Dominio estelar

En geometría , un conjunto${\displaystyle S}$en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se denomina dominio estrella (o conjunto estrella-convexo , conjunto en forma de estrella ^{[ 1 ]} o conjunto radialmente convexo ) si existe un${\displaystyle s_{0}\in S}$de tal manera que para todos${\displaystyle s\in S,}$el segmento de línea desde${\displaystyle s_{0}}$a${\displaystyle s}$se encuentra en${\displaystyle S.}$Esta definición se puede generalizar inmediatamente a cualquier espacio vectorial real o complejo .

Intuitivamente, si uno piensa en${\displaystyle S}$como una región rodeada por una muralla,${\displaystyle S}$es un dominio estelar si uno puede encontrar un punto de vista${\displaystyle s_{0}}$en${\displaystyle S}$desde el cual cualquier punto${\displaystyle s}$en${\displaystyle S}$está dentro del campo de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de un conjunto radial .

Dados dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$(como el espacio euclidiano)${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), la envoltura convexa de${\displaystyle \{x,y\}}$se denomina intervalo cerrado con puntos finales${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$y se denota por $${\displaystyle \left[x,y\right]~:=~\left\{ty+(1-t)x:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(yx)[0,1],}$$ dónde${\displaystyle z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}}$para cada vector${\displaystyle z.}$

Un subconjunto${\displaystyle S}$de un espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que tiene forma de estrella.${\displaystyle s_{0}\in S}$si por cada${\displaystyle s\in S,}$el intervalo cerrado ${\displaystyle \left[s_{0},s\right]\subseteq S.}$ Un conjunto${\displaystyle S}$ tiene forma de estrella y se llama dominio estelar si existe algún punto${\displaystyle s_{0}\in S}$de tal manera que${\displaystyle S}$tiene forma de estrella en${\displaystyle s_{0}.}$

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se llama conjunto estrella . ^{[ 2 ]} Estos conjuntos están estrechamente relacionados con los funcionales de Minkowski .

• Cualquier línea o plano en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un dominio estelar.
• Una línea o un plano al que se le ha quitado un solo punto no es un dominio estelar.
• Si${\displaystyle A}$es un conjunto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$el conjunto${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$obtenido al conectar todos los puntos en${\displaystyle A}$El origen es un dominio estelar.
• Una figura en forma de cruz es un dominio estelar, pero no es convexa.
• Un polígono en forma de estrella es un dominio estelar cuyo límite es una secuencia de segmentos de línea conectados.

• Convexidad : cualquier conjunto convexo no vacío es un dominio estrellado. Un conjunto es convexo si y solo si es un dominio estrellado con respecto a cada punto de ese conjunto.
• Cierre e interior: El cierre de un dominio estrellado es un dominio estrellado, pero el interior de un dominio estrellado no es necesariamente un dominio estrellado.
• Contracción : Todo dominio estrellado es un conjunto contraíble , mediante una homotopía lineal . En particular, cualquier dominio estrellado es un conjunto simplemente conexo .
• Reducción : Cada dominio estelar, y solo un dominio estelar, puede "reducirse sobre sí mismo"; es decir, para cada relación de dilatación.${\displaystyle r<1,}$El dominio estelar puede dilatarse por una proporción${\displaystyle r}$de tal manera que el dominio de la estrella dilatada esté contenido en el dominio de la estrella original. ^{[ 3 ]}
• Unión e intersección : La unión o intersección de dos dominios estrellados no es necesariamente un dominio estrellado.
• Saldo : Dado${\displaystyle W\subseteq X,}$el conjunto${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$(dónde${\displaystyle u}$abarca todos los escalares de longitud unitaria ) es un conjunto equilibrado siempre que${\displaystyle W}$tiene forma de estrella en el origen (lo que significa que${\displaystyle 0\in W}$y${\displaystyle rw\in W}$a pesar de${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$y${\displaystyle w\in W}$).
• Difeomorfismo : Un dominio estrellado abierto no vacío${\displaystyle S}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es difeomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Operadores binarios: Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Si son dominios estrella, entonces también lo es el producto cartesiano.${\displaystyle A\times B}$y la suma${\displaystyle A+B}$. ^{[ 1 ]}
• Transformaciones lineales : Si${\displaystyle A}$es un dominio estrella, entonces también lo es toda transformación lineal de${\displaystyle A}$. ^{[ 1 ]}

• Conjunto absolutamente convexo – Conjunto convexo y equilibrado 
• Conjunto absorbente : conjunto que puede "inflarse" para alcanzar cualquier punto. 
• Problema de la galería de arte – Problema matemático 
• Conjunto equilibrado : un concepto en el análisis funcional. 
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico) – Generalización de la acotación 
• Conjunto convexo : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un único segmento de línea. 
• Funcional Minkowski – Función hecha de un conjunto 
• Conjunto radial – Conjunto topológico 
• Polígono estrellado – Polígono regular no convexo 
• Conjunto simétrico – Propiedad de los subconjuntos de un grupo (matemáticas) 
• Preferencias en forma de estrella

• Ian Stewart, David Tall, Análisis complejo . Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4, MR 0698076 
• CR Smith, Una caracterización de conjuntos en forma de estrella , American Mathematical Monthly , vol. 75, n.º 4 (abril de 1968), pág.  386, MR 0227724 , JSTOR 2313423  
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 

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