oscilador armónico

En mecánica clásica , un oscilador armónico es un sistema que, al ser desplazado de su posición de equilibrio , experimenta una fuerza restauradora F proporcional al desplazamiento x : $${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}$$ donde k es una constante positiva .

El modelo del oscilador armónico es importante en física, ya que cualquier masa sometida a una fuerza en equilibrio estable actúa como un oscilador armónico para vibraciones pequeñas. Los osciladores armónicos se encuentran ampliamente en la naturaleza y se utilizan en muchos dispositivos artificiales, como relojes y circuitos de radio.

Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, este se denomina oscilador armónico simple y experimenta un movimiento armónico simple : oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio , con una amplitud constante y una frecuencia constante (que no depende de la amplitud).

Si además existe una fuerza de fricción ( amortiguación ) proporcional a la velocidad , el oscilador armónico se describe como un oscilador amortiguado . Dependiendo del coeficiente de fricción, el sistema puede:

• Oscila con una frecuencia menor que en el caso sin amortiguación y con una amplitud que disminuye con el tiempo ( oscilador subamortiguado ).
• Decaimiento a la posición de equilibrio, sin oscilaciones ( oscilador sobreamortiguado ).

La solución límite entre un oscilador subamortiguado y un oscilador sobreamortiguado se produce en un valor particular del coeficiente de fricción y se denomina amortiguación crítica .

Si existe una fuerza externa dependiente del tiempo, el oscilador armónico se describe como un oscilador forzado .

Entre los ejemplos mecánicos se incluyen los péndulos (con pequeños ángulos de desplazamiento ), las masas conectadas a resortes y los sistemas acústicos . Otros sistemas análogos son los osciladores armónicos eléctricos, como los circuitos RLC . Estos son la fuente de prácticamente todas las vibraciones y ondas sinusoidales.

oscilador armónico masa-resorte

movimiento armónico simple

Un oscilador armónico simple es un oscilador que no está ni forzado ni amortiguado . Consta de una masa.${\displaystyle m}$, que experimenta una sola fuerza${\displaystyle F}$, que tira de la masa en la dirección del punto${\displaystyle x=0}$y depende únicamente de la posición${\displaystyle x}$de la masa y una constante${\displaystyle k}$. El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para el sistema es $${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.}$$

Al resolver esta ecuación diferencial , encontramos que el movimiento se describe mediante la función $${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\varphi ),}$$ dónde $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}$$

El movimiento es periódico , repitiéndose de forma sinusoidal con amplitud constante A. Además de su amplitud, el movimiento de un oscilador armónico simple se caracteriza por su período.${\displaystyle T=2\pi /\omega }$, el tiempo de una sola oscilación o su frecuencia${\displaystyle f=1/T}$, el número de ciclos por unidad de tiempo. La posición en un instante dado t también depende de la fase.${\displaystyle \varphi }$, que determina el punto de partida en la onda sinusoidal. El período y la frecuencia están determinados por el tamaño de la masa m y la constante de fuerza k , mientras que la amplitud y la fase están determinadas por la posición y la velocidad iniciales .

La velocidad y la aceleración de un oscilador armónico simple oscilan con la misma frecuencia que la posición, pero con fases desfasadas. La velocidad es máxima cuando el desplazamiento es cero, mientras que la aceleración tiene la dirección opuesta al desplazamiento.

La energía potencial almacenada en un oscilador armónico simple para un desplazamiento x es $${\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

En los osciladores reales, la fricción, o amortiguación, ralentiza el movimiento del sistema. Debido a la fuerza de fricción, la velocidad disminuye en proporción a la fuerza de fricción que actúa. Mientras que en un oscilador armónico simple no forzado la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza restauradora, en un oscilador armónico amortiguado existe además una fuerza de fricción que siempre actúa en una dirección opuesta al movimiento. En muchos sistemas vibrantes, la fuerza de fricción F _f puede modelarse como proporcional a la velocidad v del objeto: F _f = − cv , donde c se denomina coeficiente de amortiguación viscosa .

El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para osciladores armónicos amortiguados es entonces ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},}$$ que se puede reescribir en la forma $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$ dónde

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$se denomina " frecuencia angular sin amortiguación del oscilador",
• ${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$Se denomina " coeficiente de amortiguación ".

El valor del coeficiente de amortiguación ζ determina de forma crítica el comportamiento del sistema. Un oscilador armónico amortiguado puede ser:

• Amortiguado en exceso ( ζ > 1): El sistema regresa ( decae exponencialmente ) al estado estacionario sin oscilar. Valores mayores del coeficiente de amortiguamiento ζ regresan al equilibrio más lentamente.
• Amortiguación crítica ( ζ = 1): El sistema regresa al estado estacionario lo más rápido posible sin oscilar (aunque puede producirse un sobreimpulso si la velocidad inicial es distinta de cero). Esto suele ser deseable para la amortiguación de sistemas como las puertas.
• Subamortiguado ( ζ < 1): El sistema oscila (con una frecuencia ligeramente diferente a la del caso no amortiguado) con una amplitud que disminuye gradualmente hasta cero. La frecuencia angular del oscilador armónico subamortiguado viene dada por${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$El decaimiento exponencial del oscilador armónico subamortiguado viene dado por${\displaystyle \lambda =\omega _ {0}\zeta.}$

El factor Q de un oscilador amortiguado se define como

$${\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{energía almacenada}}{\text{energía perdida por ciclo}}}.}$$

Q está relacionado con el coeficiente de amortiguación mediante${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$

Los osciladores armónicos impulsados ​​(también llamados osciladores armónicos forzados) son osciladores amortiguados que se ven afectados además por una fuerza aplicada externamente F ( t ).

La segunda ley de Newton toma la forma $${\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

Por lo general, se reescribe en la forma $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.}$$

Esta ecuación se puede resolver exactamente para cualquier fuerza impulsora, utilizando las soluciones z ( t ) que satisfacen la ecuación sin forzar. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$$

y que pueden expresarse como oscilaciones sinusoidales amortiguadas: $${\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),}$$ en el caso donde ζ ≤ 1 . La amplitud A y la fase φ determinan el comportamiento necesario para coincidir con las condiciones iniciales.

fuerza motriz sinusoidal

En el caso de una fuerza impulsora sinusoidal: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),}$$ dónde${\displaystyle F_{0}}$es la amplitud de conducción, y${\displaystyle \omega }$es la frecuencia de excitación para un mecanismo de accionamiento sinusoidal. Este tipo de sistema aparece en circuitos RLC ( resistor - inductor - capacitor ) accionados por CA y en sistemas de resorte accionados que tienen resistencia mecánica interna o resistencia de aire externa .

La solución general es la suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y un estado estacionario que es independiente de las condiciones iniciales y depende únicamente de la amplitud de la excitación.${\displaystyle F_{0}}$frecuencia de conducción${\displaystyle \omega }$, frecuencia angular no amortiguada${\displaystyle \omega _{0}}$y la relación de amortiguación${\displaystyle \zeta }$.

La solución de estado estacionario es proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido.${\displaystyle \varphi }$: $${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),}$$ dónde $${\displaystyle Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}$$ es el valor absoluto de la impedancia o función de respuesta lineal , y $${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi }$$

es la fase de la oscilación en relación con la fuerza impulsora. El valor de la fase suele tomarse entre −180° y 0 (es decir, representa un desfase, tanto para valores positivos como negativos del argumento arctan).

Para una frecuencia de excitación particular llamada frecuencia de resonancia o frecuencia resonante${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$, la amplitud (para un dado${\displaystyle F_{0}}$) es máximo. Este efecto de resonancia solo ocurre cuando${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$, es decir, para sistemas significativamente subamortiguados. Para sistemas fuertemente subamortiguados, el valor de la amplitud puede llegar a ser bastante grande cerca de la frecuencia de resonancia.

Las soluciones transitorias son las mismas que las no forzadas (${\displaystyle F_{0}=0}$) oscilador armónico amortiguado y representan la respuesta del sistema a otros eventos que ocurrieron previamente.

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico forzado en el que la energía de accionamiento se proporciona variando los parámetros del oscilador, como la fuerza de amortiguación o la fuerza restauradora. Un ejemplo conocido de oscilación paramétrica es el "bombeo" en un columpio de parque infantil . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Una persona en un columpio en movimiento puede aumentar la amplitud de las oscilaciones del columpio sin aplicar ninguna fuerza de accionamiento externa (empuje), cambiando el momento de inercia del columpio balanceándose hacia adelante y hacia atrás ("bombeo") o alternando entre estar de pie y en cuclillas, al ritmo de las oscilaciones del columpio. La variación de los parámetros impulsa el sistema. Ejemplos de parámetros que se pueden variar son su frecuencia de resonancia.${\displaystyle \omega }$y amortiguación${\displaystyle \beta }$.

Los osciladores paramétricos se utilizan en numerosas aplicaciones. El oscilador paramétrico clásico de varactor oscila cuando se varía periódicamente la capacitancia del diodo . El circuito que varía la capacitancia del diodo se denomina "bomba" o "controlador". En electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados ​​en guías de onda / YAG funcionan de la misma manera. El diseñador varía periódicamente un parámetro para inducir oscilaciones.

Los osciladores paramétricos se han desarrollado como amplificadores de bajo ruido, especialmente en el rango de frecuencias de radio y microondas. El ruido térmico es mínimo, ya que se varía una reactancia (no una resistencia). Otro uso común es la conversión de frecuencia, por ejemplo, la conversión de frecuencias de audio a radio. Por ejemplo, el oscilador paramétrico óptico convierte una onda láser de entrada en dos ondas de salida de menor frecuencia (${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$).

La resonancia paramétrica se produce en un sistema mecánico cuando este se excita paramétricamente y oscila a una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica se diferencia de la fuerza aplicada, ya que la acción se manifiesta como una modificación variable en el tiempo de un parámetro del sistema. Este efecto es distinto de la resonancia ordinaria porque presenta el fenómeno de inestabilidad .

La ecuación $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0}$$ Se la conoce como la ecuación del oscilador universal , ya que todos los sistemas oscilatorios lineales de segundo orden pueden reducirse a esta forma. Esto se hace mediante la adimensionalización .

Si la función de forzamiento es f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt _c τ ) = cos( ωτ ) , donde ω = ωt _c , la ecuación se convierte en $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).}$$

La solución a esta ecuación diferencial consta de dos partes: la "transitoria" y la "estacionaria".

Solución de estado estacionario

Aplique el " método de variables complejas " resolviendo la ecuación auxiliar que aparece a continuación y luego hallando la parte real de su solución: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.}$$

Suponiendo que la solución sea de la forma $${\displaystyle q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

Sus derivadas de orden cero a segundo son $${\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

Sustituyendo estas cantidades en la ecuación diferencial se obtiene $${\displaystyle -\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.}$$

Dividir por el término exponencial de la izquierda da como resultado: $${\displaystyle -\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}$$

Igualando las partes real e imaginaria se obtienen dos ecuaciones independientes. $${\displaystyle A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .}$$

Parte de amplitud

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumándolas se obtiene $${\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.}$$

Compare este resultado con la sección teórica sobre resonancia , así como con la parte de magnitud del circuito RLC . Esta función de amplitud es particularmente importante para el análisis y la comprensión de la respuesta en frecuencia de los sistemas de segundo orden.

Parte de la fase

Para resolver φ , divide ambas ecuaciones para obtener $${\displaystyle \tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .}$$

Esta función de fase es particularmente importante en el análisis y la comprensión de la respuesta en frecuencia de los sistemas de segundo orden.

Los osciladores armónicos presentes en diversas áreas de la ingeniería son equivalentes en el sentido de que sus modelos matemáticos son idénticos (véase la ecuación del oscilador universal más arriba). A continuación, se muestra una tabla con magnitudes análogas en cuatro sistemas de osciladores armónicos de mecánica y electrónica. Si se asignan valores numéricos iguales a los parámetros análogos de la misma fila de la tabla, el comportamiento de los osciladores —su forma de onda de salida, frecuencia de resonancia, factor de amortiguación, etc.— es el mismo.  

El problema del oscilador armónico simple se presenta con frecuencia en física, porque una masa en equilibrio bajo la influencia de cualquier fuerza conservativa , en el límite de pequeños movimientos, se comporta como un oscilador armónico simple.

Una fuerza conservativa es aquella que está asociada a una energía potencial . La función de energía potencial de un oscilador armónico es $${\displaystyle V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

Dada una función de energía potencial arbitraria${\displaystyle V(x)}$, se puede realizar una expansión de Taylor en términos de${\displaystyle x}$alrededor de un mínimo de energía (${\displaystyle x=x_{0}}$) para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones respecto al equilibrio.

$${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

Porque${\displaystyle V(x_{0})}$es un mínimo, la primera derivada evaluada en${\displaystyle x_{0}}$debe ser cero, por lo que el término lineal desaparece: $${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

El término constante V ( x ₀ ) es arbitrario y, por lo tanto, puede omitirse, y una transformación de coordenadas permite recuperar la forma del oscilador armónico simple: $${\displaystyle V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

Por lo tanto, dada una función de energía potencial arbitraria${\displaystyle V(x)}$Con una segunda derivada no nula , se puede utilizar la solución del oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio.

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• El oscilador armónico de las Lecciones de Física de Feynman