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Estimación por intervalos

En estadística , la estimación por intervalos consiste en el uso de datos de muestra para estimar un intervalo de posibles valores de un parámetro (de muestra) de interés. Esto ...

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En estadística , la estimación por intervalos consiste en el uso de datos de muestra para estimar un intervalo de posibles valores de un parámetro (de muestra) de interés. Esto contrasta con la estimación puntual , que proporciona un único valor. [ 1 ]

Las formas más comunes de estimación de intervalos son los intervalos de confianza (un método frecuentista ) y los intervalos creíbles (un método bayesiano ). [ 2 ] Otras formas menos comunes incluyen los intervalos de verosimilitud , los intervalos fiduciales , los intervalos de tolerancia y los intervalos de predicción . Para un método no estadístico, las estimaciones de intervalos pueden deducirse a partir de la lógica difusa .

Tipos

Intervalos de confianza

Los intervalos de confianza se utilizan para estimar el parámetro de interés a partir de un conjunto de datos muestreados, generalmente la media o la desviación estándar . Un intervalo de confianza indica que existe una confianza del 100γ% de que el parámetro de interés se encuentra dentro de un límite inferior y superior. Un error común sobre los intervalos de confianza es creer que el 100γ% del conjunto de datos se encuentra dentro o por encima/por debajo de los límites; esto se conoce como intervalo de tolerancia, que se explica más adelante.

Existen varios métodos para construir un intervalo de confianza; la elección correcta depende de los datos que se analizan. Para una distribución normal con una varianza conocida , se utiliza la tabla z para crear un intervalo donde se puede obtener un nivel de confianza del 100γ% centrado alrededor de la media muestral de un conjunto de datos de n mediciones. Para una distribución binomial , los intervalos de confianza se pueden aproximar utilizando el método de aproximación de Wald , el intervalo de Jeffreys y el intervalo de Clopper-Pearson . El método de Jeffreys también se puede utilizar para aproximar intervalos para una distribución de Poisson . [ 3 ] Si se desconoce la distribución subyacente, se puede utilizar el bootstrapping para crear límites alrededor de la mediana del conjunto de datos.

Intervalos de credibilidad

Distribución bayesiana: ajuste de una distribución previa para formar una probabilidad posterior.

A diferencia de un intervalo de confianza, un intervalo creíble requiere una suposición previa , que se modifica mediante un factor de Bayes , y la determinación de una distribución posterior . Utilizando la distribución posterior, se puede determinar una probabilidad del 100γ% de que el parámetro de interés esté incluido, a diferencia del intervalo de confianza, donde se puede tener una confianza del 100γ% de que una estimación se encuentre dentro de un intervalo. [ 4 ]

Posterior ∝ Probabilidad×Previo{\displaystyle {\text{Posterior}}\ \propto \ {\text{Likelihood}}\times {\text{Prior}}}

Si bien una suposición previa es útil para aportar más datos a la hora de construir un intervalo, elimina la objetividad de un intervalo de confianza. Una distribución previa se utilizará para informar una distribución posterior; si no se cuestiona, esta distribución previa puede conducir a predicciones incorrectas. [ 5 ]

Los límites del intervalo de credibilidad son variables, a diferencia del intervalo de confianza. Existen diversos métodos para determinar la ubicación correcta de los límites superior e inferior. Las técnicas comunes para ajustar los límites del intervalo incluyen el intervalo de máxima densidad posterior (HPDI), el intervalo de cola igual o centrar el intervalo alrededor de la media.

Formas menos comunes

Basado en la probabilidad

Utiliza los principios de una función de verosimilitud para estimar el parámetro de interés. Mediante el método basado en la verosimilitud, se pueden encontrar intervalos de confianza para las medias exponenciales, de Weibull y lognormales. Además, los enfoques basados ​​en la verosimilitud pueden proporcionar intervalos de confianza para la desviación estándar. También es posible crear un intervalo de predicción combinando la función de verosimilitud y la variable aleatoria futura. [ 3 ]

Fiducial

La inferencia fiducial utiliza un conjunto de datos, elimina cuidadosamente el ruido y recupera un estimador de distribución, la distribución fiducial generalizada (GFD). Sin el uso del teorema de Bayes, no se asume ninguna distribución a priori, al igual que en los intervalos de confianza. La inferencia fiducial es una forma menos común de inferencia estadística . Su fundador, R. A. Fisher , quien había estado desarrollando métodos de probabilidad inversa, tenía sus propias dudas sobre la validez del proceso. Si bien la inferencia fiducial se desarrolló a principios del siglo XX, a finales de ese siglo se creía que el método era inferior a los enfoques frecuentistas y bayesianos, pero ocupaba un lugar importante en el contexto histórico de la inferencia estadística. Sin embargo, los enfoques modernos han generalizado el intervalo fiducial en la inferencia fiducial generalizada (GFI), que puede utilizarse para estimar conjuntos de datos discretos y continuos. [ 6 ]

Tolerancia

Los intervalos de tolerancia utilizan la población del conjunto de datos recopilados para obtener un intervalo, dentro de los límites de tolerancia, que contiene 100γ% de valores. Los ejemplos que se suelen utilizar para describir los intervalos de tolerancia incluyen la fabricación. En este contexto, se evalúa un porcentaje de un conjunto de productos existente para garantizar que un porcentaje de la población esté incluido dentro de los límites de tolerancia. Al crear intervalos de tolerancia, los límites se pueden escribir en términos de un límite de tolerancia superior e inferior, utilizando la media de la muestra .μ{\displaystyle \mu }y la desviación estándar de la muestra , s.

(lb,túb)=μ±k2s{\displaystyle (l_{b},u_{b})=\mu \pm k_{2}s}para intervalos bilaterales

para intervalos bilaterales

Y en el caso de intervalos unilaterales donde la tolerancia se requiere solo por encima o por debajo de un valor crítico,

lb=μ−k1s{\displaystyle l_{b}=\mu -k_{1}s}túb=μ+k1s{\displaystyle u_{b}=\mu +k_{1}s}

ki{\displaystyle k_{i}}varía según la distribución y el número de lados, i, en la estimación del intervalo. En una distribución normal,k2{\displaystyle k_{2}} puede expresarse como [ 7 ]

k2=zα/2νχ1−α,ν2(1+1norte){\displaystyle k_{2}=z_{\alpha /2}{\sqrt {{\frac {\nu }{\chi _{1-\alpha ,\nu }^{2}}}\left(1+{\frac {1}{N}}\right)}}}

dóndeχ1−α,ν2{\displaystyle \chi _{1-\alpha ,\nu }^{2}}es el valor crítico de la distribución chi-cuadrado utilizandoν{\displaystyle \nu }grados de libertad que se superan con probabilidadα{\displaystyle \alpha }, yzα/2{\displaystyle z_{\alpha /2}}son los valores críticos obtenidos de la distribución normal.

Predicción

Un intervalo de predicción estima el intervalo que contiene muestras futuras con cierta confianza, γ. Los intervalos de predicción pueden utilizarse tanto en contextos bayesianos como frecuentistas . Estos intervalos se utilizan típicamente en conjuntos de datos de regresión, pero no se utilizan para extrapolar más allá de los parámetros controlados experimentalmente de los datos anteriores. [ 8 ]

lógica difusa

La lógica difusa se utiliza para la toma de decisiones no binarias en inteligencia artificial, medicina y otros campos. En general, toma datos de entrada, los procesa mediante sistemas de inferencia difusa y genera una decisión de salida. Este proceso incluye la difusificación, la evaluación de reglas de lógica difusa y la desdifusificación. En la evaluación de reglas de lógica difusa, las funciones de pertenencia convierten la información de entrada no binaria en variables tangibles. Estas funciones son esenciales para predecir la incertidumbre del sistema.

Unilateral versus bilateral

Diferenciar entre intervalos bilaterales y unilaterales en una curva de distribución normal estándar.

Los intervalos bilaterales estiman un parámetro de interés, Θ, con un nivel de confianza, γ, utilizando un valor inferior (lb{\displaystyle l_{b}}) y límite superior (túb{\displaystyle u_{b}}Algunos ejemplos incluyen estimar la estatura promedio de los hombres en una región geográfica o la longitud de un escritorio específico fabricado por una empresa. En estos casos, se suele estimar el valor central de un parámetro. Normalmente, este valor se presenta de forma similar a la ecuación que se muestra a continuación.

PAG(lb<Θ<túb)=γ{\displaystyle P(l_{b}<\Theta <u_{b})=\gamma }

A diferencia del intervalo bilateral, el intervalo unilateral utiliza un nivel de confianza, γ, para construir un límite inferior o máximo que predice el parámetro de interés con una probabilidad del 100 % (γ * 100 %). Generalmente, se requiere un intervalo unilateral cuando no interesa el límite inferior o máximo de la estimación. Cuando se busca el valor mínimo predicho de Θ, ya no es necesario encontrar un límite superior para la estimación, lo que da lugar a una forma reducida del intervalo bilateral.

PAG(lb<Θ)=γ{\displaystyle P(l_{b}<\Theta )=\gamma }

Como resultado de eliminar el límite superior y mantener la confianza, el límite inferior (lb{\displaystyle l_{b}}) aumentará. Del mismo modo, cuando se trata de encontrar solo un límite superior de la estimación de un parámetro, el límite superior disminuirá. Un intervalo unilateral se encuentra comúnmente en el control de calidad de la producción de materiales , donde un valor esperado de la resistencia de un material, Θ, debe estar por encima de un cierto valor mínimo (lb{\displaystyle l_{b}}) con cierta confianza (100γ%). En este caso, al fabricante no le preocupa producir un producto demasiado fuerte, no hay límite superior (túb{\displaystyle u_{b}}).

Discusión

Al determinar la significancia estadística de un parámetro, es fundamental comprender los datos y sus métodos de recolección. Antes de recolectar datos, se debe planificar un experimento de manera que el error de muestreo sea variabilidad estadística (un error aleatorio ), en contraposición a un sesgo estadístico (un error sistemático ). [ 9 ] Tras la experimentación, un primer paso típico para crear estimaciones de intervalo es el análisis exploratorio mediante diversos métodos gráficos . A partir de esto, se puede determinar la distribución de las muestras del conjunto de datos. Generar límites de intervalo con supuestos incorrectos basados ​​en la distribución hace que la predicción sea errónea. [ 10 ]

Cuando se informan estimaciones de intervalo, estas deben tener una interpretación comúnmente aceptada dentro y fuera de la comunidad científica. Las estimaciones de intervalo derivadas de la lógica difusa tienen significados mucho más específicos para cada aplicación.

En situaciones comunes, deberían existir conjuntos de procedimientos estándar que puedan utilizarse, sujetos a la verificación y validez de cualquier supuesto requerido. Esto se aplica tanto a los intervalos de confianza como a los intervalos creíbles. Sin embargo, en situaciones más novedosas, debería haber orientación sobre cómo formular las estimaciones de intervalo. En este sentido, los intervalos de confianza y los intervalos creíbles tienen una posición similar, pero existen dos diferencias. Primero, los intervalos creíbles pueden manejar fácilmente información previa, mientras que los intervalos de confianza no. Segundo, los intervalos de confianza son más flexibles y pueden utilizarse prácticamente en más situaciones que los intervalos creíbles: un área donde los intervalos creíbles presentan desventajas en comparación es al tratar con modelos no paramétricos .

Es necesario contar con métodos para evaluar el rendimiento de los procedimientos de estimación por intervalos. Esto se debe a que muchos de estos procedimientos implican aproximaciones de diversa índole, y es preciso verificar que su rendimiento real se aproxime al declarado. El uso de simulaciones estocásticas simplifica esta tarea en el caso de los intervalos de confianza, pero resulta más complejo para los intervalos creíbles, donde es preciso considerar la información previa. La verificación de los intervalos creíbles puede realizarse en situaciones sin información previa, pero implica comprobar las propiedades de frecuencia a largo plazo de los procedimientos.

Severini (1993) analiza las condiciones bajo las cuales los intervalos creíbles y los intervalos de confianza producirán resultados similares, y también analiza tanto las probabilidades de cobertura de los intervalos creíbles como las probabilidades posteriores asociadas con los intervalos de confianza. [ 11 ]

En la teoría de la decisión , que es un enfoque común y una justificación para la estadística bayesiana, la estimación por intervalos no es de interés directo. El resultado es una decisión, no una estimación por intervalos, y por lo tanto, los teóricos de la decisión bayesianos utilizan una acción bayesiana : minimizan la pérdida esperada de una función de pérdida con respecto a toda la distribución posterior, no a un intervalo específico.

Aplicaciones

Las aplicaciones de intervalos de confianza se utilizan para resolver diversos problemas relacionados con la incertidumbre. Katz (1975) plantea varios desafíos y beneficios para la utilización de estimaciones de intervalo en procedimientos legales. [ 12 ] Para su uso en la investigación médica, Altmen (1990) analiza el uso de intervalos de confianza y las directrices para su utilización. [ 13 ] En la fabricación, también es común encontrar estimaciones de intervalo para estimar la vida útil de un producto o para evaluar sus tolerancias. Meeker y Escobar (1998) presentan métodos para analizar datos de fiabilidad bajo estimación paramétrica y no paramétrica, incluyendo la predicción de variables aleatorias futuras (intervalos de predicción). [ 14 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Neyman, J. (1937). "Esquema de una teoría de estimación estadística basada en la teoría clásica de la probabilidad" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, Ciencias Matemáticas y Físicas . 236 (767). The Royal Society: 333–380 . Bibcode : 1937RSPTA.236..333N . doi : 10.1098/rsta.1937.0005 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91337. S2CID 19584450. Recuperado el 15 de julio de 2021 .   
  2. ↑ Severini, Thomas A. (1991). "Sobre la relación entre las estimaciones de intervalo bayesianas y no bayesianas". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B (Metodológica) . 53 (3). Wiley: 611– 618. doi : 10.1111/j.2517-6161.1991.tb01849.x . ISSN 0035-9246 . 
  3. 1 2 Meeker, William Q.; Hahn, Gerald J.; Escobar, Luis A. (27 de marzo de 2017). Intervalos estadísticos: una guía para profesionales e investigadores . Serie Wiley en probabilidad y estadística (1.ª ed.). Wiley. doi : 10.1002/9781118594841 . ISBN  978-0-471-68717-7.
  4. ↑ Hespanhol, Luiz; Vallio, Caio Sain; Costa, Lucíola Menezes; Saragiotto, Bruno T (2019-07-01). "Comprensión e interpretación de los intervalos de confianza y credibilidad en torno a las estimaciones de efectos" . Revista Brasileña de Fisioterapia . 23 (4): 290– 301. doi : 10.1016/j.bjpt.2018.12.006 . ISSN 1413-3555 . PMC 6630113. PMID 30638956 .   
  5. ↑ Lee, Peter M. (2012). Estadística bayesiana: una introducción (4.ª ed., 1.ª ed. publicada). Chichester: Wiley. ISBN  978-1-118-33257-3.
  6. ↑ Hannig, Jan; Iyer, Hari; Lai, Randy CS; Lee, Thomas CM (2 de julio de 2016). "Inferencia fiducial generalizada: una revisión y nuevos resultados". Journal of the American Statistical Association . 111 (515): 1346– 1361. doi : 10.1080/01621459.2016.1165102 . ISSN 0162-1459 . 
  7. ↑ Howe, WG (junio de 1969). "Límites de tolerancia bilaterales para poblaciones normales, algunas mejoras" . Journal of the American Statistical Association . 64 (326): 610. doi : 10.2307/2283644 . ISSN 0162-1459 . 
  8. ↑ Vardeman, Stephen B. (1992). "¿Qué pasa con los otros intervalos?" . The American Statistician . 46 (3): 193– 197. doi : 10.2307/2685212 . ISSN 0003-1305 . 
  9. ↑ Hahn, Gerald J.; Meeker, William Q. (1993). "Supuestos para la inferencia estadística" . The American Statistician . 47 (1): 1– 11. doi : 10.2307/2684774 . ISSN 0003-1305 . 
  10. ↑ Hahn, Gerald J.; Doganaksoy, Necip; Meeker, William Q. (2019-08-01). "Intervalos estadísticos, no significancia estadística" . Significance . 16 (4): 20– 22. doi : 10.1111/j.1740-9713.2019.01298.x . ISSN 1740-9705 . 
  11. ↑ Severini, Thomas A. (1993). "Estimaciones de intervalos bayesianos que también son intervalos de confianza" . Journal of the Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica) . 55 (2): 533– 540. ISSN 0035-9246 . 
  12. ↑ Katz, Leo (1975). "Presentación de una estimación de intervalo de confianza como evidencia en un procedimiento legal" . The American Statistician . 29 (4): 138– 142. doi : 10.2307/2683480 . ISSN 0003-1305 . 
  13. ↑ Altman, Douglas G., ed. (2011). Statistics with confidence: confidence intervals and statistical guidelines; [incluye disco] (2.ª ed., [Nachdr.] ed.). Londres: BMJ Books. ISBN  978-0-7279-1375-3.
  14. ↑ Meeker, William Q.; Escobar, Luis A. (1998). Métodos estadísticos para datos de fiabilidad . Serie Wiley en probabilidad y estadística. Sección de probabilidad y estadística aplicada. Nueva York: Weinheim: Wiley. ISBN 978-0-471-14328-4.

Bibliografía

  • Kendall, MG y Stuart, A. (1973). Teoría avanzada de la estadística. Vol. 2: Inferencia y relación (3.ª edición). Griffin, Londres.
En el capítulo 20 se tratan los intervalos de confianza, mientras que el capítulo 21 aborda los intervalos fiduciales y bayesianos , e incluye una comparación entre los tres enfoques. Cabe destacar que este trabajo es anterior a las metodologías computacionalmente intensivas modernas. Además, el capítulo 21 analiza el problema de Behrens-Fisher.
  • Meeker, WQ, Hahn, GJ y Escobar, LA (2017). Intervalos estadísticos: una guía para profesionales e investigadores (2.ª edición). John Wiley & Sons.
  • Introducción a las matemáticas difusas https://web.archive.org/web/20061205114153/http://blog.peltarion.com/2006/10/25/fuzzy-math-part-1-the-theory
  • ¿Qué es la lógica difusa? https://www.youtube.com/watch?v=__0nZuG4sTw