uno de los tres números al cubo debe ser igual módulo 9. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Desde 1955, y comenzando con la iniciativa de Mordell, muchos autores han implementado búsquedas computacionales para estas representaciones. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 6 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Elsenhans y Jahnel (2009) utilizaron un método de Noam Elkies ( 2000 ) que involucra reducción de retículo para buscar todas las soluciones a la ecuación diofántica 

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

para positivo${\displaystyle n}$como máximo 1000 y para${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$, ^{[ 16 ]} dejando solo 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975 como problemas abiertos en 2009 para${\displaystyle n\leq 1000}$y 192, 375 y 600 permanecen sin soluciones primitivas (es decir,${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$). Después de que Timothy Browning cubriera el problema en Numberphile en 2016, Huisman (2016) extendió estas búsquedas a${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$Resolviendo el caso de 74, con solución

${\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}.}$

A través de estas búsquedas, se descubrió que todos${\displaystyle n<100}$que son diferentes de 4 o 5 módulo 9 tienen solución, con como máximo dos excepciones, 33 y 42. ^{[ 17 ]}

Sin embargo, en 2019, Andrew Booker llegó a un acuerdo en el caso.${\displaystyle n=33}$al descubrir que

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}.}$

Para lograr esto, Booker explotó una estrategia de búsqueda alternativa con un tiempo de ejecución proporcional a${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)}$en lugar de a su máximo, ^{[ 18 ]} un enfoque sugerido originalmente por Heath-Brown et al. ^{[ 19 ]} También descubrió que

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},}$

y estableció que no hay soluciones para${\displaystyle n=42}$o cualquiera de los otros asuntos no resueltos${\displaystyle n\leq 1000}$con${\displaystyle |z|\leq 10^{16}}$.

Poco después, en septiembre de 2019, Booker y Andrew Sutherland finalmente llegaron a un acuerdo.${\displaystyle n=42}$caso, utilizando 1,3 millones de horas de computación en la red global de Charity Engine para descubrir que

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3},}$

así como soluciones para otros casos previamente desconocidos, entre ellos:${\displaystyle n=165}$y${\displaystyle 579}$para${\displaystyle n\leq 1000}$. ^{[ 20 ]}

Booker y Sutherland también encontraron una tercera representación de 3 utilizando otras 4 millones de horas de computadora en Charity Engine:

${\displaystyle 3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.}$^{[ 20 ] [ 21 ]}

Este descubrimiento resolvió una cuestión que Louis J. Mordell había planteado hacía 65 años y que había impulsado gran parte de la investigación sobre este problema. ^{[ 7 ]}

Mientras presentaba la tercera representación del 3 durante su aparición en un video en el canal de YouTube Numberphile , Booker también presentó una representación para el 906:

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$^{[ 22 ]}

Los únicos casos restantes sin resolver hasta el 1000 son los siete números 114, 390, 627, 633, 732, 921 y 975, y no se conocen soluciones primitivas (es decir,${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$) para 192, 375 y 600. ^{[ 20 ] [ 23 ]}

El problema de la suma de tres cubos se popularizó en los últimos años gracias a Brady Haran , creador del canal de YouTube Numberphile , comenzando con el vídeo de 2015 «El problema sin resolver con 33», que incluía una entrevista con Timothy Browning . ^{[ 24 ]} Seis meses después, se publicó el vídeo «El 74 está resuelto» con Browning, donde se analizaba el descubrimiento de Huisman en 2016 de una solución para el 74. ^{[ 25 ]} En 2019, Numberphile publicó tres vídeos relacionados: «El 42 es el nuevo 33», «El misterio del 42 está resuelto» y «El 3 como suma de 3 cubos», para conmemorar el descubrimiento de soluciones para el 33, el 42 y la nueva solución para el 3. ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 22 ]}

La solución de Booker para 33 apareció en artículos publicados en Quanta Magazine ^{[ 28 ]} y New Scientist ^{[ 29 ]} , así como en un artículo de Newsweek en el que se anunció la colaboración de Booker con Sutherland: "...el matemático ahora está trabajando con Andrew Sutherland del MIT en un intento de encontrar la solución para el último número sin resolver menor que cien: 42". ^{[ 30 ]} El número 42 tiene un interés popular adicional debido a su aparición en la novela de ciencia ficción de Douglas Adams de 1979, La guía del autoestopista galáctico, como la respuesta a La pregunta definitiva sobre la vida, el universo y todo lo demás .

Los anuncios de Booker y Sutherland ^{[ 31 ] [ 32 ]} sobre una solución para 42 recibieron cobertura de prensa internacional, incluyendo artículos en New Scientist , ^{[ 33 ]} Scientific American , ^{[ 34 ]} Popular Mechanics , ^{[ 35 ]} The Register , ^{[ 36 ]} Die Zeit , ^{[ 37 ]} Der Tagesspiegel , ^{[ 38 ]} Helsingin Sanomat , ^{[ 39 ]} Der Spiegel , ^{[ 40 ]} New Zealand Herald , ^{[ 41 ]} Indian Express , ^{[ 42 ]} Der Standard , ^{[ 43 ]} Las Provincias , ^{[ 44 ]} Nettavisen , ^{[ 45 ]} Digi24 , ^{[ 46 ]} y BBC World Service . ^{[ 47 ]} Popular Mechanics nombró la solución para 42 como uno de los "10 mayores avances matemáticos de 2019". ^{[ 48 ]}

La resolución de la pregunta de Mordell por parte de Booker y Sutherland unas semanas después provocó otra ronda de cobertura mediática. ^{[ 21 ] [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ]}

En la charla que Booker ofreció por invitación en el decimocuarto Simposio de Teoría Algorítmica de Números, analiza parte del interés popular en este problema y la reacción del público ante el anuncio de soluciones para 33 y 42. ^{[ 55 ]}

En 1992, Roger Heath-Brown conjeturó que cada${\displaystyle n}$desigual a 4 o 5 módulo 9 tiene infinitas representaciones como sumas de tres cubos. ^{[ 56 ]} El caso${\displaystyle n=33}$Este problema fue utilizado por Bjorn Poonen como ejemplo inicial en un estudio sobre problemas indecidibles en teoría de números , del cual el décimo problema de Hilbert es el ejemplo más famoso. ^{[ 57 ]} Aunque este caso particular ya se ha resuelto, se desconoce si representar números como sumas de cubos es decidible. Es decir, se desconoce si un algoritmo puede, para cada entrada, comprobar en tiempo finito si un número dado tiene dicha representación. Si la conjetura de Heath-Brown es cierta, el problema es decidible. En este caso, un algoritmo podría resolver correctamente el problema calculando${\displaystyle n}$módulo 9, devolviendo falso cuando esto es 4 o 5, y verdadero en caso contrario. La investigación de Heath-Brown también incluye conjeturas más precisas sobre hasta dónde tendría que buscar un algoritmo para encontrar una representación explícita en lugar de simplemente determinar si existe. ^{[ 56 ]}

Una variante de este problema, relacionada con el problema de Waring, pide representaciones como sumas de tres cubos de enteros no negativos. En el siglo XIX, Carl Gustav Jacob Jacobi y sus colaboradores compilaron tablas de soluciones a este problema. ^{[ 58 ]} Se conjetura que los números representables tienen densidad natural positiva . ^{[ 59 ] [ 60 ]} Esto sigue siendo desconocido, pero Trevor Wooley ha demostrado que${\displaystyle \Omega (n^{0.917})}$de los números de${\displaystyle 1}$a${\displaystyle n}$tienen tales representaciones. ^{[ 61 ] [ 62 ] [ 63 ]} La densidad es como máximo${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0.119}$. ^{[ 1 ]}

Todo número entero puede representarse como una suma de tres cubos de números racionales (en lugar de como una suma de cubos de números enteros). ^{[ 64 ] [ 65 ]}

• Problema de la suma de cuatro cubos : si cada número entero es la suma de cuatro cubos.
• Conjetura de Euler sobre la suma de potencias §  k = 3 , relativa a cubos que pueden escribirse como suma de tres cubos positivos
• El número de Platón , un texto antiguo que posiblemente discute la ecuación ^3³ + ^4³ + ^5³ = ^6³
• Número de taxi , el entero más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos enteros positivos de n maneras distintas.

• Soluciones de ⁿ = x³ + ^y³ + z³ para 0 ≤ n ≤ 99 , ^Hisanori Mishima
• Threecubes , Daniel J. Bernstein
• Sumas de tres cubos , Mathpages