Cuña esférica

En geometría , una cuña esférica o ungula es una porción de una bola delimitada por dos semidiscos planos y una luna esférica (denominada base de la cuña ). El ángulo entre los radios que se encuentran dentro de los semidiscos delimitadores es el diedro α . Si AB es un semidisco que forma una bola cuando gira completamente alrededor del eje z , girar AB solo a través de un α dado produce una cuña esférica del mismo ángulo α . ^[1] Beman (2008) ^[2] señala que "una cuña esférica es a la esfera de la que es parte como el ángulo de la cuña es a un perigon ". ^[A] Una cuña esférica de α = π radianes (180°) se llama hemisferio , mientras que una cuña esférica de α = 2 π radianes (360°) constituye una bola completa.

El volumen de una cuña esférica se puede relacionar intuitivamente con la definición AB , ya que mientras que el volumen de una bola de radio r está dado por4/3⁠ π r ³ , el volumen de una cuña esférica del mismo radio r viene dado por ^[3]

${\displaystyle V={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}={\tfrac {2}{3}}\alpha r^{3}\,.}$

Extrapolando el mismo principio y considerando que el área superficial de una esfera está dada por 4 π r ² , se puede ver que el área superficial de la luna correspondiente a la misma cuña está dada por ^[A]

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot 4\pi r^{2}=2\alpha r^{2}\,.}$

Hart (2009) ^[3] afirma que "el volumen de una cuña esférica es al volumen de la esfera como el número de grados en el [ángulo de la cuña] es a 360". ^[A] Por lo tanto, y a través de la derivación de la fórmula del volumen de la cuña esférica, se puede concluir que, si V _s es el volumen de la esfera y V _w es el volumen de una cuña esférica dada,

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {w} }}{V_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}\,.}$

Además, si S _l es el área de la luna de una cuña dada, y S _s es el área de la esfera de la cuña, ^{[4] [A]}

${\displaystyle {\frac {S_{\mathrm {l} }}{S_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}\,.}$

• Casquillo esférico
• Segmento esférico
• Ungula

A. ^ A veces se hace una distinción entre los términos " esfera " y " bola ", considerando que la esfera es simplemente la superficie exterior de una bola sólida. Es común utilizar los términos indistintamente, como lo hacen los comentarios de Beman (2008) y Hart (2008).