Subestructura (matemáticas)

En lógica matemática , una subestructura ( inducida ) o subálgebra ( inducida ) es una estructura cuyo dominio es un subconjunto del de una estructura mayor, y cuyas funciones y relaciones están restringidas al dominio de la subestructura. Algunos ejemplos de subálgebras son subgrupos , submonoides , subanillos , subcuerpos , subálgebras de álgebras sobre un cuerpo o subgrafos inducidos . Cambiando el punto de vista, la estructura mayor se denomina extensión o superestructura de su subestructura.

En la teoría de modelos , el término " submodelo " se usa a menudo como sinónimo de subestructura, especialmente cuando el contexto sugiere una teoría de la cual ambas estructuras son modelos.

En presencia de relaciones (es decir, para estructuras como grupos ordenados o grafos , cuya signatura no es funcional), puede ser conveniente relajar las condiciones sobre una subálgebra de modo que las relaciones sobre una subestructura débil (o subálgebra débil ) sean, como máximo, las inducidas por la estructura mayor. Los subgrafos son un ejemplo donde esta distinción es importante, y el término «subgrafo» se refiere, en efecto, a subestructuras débiles. Los grupos ordenados , por otro lado, poseen la propiedad especial de que toda subestructura de un grupo ordenado que a su vez es un grupo ordenado, es una subestructura inducida.

Dadas dos estructuras A y B de la misma signatura σ, se dice que A es una subestructura débil de B , o una subálgebra débil de B , si

• el dominio de A es un subconjunto del dominio de B ,
• f ^A = f ^B | _{A ⁿ} para cada símbolo de función n-aria f en σ, y
• R ^A${\displaystyle \subseteq }$R ^B${\displaystyle \cap }$Un ⁿ para cada símbolo de relación n- aria R en σ.

Se dice que A es una subestructura de B , o una subálgebra de B , si A es una subálgebra débil de B y, además,

• R ^A = R ^B${\displaystyle \cap }$Un ⁿ para cada símbolo de relación n- aria R en σ.

Si A es una subestructura de B , entonces B se denomina una superestructura de A o, especialmente si A es una subestructura inducida, una extensión de A.

En el lenguaje que consta de las operaciones binarias + y × , la relación binaria < y las constantes 0 y 1, la estructura ( Q , +, × , < , 0, 1) es una subestructura de ( R , +, × , <, 0, 1). De manera más general, las subestructuras de un cuerpo ordenado (o simplemente un cuerpo ) son precisamente sus subcuerpos. De manera similar, en el lenguaje ( × , ⁻¹ , 1) de grupos, las subestructuras de un grupo son sus subgrupos . Sin embargo, en el lenguaje ( × , 1) de monoides , las subestructuras de un grupo son sus submonoides . No necesariamente son grupos; e incluso si lo son, no necesariamente son subgrupos.

Los subanillos son las subestructuras de los anillos , y las subálgebras son las subestructuras de las álgebras sobre un cuerpo .

En el caso de los grafos (en la signatura que consiste en una relación binaria), los subgrafos y sus subestructuras débiles son precisamente sus subgrafos.

Para cada signatura σ, las subestructuras inducidas de las σ-estructuras son los subobjetos en la categoría concreta de σ-estructuras y homomorfismos fuertes (y también en la categoría concreta de σ-estructuras e incrustaciones σ ). Las subestructuras débiles de las σ-estructuras son los subobjetos en la categoría concreta de σ-estructuras y homomorfismos en el sentido ordinario.

En teoría de modelos, dada una estructura M que es un modelo de una teoría T , un submodelo de M, en un sentido más estricto, es una subestructura de M que también es un modelo de T. Por ejemplo, si T es la teoría de grupos abelianos en la signatura (+, 0), entonces los submodelos del grupo de los enteros ( Z , +, 0) son las subestructuras que también son grupos abelianos. Así, los números naturales ( N , +, 0) forman una subestructura de ( Z , +, 0) que no es un submodelo, mientras que los números pares (2Z , +, 0) forman un submodelo.

Otros ejemplos:

1. Los números algebraicos forman un submodelo de los números complejos en la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados .
2. Los números racionales forman un submodelo de los números reales en la teoría de cuerpos .
3. Cada subestructura elemental de un modelo de una teoría T también satisface T ; por lo tanto, es un submodelo.

En la categoría de modelos de una teoría e incrustaciones entre ellos, los submodelos de un modelo son sus subobjetos .

• Extensión conservadora (teoría del modelo)
• Subestructura elemental
• Extensión final
• Teorema de Löwenheim-Skolem
• Modelo principal

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), Un curso de álgebra universal , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Diestel, Reinhard (2005) [1997], Teoría de grafos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  173 (3.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-26183-4
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6