Extensión final

En la teoría de modelos y la teoría de conjuntos , que son disciplinas dentro de las matemáticas, un modelo de algún sistema de axiomas de la teoría de conjuntos en el lenguaje de la teoría de conjuntos es una extensión final de , en símbolos , si ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\langle B,F\rangle }$ ${\estilo de visualización T}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,E\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq _{\text{fin}}{\mathfrak {B}}}$

1. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$es una subestructura de , (es decir, y ), y${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle E=F|_{A}}$
2. ${\displaystyle b\en A}$siempre que y se mantengan, es decir, no se añaden nuevos elementos a los elementos de . ^[1]${\displaystyle a\en A}$${\estilo de visualización bFa}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\estilo de visualización A}$

La segunda condición se puede escribir de manera equivalente como para todo . ${\displaystyle \{b\en A:bEa\}=\{b\en B:bFa\}}$${\displaystyle a\en A}$

Por ejemplo, es una extensión final de si y son conjuntos transitivos , y . ${\displaystyle \langle B,\en \rangle }$${\displaystyle \langle A,\en \rangle }$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle A\subseteq B}$

Un concepto relacionado es el de extensión superior (también conocida como extensión de rango), donde un modelo es una extensión superior de un modelo si y para todos y , tenemos , donde denota el rango de un conjunto. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\langle B,F\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,E\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq _{\text{fin}}{\mathfrak {B}}}$${\displaystyle a\en A}$${\displaystyle b\en B\setmenos A}$${\displaystyle rango(b)>rango(a)}$${\displaystyle rango(\cdot )}$

Keisler y Morley demostraron que cada modelo contable de ZF tiene una extensión final que también es una extensión elemental . ^[2] Si el requisito de elementariedad se debilita a elemental para fórmulas que están en la jerarquía de Lévy , cada estructura contable en la que se cumple -colección tiene una extensión final -elemental. ^[3]${\displaystyle \Sigma__{n}}$${\displaystyle \Sigma__{n}}$${\displaystyle \Sigma__{n}}$