Sector esférico

En geometría , un sector esférico , ^[1] también conocido como cono esférico , ^[2] es una porción de una esfera o de una bola definida por un límite cónico con vértice en el centro de la esfera. Puede describirse como la unión de un casquete esférico y el cono formado por el centro de la esfera y la base del casquete. Es el análogo tridimensional del sector de un círculo .

Si el radio de la esfera se denota por r y la altura de la tapa por h , el volumen del sector esférico es $${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,.}$$

Esto también se puede escribir como donde φ es la mitad del ángulo de apertura del cono , es decir, φ es el ángulo entre el borde de la tapa y la dirección del eje hacia el centro de la tapa visto desde el centro de la esfera. El caso límite es cuando φ se acerca a 180 grados, lo que describe una esfera completa. $${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$$

La altura, h, viene dada por $${\displaystyle h=r(1-\cos \varphi )\,.}$$

El volumen V del sector está relacionado con el área A de la tapa por: $${\displaystyle V={\frac {rA}{3}}\,.}$$

El área de la superficie curva del sector esférico (en la superficie de la esfera, excluida la superficie del cono) es $${\displaystyle A=2\pi rh\,.}$$

También es donde Ω es el ángulo sólido del sector esférico en estereorradiánes , la unidad SI de ángulo sólido. Un estereorradián se define como el ángulo sólido subtendido por un área de tapa de A = r ² . $${\displaystyle A=\Omega r^{2}}$$

El volumen se puede calcular integrando el elemento de volumen diferencial sobre el volumen del sector esférico, donde se han separado las integrales, porque el integrando se puede separar en un producto de funciones, cada una con una variable ficticia. $${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }$$$${\displaystyle V=\int _ {0}^{2\pi }\int _ {0}^{\varphi }\int _ {0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \, d\rho \,d\phi \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi \ entero _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$$

El área se puede calcular de manera similar integrando el elemento de área esférica diferencial sobre el sector esférico, lo que da como resultado donde φ es la inclinación (o elevación) y θ es el acimut (derecha). Observe que r es una constante. Nuevamente, las integrales se pueden separar. $${\displaystyle dA=r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta }$$$${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta =r^ {2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi =2\pi r^{2}(1- \cos\varphi )\,,}$$

• Sector circular : la figura 2D análoga.
• Casquillo esférico
• Segmento esférico
• Cuña esférica