Número cuadrado

En matemáticas , un número cuadrado o cuadrado perfecto es un número entero que es el cuadrado de un número entero; ^{[ 1 ]} en otras palabras, es el producto de algún número entero por sí mismo. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado, ya que es igual a 3 ² y se puede escribir como 3 × 3 .

La notación habitual para el cuadrado de un número n no es el producto n × n , sino la exponenciación equivalente n² , que se suele pronunciar como " n al cuadrado". El nombre ^de número cuadrado proviene del nombre de la figura. La unidad de área se define como el área de un cuadrado unitario ( 1 × 1 ). Por lo tanto, un cuadrado con lado de longitud n tiene un área ^{de n²} . Si un número cuadrado se representa mediante n puntos, estos se pueden organizar en filas formando un cuadrado cuyos lados tienen el mismo número de puntos que la raíz cuadrada de n ; así, los números cuadrados son un tipo de números figurados (otros ejemplos son los números cúbicos y los números triangulares ).

En el sistema de números reales , los números cuadrados son no negativos . Un entero no negativo es un número cuadrado cuando su raíz cuadrada es también un entero. Por ejemplo,${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$Entonces, 9 es un número cuadrado.

Un entero positivo que no tiene divisores cuadrados excepto 1 se llama libre de cuadrados .

Para un entero no negativo n , el n ^- ésimo número cuadrado es n² , siendo 0² ⁼ 0 el cero . El concepto de cuadrado se puede extender a otros sistemas numéricos. Si se incluyen los números racionales , entonces un cuadrado es la razón de dos enteros cuadrados y, a la inversa, la razón de dos enteros cuadrados es un cuadrado, por ejemplo, ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$.

Comenzando con 1, hay${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$números cuadrados hasta m inclusive , donde la expresión${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$representa el piso del número x . 

Los cuadrados (secuencia A000290 en la OEIS ) menores que ^60²  =  3600 son:

La diferencia entre cualquier cuadrado perfecto y su predecesor viene dada por la identidad n ² − ( n − 1) ² = 2 n − 1 . De forma equivalente, es posible contar números cuadrados sumando el último cuadrado, la raíz del último cuadrado y la raíz actual, es decir, n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n .

El número m es un número cuadrado si y solo si se pueden disponer m puntos formando un cuadrado:

La expresión para el enésimo número cuadrado es n² . Esto también es igual a la suma de los primeros n números impares, ^como se puede ver en las imágenes anteriores, donde un cuadrado resulta del anterior al agregar un número impar de puntos (mostrados en magenta). La fórmula es la siguiente:$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$$Por ejemplo, 5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Hay varios métodos recursivos para calcular números cuadrados. Por ejemplo, el n -ésimo número cuadrado se puede calcular a partir del cuadrado anterior mediante ^n² = ( n − 1) ^² + ( n − 1) + n = ( n − 1) ^² + ( 2n − 1) ² . Alternativamente, el n -ésimo número cuadrado se puede calcular a partir de los dos anteriores duplicando el ( n − 1) -ésimo cuadrado, restando el ( n − 2) -ésimo número cuadrado y sumando ² , porque n² = 2( n − 1) ^² − ( n − 2) ^² + 2. Por ejemplo,

2 × 5 ² − 4 ² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 ² .

El cuadrado menos uno de un número m es siempre el producto de${\displaystyle m-1}$y${\displaystyle m+1;}$eso es,$${\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}$$Por ejemplo, dado que 7 ² = 49 , uno tiene${\displaystyle 6\times 8=48}$. Dado que un número primo tiene como factores solo 1 y él mismo, y dado que m = 2 es el único valor distinto de cero de m que da un factor de 1 en el lado derecho de la ecuación anterior, se deduce que 3 es el único número primo uno menos que un cuadrado ( 3 = 2 ² − 1 ).

En términos más generales, la diferencia de los cuadrados de dos números es el producto de su suma y su diferencia. Es decir,$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$$Esta es la fórmula de la diferencia de cuadrados , que puede ser útil para el cálculo mental: por ejemplo, 47 × 53 ^se puede calcular fácilmente como 50² − 3² ⁼ 2500 − 9 = 2491. Un número cuadrado también es la suma de dos números triangulares consecutivos . La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado . Todo cuadrado impar es también un número octogonal centrado .

Otra propiedad de un número cuadrado es que (excepto el 0) tiene un número impar de divisores positivos, mientras que los demás números naturales tienen un número par de divisores positivos. Una raíz entera es el único divisor que, al unirse consigo mismo, da como resultado un número cuadrado, mientras que los demás divisores se presentan en pares.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier entero positivo puede escribirse como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para números de la forma 4k ( ^8m + 7) . Un entero positivo puede representarse como la suma de dos cuadrados precisamente si su factorización prima no contiene potencias impares de primos de la forma 4k + 3. Esto se generaliza mediante el problema de Waring .

En base 10 , un número cuadrado solo puede terminar con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6 o 9, como sigue:

• Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado termina en 00;
• Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 1;
• Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 4;
• Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 9;
• Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado termina en un dígito impar seguido de un 6; y
• Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado termina en 25.

En base 12 , un número cuadrado solo puede terminar con dígitos cuadrados (al igual que en base 12, un número primo solo puede terminar con dígitos primos o 1), es decir, 0, 1, 4 o 9, como sigue:

• Si un número es divisible tanto por 2 como por 3 (es decir, divisible por 6), su cuadrado termina en 0 y su dígito precedente debe ser 0 o 3;
• Si un número no es divisible ni por 2 ni por 3, su cuadrado termina en 1 y su dígito precedente debe ser par;
• Si un número es divisible por 2, pero no por 3, su cuadrado termina en 4, y su dígito precedente debe ser 0, 1, 4, 5, 8 o 9; y
• Si un número no es divisible por 2, pero sí por 3, su cuadrado termina en 9 y su dígito precedente debe ser 0 o 6.

Se pueden establecer reglas similares para otras bases o para dígitos anteriores (por ejemplo, las decenas en lugar de las unidades). Todas estas reglas se pueden demostrar comprobando un número fijo de casos y utilizando aritmética modular .

En general, si un número primo p divide a un cuadrado perfecto m, entonces el cuadrado de p también debe dividir a m ; si p no divide a m / p , entonces m definitivamente no es un cuadrado perfecto. Repitiendo las divisiones de la oración anterior, se concluye que todo número primo debe dividir a un cuadrado perfecto dado un número par de veces (incluyendo posiblemente 0 veces). Por lo tanto, el número m es un cuadrado perfecto si y solo si, en su representación canónica , todos los exponentes son pares.  

La prueba de cuadratura puede utilizarse como método alternativo en la factorización de números grandes. En lugar de comprobar la divisibilidad, se comprueba la cuadratura: dados un número m y un número k , si k² − m es el cuadrado de un entero n, ^entonces k − n divide a m . (Esta es una aplicación de la factorización de la diferencia de dos cuadrados ). Por ejemplo, 100² − 9991 es el cuadrado de 3, por lo que, en consecuencia, 100 − 3 divide a 9991. Esta prueba es determinista para divisores impares en el rango de k − n a k + n, ^donde k abarca un rango de números naturales.  ${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

Un número cuadrado no puede ser un número perfecto .

La suma de los primeros n números cuadrados es$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$$Los primeros valores de estas sumas, los números piramidales cuadrados , son: (secuencia A000330 en el OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

La suma de los primeros enteros impares, comenzando con uno, es un cuadrado perfecto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc. Esto explica la ley de Galileo de los números impares : si un cuerpo que cae desde el reposo recorre una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo arbitrario, recorre 3, 5, 7, etc., unidades de distancia en intervalos de tiempo subsiguientes de la misma longitud.${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$, para u = 0 y a constante (aceleración debida a la gravedad sin resistencia del aire); por lo tanto, s es proporcional a t ² , y la distancia desde el punto de partida son cuadrados consecutivos para valores enteros del tiempo transcurrido. ^{[ 2 ]}

La suma de los primeros n cubos es el cuadrado de la suma de los primeros n enteros positivos; este es el teorema de Nicómaco .

Todas las cuartas potencias, sextas potencias, octavas potencias, etc., son cuadrados perfectos.

Una relación única con los números triangulares${\displaystyle T_{n}}$es:$${\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}$$

Los cuadrados de números pares son pares y divisibles por 4, puesto que (2n ) ² ⁼ 4n² . ^Los cuadrados de números impares son impares y congruentes con 1 módulo 8, puesto que (2n + 1) ^² = 4n ( n + 1) + 1 , y n ( n + 1) siempre es par. En otras palabras, todos los cuadrados impares tienen un resto de 1 al dividirlos por 8.

Todo cuadrado perfecto impar es un número octogonal centrado . La diferencia entre dos cuadrados perfectos impares cualesquiera es un múltiplo de 8. La diferencia entre 1 y cualquier cuadrado perfecto impar mayor siempre es ocho veces un número triangular, mientras que la diferencia entre 9 y cualquier cuadrado perfecto impar mayor es ocho veces un número triangular menos ocho. Dado que todos los números triangulares tienen un factor impar, pero no hay dos valores de 2n ^{que difieran en una cantidad que} contenga un factor impar, el único cuadrado perfecto de la forma 2n ⁻ 1 es 1, y el único cuadrado perfecto de la forma 2n + 1 es 9.

• Si el número es de la forma m⁵ , donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n²⁵ , donde n = m ( m + 1) y representa los dígitos anteriores al 25. Por ejemplo, el cuadrado de 65 se puede calcular mediante n = 6 × (6 + 1) = 42, lo que hace que el cuadrado sea igual a 4225.
• Si el número es de la forma m 0 donde m representa los dígitos precedentes, su cuadrado es n 00 donde n = m ² . Por ejemplo, el cuadrado de 70 es 4900.
• Si el número tiene dos dígitos y es de la forma 5 m donde m representa el dígito ^de las unidades, su cuadrado es aabb donde aa = 25 + m y bb = m² . Por ejemplo, para calcular el cuadrado de 57, m = 7 y 25 + 7 = 32 y 7² = 49 ^, por lo que 57² = ³²⁴⁹ .
• Si el número termina en 5, su cuadrado también terminará en 5; lo mismo ocurre con los que terminan en 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, etc. Si el número termina en 6, su cuadrado también terminará en 6; lo mismo ocurre con los que terminan en 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Por ejemplo, el cuadrado de 55376 es 3066501376, ambos terminando en 376. (Los números 5, 6, 25, 76, etc., se denominan números automórficos . Son la secuencia A003226 en la OEIS . ^{[ 3 ]} )
• En base 10, los dos últimos dígitos de los números cuadrados siguen un patrón repetitivo reflejado simétricamente alrededor de múltiplos de 25. En el ejemplo de 24 y 26, ambos a 1 de 25, ^24² = 576 y 26² = 676 ^, ambos terminando en 76. En general,${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$Un patrón similar se aplica a los últimos 3 dígitos en torno a múltiplos de 250, y así sucesivamente. En consecuencia, de los 100 posibles últimos 2 dígitos, solo 22 se dan entre números cuadrados (ya que 00 y 25 se repiten).

• Conway, JH y Guy, RK. El libro de los números . Nueva York: Springer-Verlag, págs.  30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
• Kiran Parulekar. Propiedades asombrosas de los cuadrados y sus cálculos . Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC