Problema de suma de cuatro cubos

Problema sin resolver en matemáticas

¿Cada número entero es la suma de cuatro cubos perfectos?

Más problemas sin resolver en matemáticas

El problema de la suma de cuatro cubos ^{[ 1 ]} pregunta si todo entero es la suma de cuatro cubos de enteros. Se conjetura que la respuesta es afirmativa, ^{[ 2 ]} pero esta conjetura no ha sido ni probada ni refutada, al menos según lo informado en 1982 por Philippe Revoy ^{[ 3 ]} y nuevamente en 2004 por Henri Cohen . ^{[ 4 ]} Algunos de los cubos pueden ser números negativos , a diferencia del problema de Waring sobre sumas de cubos, donde se requiere que sean positivos.

Resultados parciales

Esta pregunta ha sido respondida para algunas categorías de enteros, demostrando en cada caso que todo entero de la categoría puede expresarse como la suma de 4 cubos de enteros. No se conocen categorías ni números específicos donde esto se haya demostrado imposible. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Demostración para la mayoría de los números enteros

En 1959, W. Sierpiński y A. Schinzel demostraron que todos los enteros en las siguientes categorías pueden expresarse como la suma de 4 cubos de enteros: ^{[ 2 ]}

enteros congruentes con 0 módulo 6
enteros congruentes con 3 módulo 6
enteros congruentes con 1 módulo 18
enteros congruentes con 7 módulo 18
enteros congruentes con 8 módulo 18

Sierpiński y Schinzel también proporcionan una explicación de cómo las identidades utilizadas en las demostraciones de estas categorías pueden usarse para derivar una identidad complementaria mediante la sustitución $x$ con $-x$ a lo largo de la identidad, lo que demuestra la categoría opuesta a la identidad original. ^{[ 2 ]}

En conjunto, esto demostró que todos los enteros, excepto aquellos congruentes con ±2, ±4 y ±5 módulo 18, pueden expresarse como la suma de 4 cubos. ^{[ 2 ]}

Además, Sierpiński y Schinzel proporcionaron tablas que muestran soluciones para muchos enteros específicos en el rango de 2 a 300, afirmando que estas tablas (además de las identidades y métodos presentados anteriormente en el artículo) demuestran que todos los enteros con valor absoluto menor o igual a 300, con las excepciones de ±148, ±257 y ±284, pueden descomponerse en la suma de 4 cubos. ^{[ 2 ]}

En 2004, Henri Cohen proporcionó un resumen más simple de estos resultados, a través de las siguientes identidades (algunas de las cuales son casi idénticas a las utilizadas por Sierpiński y Schinzel): ^{[ 4 ]}

${\begin{aligned}6x&=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^{3}-x^{3}\\6x+3&=x^{3}+(-x+4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3}\\18x+1&=(2x+14)^{3}+(-2x-23)^{3}+ (-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3}\\18x+7&=(x+2)^{3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3}\\18x+8&=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}\ .\end{aligned}}$

Caso 18x±2

En 1966, VA Demjanenko proporcionó las siguientes identidades: ^{[ 5 ]}

${\begin{aligned}54x+2&=(29484x^{2}+2211x+43)^{3}+(-29484x^{2}-2157x-41)^{3}+(9828x^{2}+485x+4)^{3}+(-9828x^{2}-971x-22)^{3}\\54x+20&=(3x-11)^{3}+(-3x+10)^{3}+(x+2)^{3}+(-x+7)^{3}\\21 6x-16&=(14742x^{2}-2157x+82)^{3}+(-14742x^{2}+2211x-86)^{3}+(4914x^{2}-971x+44)^{3}+(-4914x^{2}+485x-8)^{3}\\216x+92&=(3x-164)^{3}+(-3x+160)^{3}+(x-35)^{3}+(-x+71)^{3}\end{aligned}}$

Junto con sus identidades complementarias, estas demuestran el caso 18x±2 con la excepción de los enteros congruentes con 108x±38. Demjanenko también demuestra el caso 108x±38 en su artículo utilizando métodos más avanzados, demostrando así completamente el caso 18x±2. ^{[ 5 ]}

Al considerar este resultado junto con los resultados anteriores de Sierpiński y Schinzel, solo los casos 18x±4 y 18x±5 permanecen sin probar, lo que se puede expresar de manera más simple como 9x±4.

Demjanenko también proporciona una tabla de descomposiciones de muchos números específicos en el caso 9x±4, que según afirma amplía el trabajo de Sierpiński y Schinzel para demostrar que todos los enteros con valor absoluto menor o igual a 1000 pueden descomponerse en la suma de 4 cubos. ^{[ 5 ]}

Véase también

Sumas de tres cubos

Notas y referencias

↑ Denominado "el problema de los cuatro cubos" en H. Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers , Cambridge University Press, 7.ª edición, 1999, págs. 173, 177.
^ 1 2 3 4 5 W. Sierpiński, A. Schinzel. Sur les sommes de quatre cubes. Acta Arithmetica , v. 4, No. 1, 1959, disponible en línea en.
^ Philippe Revoy, “Sur les sommes de quatre cubes”, L' Enseignement Mathématique , t. 29, 1983, pág. 209-220, en línea aquí o aquí , p. 209.
1 2 3 Henri Cohen , 2004, disponible a través del archivo del artículo en el sitio web de Cohen.
1 2 3 VA Demjanenko, "Sobre la suma de cuatro cubos", Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matemática, vol. 54, núm. 5, 1966, pág. 63-69, disponible en línea en el sitio Math-Net.Ru .

[1] Denominado "el problema de los cuatro cubos" en H. Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers , Cambridge University Press, 7.ª edición, 1999, págs. 173, 177.

[Sierpiński_and_Schinzel,_1959-2] 1 2 3 4 5 W. Sierpiński, A. Schinzel. Sur les sommes de quatre cubes. Acta Arithmetica , v. 4, No. 1, 1959, disponible en línea en.

[Revoy_1982-3] Philippe Revoy, “Sur les sommes de quatre cubes”, L' Enseignement Mathématique , t. 29, 1983, pág. 209-220, en línea aquí o aquí , p. 209.

[Cohen_2004-4] 1 2 3 Henri Cohen , 2004, disponible a través del archivo del artículo en el sitio web de Cohen.

[Demjanenko_1966-5] 1 2 3 VA Demjanenko, "Sobre la suma de cuatro cubos", Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matemática, vol. 54, núm. 5, 1966, pág. 63-69, disponible en línea en el sitio Math-Net.Ru .

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